華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510631) 羅碎海

平面幾何中的反演變換是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)知識(shí),它實(shí)現(xiàn)了圓與直線(xiàn)的轉(zhuǎn)化.學(xué)習(xí)了橢圓后,自然想到,這種反演變換能否推廣到橢圓中.

1 反演變換及其性質(zhì)

1.1 反演變換定義及其幾何作圖

定義1在平面π上, 設(shè)O是一個(gè)定點(diǎn),P,Q是射線(xiàn)Ox上的兩點(diǎn), 且滿(mǎn)足條件OP ·OQ=r2, 我們稱(chēng)P與Q互為反演點(diǎn),這個(gè)變換稱(chēng)為平面π的一個(gè)反演變換,記做I(O,r2).定點(diǎn)O稱(chēng)為反演中心(反演極),r叫做反演半徑,以O(shè)為圓心、r為半徑的圓叫反演基圓,r2叫反演冪.

圖1

其實(shí),OP ·OQ=r2?OP ·OQ=OR2(如圖1).給出基圓,可作出P的反演點(diǎn)Q.

(1)若P在基圓⊙O上,則Q就是P.

(2)若P在基圓⊙O外, 自P向反演基圓引切線(xiàn)PA、PB(以O(shè)P為直徑的圓與基圓⊙O交于A、B就是切點(diǎn)),連接切點(diǎn)A、B的直線(xiàn)與OP的交點(diǎn)Q為所求.

(3)若P在⊙O內(nèi),則反(2)之道以求之.

1.2 反演點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系

設(shè)P(x,y),Q(x′,y′)分別是關(guān)于反演變換I(O,r2)的一對(duì)反演點(diǎn),P,Q在過(guò)O的同一射線(xiàn)上,所以設(shè)x′=λx,y′=λy(λ ＞0),因?yàn)閨OP|=利用|OP|·|OQ|=r2,可得λ(x2+y2)=r2,所以x′=或者

這就是互為反演點(diǎn)P(x,y)與Q(x′,y′)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

如圖1, 我們知道[1]:若⊙O的方程為x2+y2=r2,點(diǎn)P在圓外且坐標(biāo)為(x0,y0), 則切點(diǎn)連線(xiàn)AB的方程為x0x+y0y=r2.所以AB是點(diǎn)P關(guān)于圓O的極線(xiàn),Q是OP與極線(xiàn)AB的交點(diǎn).

1.3 反演變換的性質(zhì)

在反演變換I(O,r2)下, 如果平面π的圖形F變?yōu)閳D形F′,則稱(chēng)圖形F′是圖形F關(guān)于反演變換I(O,r2)的反形.反演變換的不動(dòng)點(diǎn)稱(chēng)為自反點(diǎn),而反演變換的不變圖形則稱(chēng)為自反圖形.

對(duì)于特殊的直線(xiàn)與圓,可得到其反演性質(zhì):

性質(zhì)1.1反演中心不存在反演點(diǎn).不共線(xiàn)的兩對(duì)反演點(diǎn)共圓.

證明如圖2,設(shè)O為反演中心,點(diǎn)A反演點(diǎn)為C,點(diǎn)B的反演點(diǎn)為D.由反演定義得OA·OC=OB·OD=k,故而∠AOB=∠DOC,所以ΔOAB∽ΔODC.由此得∠OAB=∠ODC,所以,點(diǎn)A、C、B、D共圓.證畢.

圖2

圖3

說(shuō)明證明過(guò)程中得到的ΔOAB∽ΔODC,∠OBA=∠OCD也是常用結(jié)論.

性質(zhì)1.2反演變換把通過(guò)反演中心O的任一條直線(xiàn)變成自身.即通過(guò)反演中心的任何直線(xiàn)都是該反演變換下的不變圖形.(直線(xiàn)→直線(xiàn))

這是顯然的,點(diǎn)、其反演點(diǎn)、反演圓心三點(diǎn)共線(xiàn).

性質(zhì)1.3反演變換把任一條不通過(guò)反演中心O的直線(xiàn)變成一個(gè)通過(guò)反演中心O的一個(gè)圓,而且這個(gè)圓在點(diǎn)O的切線(xiàn)平行于該直線(xiàn).(直線(xiàn)→圓)

證明設(shè)⊙O的方程為= 1,直線(xiàn)l的方程為= 1.如圖3,P(x,y)為l上一點(diǎn),連OP,與圓交于點(diǎn)R,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)為Q(x′,y′).

將反演坐標(biāo)關(guān)系(?)x=代入

這個(gè)方程就是點(diǎn)Q的軌跡方程, 表示一個(gè)圓, 該圓過(guò)坐標(biāo)系原點(diǎn)O(0,0), 在O點(diǎn)的切線(xiàn)方程為這條切線(xiàn)與直線(xiàn)l平行.

評(píng)述直線(xiàn)l:= 1 關(guān)于⊙O:= 1 的反演圓方程為相當(dāng)于已知兩方程中“1=1”代換.

性質(zhì)1.4反演變換把任一個(gè)通過(guò)反演中心O的圓變成一個(gè)不通過(guò)反演中心O的一條直線(xiàn),而且這條直線(xiàn)平行于該圓的過(guò)點(diǎn)O的切線(xiàn).(圓→直線(xiàn))

性質(zhì)1.4 與1.3 互為逆命題.通過(guò)反演坐標(biāo)關(guān)系可證明,也可通過(guò)平面幾何知識(shí)證明,證明略.

性質(zhì)1.5反演變換把任一個(gè)不通過(guò)反演中心O的圓變成不能過(guò)反演中心O的圓.(圓→圓)自然兩圓的連心線(xiàn)過(guò)反演中心O.

圖4

證明如圖4, 設(shè)K為已給的不過(guò)反演中心O點(diǎn)的圓, 建立坐標(biāo)系, 使O為原點(diǎn),x軸過(guò)圓心K(a,0), 在圓K上的點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足方程(x-a)2+y2=b2或x2+y2-2ax=b2-a2(b ?=a).

這里b是圓K的半徑,設(shè)Q是P的反演點(diǎn),(x′,y′)是點(diǎn)Q的坐標(biāo),(x′,y′)和(x,y)在過(guò)O的同一射線(xiàn)上.

將反演坐標(biāo)x=代入圓K方程, 就得出Q(x′,y′)所滿(mