郭倩，王超，都蘭

（1.內(nèi)蒙古環(huán)科園環(huán)境科技有限責(zé)任公司，呼和浩特010011；2.內(nèi)蒙古生態(tài)環(huán)境科學(xué)研究院有限公司，呼和浩特010011；3.內(nèi)蒙古自治區(qū)環(huán)境科學(xué)研究院，呼和浩特010011）

1 研究地下水運(yùn)動(dòng)的主要方法

1.1 數(shù)學(xué)模型法

運(yùn)用該方法首先需要將現(xiàn)實(shí)中復(fù)雜的水文地質(zhì)條件概化為水文地質(zhì)概念模型，該概念模型應(yīng)對(duì)所要表述的實(shí)際地下水流運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有較高的仿真度，并且能夠通過(guò)已知的一些數(shù)學(xué)工具來(lái)進(jìn)行定量表述，這一定量表述的結(jié)果即為水文地質(zhì)模型對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。成功運(yùn)用該方法的關(guān)鍵在于水文地質(zhì)模型的建立，如果建立的水文地質(zhì)模型與實(shí)際情況相符性較差，用其數(shù)學(xué)模型求解出的結(jié)果就不能用來(lái)準(zhǔn)確表征研究區(qū)域的地下水運(yùn)動(dòng)規(guī)律，甚至與實(shí)際大相徑庭，而對(duì)于數(shù)學(xué)模型的解算，純粹屬于計(jì)算方法的問(wèn)題。

對(duì)于描述同一個(gè)水文地質(zhì)模型，可根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)需要的不同要求，建立不同類型的數(shù)學(xué)模型。本次簡(jiǎn)單論述幾類常見的數(shù)學(xué)模型，包括線性模型與非線性模型、靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型、集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型、確定性模型與隨機(jī)模型、黑箱模型與白箱模型。

1.1.1 線性模型與非線性模型

非線性模型指反映自變量與依變量間非線性關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它相對(duì)于線性模型而言，其依變量與自變量間不能在坐標(biāo)空間表示為線性對(duì)應(yīng)關(guān)系。在描述地下水運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，線性模型與非線性模型的劃分依據(jù)是模型中變量的階次，線性模型是指該數(shù)學(xué)模型由線性微分方程與線性定解條件組成，不符合該組成條件的則為非線性模型。在地下水的飽和流計(jì)算過(guò)程中，大多數(shù)情況下可以用線性模型來(lái)定量描述承壓水，而對(duì)于潛水模型而言，除了一些特殊情形，如在某種近似表達(dá)的意義下，近似用線性模型來(lái)定量描述，其他條件下均屬于非線性模型。

1.1.2 靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型

靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型是根據(jù)模型中的變量與時(shí)間是否有關(guān)來(lái)劃分的，靜態(tài)模型是指模型中的變量與時(shí)間無(wú)關(guān)，動(dòng)態(tài)模型則是指模型中的變量與時(shí)間有關(guān)。在地下水的飽和流計(jì)算過(guò)程中，穩(wěn)定流是流動(dòng)系統(tǒng)中各物理量的大小僅隨位置變化，不隨時(shí)間變化，因此用來(lái)表示穩(wěn)定流的模型屬于靜態(tài)模型，非穩(wěn)定流是流動(dòng)系統(tǒng)中各物理量的大小不僅隨位置變化，而且隨時(shí)間變化，因此用來(lái)表示非穩(wěn)定流的模型屬于動(dòng)態(tài)模型。

1.1.3 集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型

集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型是根據(jù)模型中是否含有空間變量來(lái)進(jìn)行劃分的。集中參數(shù)模型是指模型中各變量與空間位置無(wú)關(guān)，變量在整個(gè)系統(tǒng)中是均一的，在穩(wěn)態(tài)模型中，這種表述為代數(shù)方程，在動(dòng)態(tài)模型中，這種表述則為常微分方程。分布參數(shù)模型是指模型中至少有一個(gè)變量與空間位置有關(guān)，在穩(wěn)態(tài)模型中，這種表述為空間自變量的常微分方程，在動(dòng)態(tài)模型中，這種表述則為空間、時(shí)間自變量的偏微分方程。比如《地下水動(dòng)力學(xué)》中利用最小二乘法配置的井涌水量與降深之間的經(jīng)驗(yàn)公式，屬于集中參數(shù)模型，而裘布依模型、泰斯模型、紐曼模型等，均屬于分布參數(shù)模型。

1.1.4 確定性模型與隨機(jī)模型

確定性模型與隨機(jī)模型是根據(jù)模型中變量的取值性質(zhì)來(lái)進(jìn)行劃分的。確定性模型是一個(gè)由完全肯定的函數(shù)關(guān)系所決定的數(shù)學(xué)模型，模型中的變量只能取確定的值，可用解析法、數(shù)值法和電模擬法求解。隨機(jī)模型亦稱“非確定的、概率的模型”，模型中的變量只知其取值的概率。比如當(dāng)水均衡要素不作為隨機(jī)變量處理時(shí)，水均衡方程式所描述的模型屬于確定性模型，否則為隨機(jī)模型。

1.1.5 黑箱模型與白箱模型

黑箱模型與白箱模型是根據(jù)模型本身所描述的對(duì)象來(lái)進(jìn)行劃分的。黑箱模型是指在模型中僅僅關(guān)注實(shí)體與外界的信息交換，而不考慮實(shí)體內(nèi)部的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。白箱模型是指需同時(shí)關(guān)注實(shí)體與外界的信息交換以及實(shí)體內(nèi)部的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。比如研究一個(gè)泉域，若只研究泉域的降雨補(bǔ)給量與泉的排泄量之間的關(guān)系，而不考慮泉域含水層本身的賦存條件，該數(shù)學(xué)模型屬于黑箱模型；若同時(shí)考慮泉域與外界的交換條件與規(guī)律以及泉域含水層本身的賦存規(guī)律，則屬于白箱模型。

1.2 物理模型法

物理模型法與數(shù)學(xué)模型法相同的是，兩種方法均是將現(xiàn)實(shí)中復(fù)雜的水文地質(zhì)條件概化為簡(jiǎn)單的水文地質(zhì)模型，不同的是，數(shù)學(xué)模型法是通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型來(lái)研究地下水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而物理模型法則是通過(guò)比擬水文地質(zhì)模型，建立起相似的物理模型來(lái)研究地下水流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2 地下水流模型的求解方法

2.1 解析法

解析法是指利用數(shù)學(xué)上的積分法或積分變換等方法直接求解數(shù)學(xué)模型，得出的解即為解析解，它是數(shù)學(xué)模型的精確解。

該種方法的優(yōu)勢(shì)在于可以把表征地下水運(yùn)動(dòng)規(guī)律的各種物理量與激發(fā)條件、時(shí)空變化包含在一個(gè)表達(dá)式中，用數(shù)學(xué)分析的方法去求解各個(gè)物理量之間的相互聯(lián)系與相互制約的內(nèi)在規(guī)律，求出的解可以直接、精確的用于分析地下水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及變化特征。同時(shí)，該種方法的局限性又表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：

（1）由于數(shù)學(xué)模型的適用條件較為苛刻，使得其很難準(zhǔn)確描述自然界復(fù)雜的水文地質(zhì)邊界條件，有時(shí)可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述概化后的邊界條件，但結(jié)果可能已嚴(yán)重偏離實(shí)際的水文地質(zhì)問(wèn)題。

（2）在處理含水層的非均質(zhì)性、各向異性、線狀補(bǔ)給及局部面狀補(bǔ)給的問(wèn)題時(shí)較為困難。解析法只能處理均質(zhì)含水層且含水層的主滲流方向不變條件下的地下水流問(wèn)題，但自然界中由于地質(zhì)環(huán)境的變化，不存在嚴(yán)格意義上的均質(zhì)含水層，而且往往在研究區(qū)域含水層的主滲流方向隨空間變化，因此無(wú)法求得解析解。例如在潛水含水層中，如果涉及有渠道或河流的線狀補(bǔ)給或地表水體的局部面狀補(bǔ)給問(wèn)題時(shí)，現(xiàn)有典型模型的解析解也無(wú)法用來(lái)描述此類復(fù)雜條件下地下水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2.2 數(shù)值模擬法

由于復(fù)雜條件下解析解的仿真度較低，并且隨著電子計(jì)算機(jī)的極速發(fā)展，數(shù)值模擬方法在實(shí)際處理復(fù)雜地下水流運(yùn)動(dòng)中表現(xiàn)出了其優(yōu)越性。用數(shù)值模擬方法求出的解稱為數(shù)值解，離散化方法是求解各種分布參數(shù)模型數(shù)值解的基本方法。主要包括有限差分法及有限元法。

2.2.1 有限差分法

有限差分法是指求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問(wèn)題的數(shù)值解。在地下水流系統(tǒng)中，就是按一定的方式把所研究的滲流區(qū)域離散成很多但有限的小均衡域，在滿足一定的精度條件下，每個(gè)小均衡域內(nèi)的各種參數(shù)均視為常數(shù)，小均衡域內(nèi)的水頭以其中心點(diǎn)的水頭作為代表，相鄰小均衡域間的水頭變化近似看成是線性變化。有限差分法求出的解為地下水流系統(tǒng)離散點(diǎn)上的近似值，而不是精確解。

2.2.2有限元法

有限元法是指通過(guò)剖分插值把區(qū)域連續(xù)求解的微分方程離散成求解線性代數(shù)方程組，用近似解來(lái)代替精確解。由于所依據(jù)的原理不同，有限元法可劃分為變分有限元法、伽遼金有限元法及均衡有限元法等，盡管依據(jù)原理不同，但在求解相同條件下的地下水滲流問(wèn)題時(shí)，最終得到的線性方程組均是一致的。

3 結(jié)論

實(shí)際情況下，地下水流運(yùn)動(dòng)是復(fù)雜多變的，描述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法也多種多樣，但是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要綜合考慮多方面的因素，選擇較為符合實(shí)際的方法，才能得到我們所期望的結(jié)果