章劉飛

[摘 要]一道“表內(nèi)乘除法”等式題是一道考驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的題目，通過分析前測(cè)結(jié)果，訪談學(xué)生，得到解題的知識(shí)系統(tǒng)和解題路徑。以學(xué)生獲取知識(shí)的思維過程為重點(diǎn)，通過引入注意連接、展開注重探索、收尾關(guān)注變式三個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、自主探索中習(xí)得知識(shí)，進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得以提升。

[關(guān)鍵詞]表內(nèi)乘除法;思維;能力

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）02-0012-03

現(xiàn)象：一道題，打破常規(guī)

下面這道關(guān)于“表內(nèi)乘除法”的等式練習(xí)題的解題基礎(chǔ)是掌握表內(nèi)乘除法和20以內(nèi)的加減法。

1.用數(shù)據(jù)來呈現(xiàn)

測(cè)試的對(duì)象為二到六年級(jí)的學(xué)生，每個(gè)年級(jí)一個(gè)班;測(cè)試的方式為筆試;測(cè)試的時(shí)間為20分鐘。結(jié)果如下：

為了提高檢測(cè)的全面性，抽取8位教師（含語文、數(shù)學(xué)、科學(xué)、音樂教師）進(jìn)行前測(cè)，檢測(cè)時(shí)間為15分鐘。結(jié)果如下：

2.用事實(shí)來說話

（1）會(huì)與不會(huì)不分年級(jí)。從表1可以看到，二到六年級(jí)都有學(xué)生出現(xiàn)了“0種”的現(xiàn)象，而且這個(gè)數(shù)據(jù)并未隨著年級(jí)的增長而出現(xiàn)下降的趨勢(shì)，比如五年級(jí)所占的百分率卻比六年級(jí)要低，這說明年級(jí)的高低與解題能力的優(yōu)劣不成正比。有思路了，二年級(jí)學(xué)生也能給出好幾種;沒有思路，即使是六年級(jí)學(xué)生也會(huì)出現(xiàn)一種都未得出的情況。

（2）多與少不分年齡。從表1可以看到，除了六年級(jí)的兩位學(xué)生解答的種數(shù)有9和10，各年級(jí)的學(xué)生給出的主要分布在1～7種之間?？梢?，“年級(jí)越高，寫出的種數(shù)就越多”的規(guī)律不正確。

（3）師與生不分伯仲。從表2可以發(fā)現(xiàn)，教師的差距很大，多則9種，少則0種，與學(xué)生的情況也差不多。可見教師并沒有因?yàn)閷W(xué)習(xí)經(jīng)歷而占明顯的優(yōu)勢(shì)。

解密：重方法，事半功倍

1.用采訪來解惑

為什么同樣的時(shí)間內(nèi)，有的學(xué)生能解答的題數(shù)會(huì)比較多，而有的卻一題都沒有做出，沒做出的學(xué)生難道是因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)沒過關(guān)嗎？為了一探究竟，我采訪了兩位六年級(jí)的學(xué)生，他們分別是寫出種數(shù)為0的A學(xué)生和寫出種數(shù)為10的B學(xué)生。

師：你平時(shí)解題能力還可以，為什么這次卻出現(xiàn)了這種情況？

生A：我當(dāng)時(shí)看到題目，一下就懵了，不知道怎么做。

師：那你的20分鐘里做了些什么事情呢？

生A：我就是將數(shù)字往方框里填，因?yàn)樗荒苤貜?fù)使用，所以試了好多個(gè)都沒成功。

師：那你做這道題的時(shí)候，有沒有先去思考該用怎樣的策略去解決會(huì)快一點(diǎn)？

生A：沒有，我只關(guān)心數(shù)字有沒有重復(fù)使用，還有就是等式能不能成立。

師：你很了不起，這次測(cè)試中，你是所有學(xué)生中的冠軍！

生B：這樣啊?。ㄒ桓备吲d得要叫出來的樣子）

師：能說說你是怎么思考這道題的嗎？

生B：我就是看到下面四個(gè)數(shù)相加的和要相等，所以先挑好四個(gè)數(shù)，再把另外的數(shù)填到上面的方框中，而且我發(fā)現(xiàn)有的加法算式填完后，上面的方框中有不同的填法。和同樣是10 ，可以是1+9=2+8，也可以是1+9=3+7，這樣上面的數(shù)就又可以填不同的了。

2.從痕跡來找尋

一個(gè)人的思考過程，有時(shí)會(huì)用語言來表述，有時(shí)會(huì)體現(xiàn)在一些不經(jīng)意間的痕跡中，翻閱學(xué)生、教師的解題作品，可以發(fā)現(xiàn)，有的師生講究策略與方法，解題時(shí)比較輕松而高效，而有的師生則純粹是胡編亂湊，自然也就毫無收獲。

圖2是一位六年級(jí)學(xué)生的作品，他在下面的數(shù)字上打了小勾，表示數(shù)字已經(jīng)被使用過了，那他關(guān)注的是數(shù)字不能重復(fù)使用這一條，但他的“等式一”根本無法成立，左邊的9除以2是4.5，右邊的結(jié)果是5，難道是學(xué)生連用乘法口訣都出現(xiàn)問題了嗎？肯定不是，這恰恰說明這位學(xué)生在解題時(shí)只關(guān)注題目要求，并沒有深入思考這道題的解題思路會(huì)是怎樣，或許是根本找不到方法，這個(gè)答案就是他胡編亂湊之后的結(jié)果。

圖3是一位三年級(jí)學(xué)生的作品，在他的八種填法里，對(duì)了七種，特別是他的第五種和第六種，第七種和第八種，可以很明顯地看出這位學(xué)生思考問題的有序性和嚴(yán)密性。

圖4是一位教師的作品的右上角寫的算式?？梢?，這位教師將“等式一”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用乘法口訣中積相等的算式去幫助自己解決問題，最終這位教師解答出了6種不同的結(jié)果。

綜上所述，在解題過程中，只要方法得當(dāng)，策略有效，不僅可以提高解題的正確率，更可以提高解題的效率。

培養(yǎng)：思維力，舉足輕重

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用。通過上面的統(tǒng)計(jì)和分析，可知一個(gè)人的“思維能力”直接影響著解題的效率?，F(xiàn)今的社會(huì)，需要擁有思考力、創(chuàng)造力的人才，因此培養(yǎng)學(xué)生的思維能力應(yīng)成為教學(xué)的重要任務(wù)。

1.用好材做載體

思維能力是人的智力的核心因素，想提高一個(gè)人的思維能力，必須將有思考價(jià)值的學(xué)習(xí)材料作為培養(yǎng)思維能力的載體。奧蘇泊爾認(rèn)為：如果學(xué)習(xí)材料本身具有邏輯意義，學(xué)習(xí)者具有意義學(xué)習(xí)的心向，同時(shí)在學(xué)習(xí)者的內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)哪芰芭c新知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系的知識(shí)基礎(chǔ)，就有可能產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)。因此培養(yǎng)學(xué)生的思維能力一開始就取決于學(xué)習(xí)材料的開發(fā)與設(shè)計(jì)，只有材料支持能力的發(fā)展，那么培養(yǎng)學(xué)生的思維能力才能落到實(shí)處。如圖5，解這道等式題所需要的知識(shí)比較簡單，即表內(nèi)乘除法和20以內(nèi)的進(jìn)位加法，但想要高效地解決這個(gè)問題，還需要調(diào)動(dòng)學(xué)生的觀察力和分析力。解題時(shí)，由左邊的商與右邊的差相等，可以推理出兩數(shù)的積與另外兩數(shù)的積相等，這樣只要思考表內(nèi)乘法中積相等的算式有哪些，一一進(jìn)行列舉就可以完成了。

同樣是表內(nèi)乘除法的計(jì)算練習(xí)，如果換成重復(fù)機(jī)械的口算練習(xí)，雖然技能得到了訓(xùn)練，但是學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生煩躁與厭倦的情緒，思維含量不高，只是機(jī)械重復(fù)的操練而已;但多一些像這樣具有高思維含量的題，學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)解決問題的時(shí)候，不僅鞏固了基本技能，而且能夠提升數(shù)學(xué)思維能力。

