黃越霞

摘 要：例題、習(xí)題是課本的重要組成部分，而對(duì)例題、習(xí)題的答案尋求，學(xué)生一般不會(huì)有很大困難，使得我們常常忽略對(duì)例題、習(xí)題的深入挖掘和研究，從而丟棄了很多重要的教育資源。本文以課本中的一道例題為例，探究圓錐曲線中一類直線斜率乘積為定值性質(zhì)及證明，以激發(fā)學(xué)生對(duì)課本例題、習(xí)題的研究興趣，體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過程，培養(yǎng)探究能力，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞：探究;斜率乘積;定值;證明

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。新教材中例題、習(xí)題作為鞏固概念培養(yǎng)能力，體現(xiàn)新理念——正確的、科學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念的主要載體，教學(xué)中應(yīng)進(jìn)一步充分地挖掘和研究。

題目1：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0）（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)M的軌跡方程。（課本選擇性必修第二冊(cè)P108例3）

該題如果視為軌跡問題其解答是比較容易的，但如果是從研究性角度思考、探索，其潛力卻是巨大的。再看下面一題：

題目2：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0）（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)M的軌跡方程。（課本選擇性必修第二冊(cè)P121探究）

題目2與題目1作比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？很快可以發(fā)現(xiàn)題目2與題目1條件中唯一不同之處是斜率之積由改為正的。這一條件的改變會(huì)發(fā)生什么變化？

通過解答我們發(fā)現(xiàn)：

題目1中的斜率之積改為，題目2中的點(diǎn)M的軌跡由橢圓變?yōu)榱穗p曲線。由此和給我們有了進(jìn)一步想象空間，當(dāng)斜率之積這個(gè)值小于0時(shí)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，斜率之積這個(gè)值大于0時(shí)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。

因此，我們可以猜測(cè)如下：

（1）當(dāng)斜率之積小于0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓;

（2）當(dāng)斜率之積大于0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。

推測(cè)的結(jié)論是否成立呢，接下來我們來看一般化的探究。

探究1：已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0）（5，0）。且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點(diǎn)C的軌跡方程。（課本選擇性必修第二冊(cè)P146復(fù)習(xí)參考題3第11題）

通過解答可得點(diǎn)C的軌跡是

（1）當(dāng)m>0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去A，B兩點(diǎn)）。

（2）當(dāng)m<-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去A，B兩點(diǎn)）。

（3）當(dāng)-1

（4）當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是圓心在原點(diǎn)的圓（除去A，B兩點(diǎn)）。

這樣能得出更有一般性的結(jié)論：

動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值m（m≠0）

則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（除去A，B兩點(diǎn)）。

事實(shí)上，把上述兩定點(diǎn)A，B改成更具一般性的“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)A，B”，一般性質(zhì)又可以進(jìn)一步推廣如下：

設(shè)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩條動(dòng)直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為定值m（m≠0），則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為有心圓錐曲線（除去A，B兩點(diǎn)）。

（定義：圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線。）

以上過程不僅有效地培養(yǎng)了學(xué)生抽象概括的能力，也較深刻地揭示了例題、習(xí)題的本質(zhì)，并通過對(duì)m的討論體現(xiàn)了分類討論思想，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)。

教學(xué)中通過挖掘教材中的典型例題及習(xí)題的內(nèi)涵、外延及其功能，并對(duì)它進(jìn)行改編、拓展、延伸，是進(jìn)一步深化課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生探究興趣，培養(yǎng)探索能力的有效方法。

于是得到下面更加一般的性質(zhì)：

探究2：已知橢圓，A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線AP，BP的斜率均存在，求證：直線AP，BP的斜率之積為定值。

證明：設(shè)點(diǎn)，

則，又因?yàn)锳，B，P都在橢圓上

，兩式相減并整理得：

即

即直線AP，BP的斜率之積為。

由以上的證明方法同理可證雙曲線有以下類似的性質(zhì)。

探究3：已知雙曲線，AB是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，且直線AP，BP的斜率均存在，求證：直線AP，BP的斜率之積為定值。

為鞏固這一成果，體會(huì)解題過程中隱含的方法技巧，特設(shè)計(jì)兩道練習(xí)題。

練習(xí)1：已知橢圓，A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線AP，BP的斜率分別為，，若的最小值為，則橢圓的離心率為_______

解：由探究2的結(jié)論可知

即即

即

練習(xí)2：已知雙曲線，A，B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，且直線AP，BP的斜率均存在，且直線AP，BP的斜率之積為2，則雙曲線的離心率是_______

解：由直線AP，BP的斜率之積為定值

上面兩道題目的共同點(diǎn)是都有2個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且和斜率有關(guān)，故可直接用結(jié)論解決，大大提高解題效率。

利用“直線AP，BP的斜率之積為定值”這個(gè)結(jié)論，我們又可以推出下面的結(jié)論

探究4：已知橢圓，過原點(diǎn)O的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)BC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P，直線斜率PA，AB存在，則直線PA，AB的斜率之積為定值。

證明：設(shè)點(diǎn)

，

同樣的如果把橢圓改為雙曲線則得到以下結(jié)論：

探究5：已知雙曲線，過原點(diǎn)O的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)BC并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)P，直線PA，AB斜率存在，則直線PA，AB的斜率之積為定值。

練習(xí)3：已知橢圓，過原點(diǎn)O的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)BC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率為______

解：由探究4可知

∴2b2=a2即

因?yàn)闄E圓和雙曲線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形。上述探究中的條件過P作x軸的垂線，改成過P作y軸的垂線又可以得出下面的結(jié)論

探究6：已知橢圓，過原點(diǎn)O的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為C，連結(jié)BC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P，直線斜率PA，AB存在，則直線PA，AB的斜率之積為定值。

證明：設(shè)點(diǎn)

，

因此，平時(shí)在教學(xué)中不能僅僅滿足于完成習(xí)題得到結(jié)果，而更要對(duì)條件和結(jié)論多反思、多總結(jié)，看是否有通性共性的知識(shí)隱藏在里面，經(jīng)常這樣做，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也可以提高教師的教學(xué)水平。解析幾何題目中的定值問題是高考中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)，很多學(xué)生感到無從下手。但是由前面的探究我們可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這些熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題都是由課本的習(xí)題演化而成，正所謂源于課本，高于課本。其實(shí)，只要平時(shí)注意積累，掌握一些課本外的結(jié)論，摸清題目的背景，解題時(shí)就能快速找準(zhǔn)方向，從而事半功倍。

結(jié)束語(yǔ)

通過本例的證明與拓展，學(xué)生掌握了相關(guān)的知識(shí)與技能，體會(huì)到知識(shí)的聯(lián)系與綜合，這說明只要我們重視教材的使用，在處理教材問題時(shí)不淺嘗輒止，注意引導(dǎo)學(xué)生吃透課本典型問題的內(nèi)涵，挖掘這些問題的潛在價(jià)值，并鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行力所能及的類比，就可以讓學(xué)生變得更輕松，更主動(dòng)，并使他們?cè)趧?chuàng)造性思維能力得到發(fā)展的同時(shí)，體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。課本上的不少例題、習(xí)題背景豐富深刻，解題思想耐人尋味，是最好的探究素材，若教師有意識(shí)地去引導(dǎo)學(xué)生探究和挖掘，往往會(huì)得到一些有價(jià)值的結(jié)論和重要的解題思想，同時(shí)對(duì)激發(fā)學(xué)生的探究興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和理性精神均大有裨益。

參考文獻(xiàn)

劉占溪.挖掘習(xí)題資源 培養(yǎng)思維品質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006（8）：16-17.