2.用課堂做后盾

（1）引：引入注意連接

引入環(huán)節(jié)要注重從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，引發(fā)學(xué)生的思考。首先要抓住新舊知識(shí)的銜接點(diǎn)，做好知識(shí)的鋪墊，知識(shí)的鋪墊并不是簡單的重復(fù)，而是找到知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，縮短學(xué)生已知和未知的差距，找到新知的“著落點(diǎn)”。如解決等式題時(shí)，先組織學(xué)生回顧已經(jīng)掌握的表內(nèi)乘法口訣，可用問題“在我們的乘法口訣中，你能找到積相等的算式嗎？”啟發(fā)學(xué)生先找到那九個(gè)乘法等式，這些等式是學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基石。其次，找到新舊知識(shí)的“區(qū)別點(diǎn)”，設(shè)置認(rèn)知矛盾沖突，引發(fā)學(xué)生的思考，促進(jìn)學(xué)生的思維。如在解決等式問題前，先出示一道簡單的等式題型（如圖6），當(dāng)學(xué)生解決之后，啟發(fā)學(xué)生思考：“你還能在這個(gè)混合等式中找到積相等的乘法等式嗎？”以激發(fā)學(xué)生觀察與推理。當(dāng)學(xué)生得到前面兩數(shù)的積等于除數(shù)與差的積的結(jié)論時(shí)，教師再次追問：“它是運(yùn)用哪個(gè)乘法等式得到的呢？” 將解題的本質(zhì)重新引導(dǎo)到運(yùn)用乘法等式來解決的方法上。

（2）展：展開注重探索

教學(xué)環(huán)節(jié)的展開過程，教師可以組織學(xué)生自主地進(jìn)行操作探索，引導(dǎo)學(xué)生從感知、操作和抽象概括中積極地參與學(xué)習(xí)，最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握解題的原理和結(jié)論。如在尋找等式的過程中，筆者總共設(shè)計(jì)了兩次自主尋找的過程，但兩次的思維目的卻是不一樣的：第一次學(xué)生找到等式進(jìn)行匯報(bào)交流，能準(zhǔn)確說出利用哪個(gè)乘法等式得到后，教師用白色粉筆在乘法等式上做好記號(hào)（如圖7），這時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)有的等式后面一個(gè)標(biāo)識(shí)都沒有，而有的等式后面卻有好幾個(gè)。這時(shí)教師再次組織學(xué)生進(jìn)行第二次尋找，思考怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地找完它們，最后再次進(jìn)行匯報(bào)交流。兩次的操作交流，培養(yǎng)了學(xué)生的有序思考問題的思維品質(zhì)。

（3）收：收尾關(guān)注變式

鞏固收尾階段的練習(xí)要多加變換，既可以有模仿例題的基本練習(xí)，也可以增加一些非本質(zhì)干擾因素的變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從新的具體情境中抽象出本質(zhì)的內(nèi)容，最終靈活地解決新問題或逆向的問題。如圖8，變式1，相同的是上面的等式，但不同的是下面的等式，下面的等式由原來的加法等式變換成了減法，其實(shí)本質(zhì)還是一樣的;而變式2里，第2個(gè)、第3個(gè)等式其實(shí)是同一種形式，需要學(xué)生進(jìn)行辨別，即兩數(shù)的和等于第三個(gè)數(shù)，那么第一個(gè)等式怎么填就需要從0開始考慮。通過這樣的練習(xí)，學(xué)生把新學(xué)的知識(shí)內(nèi)容建構(gòu)到原有的認(rèn)知體系中，并能運(yùn)用其進(jìn)行問題的解決，從而培養(yǎng)了思維的靈活性和全面性。

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是一件任重道遠(yuǎn)的事情，需要教師尋求高質(zhì)量的學(xué)習(xí)材料做支撐，并在課堂上有針對(duì)性地實(shí)施，相信通過不斷的實(shí)踐，學(xué)生一定會(huì)有更好的收獲。

（責(zé)編 金 鈴）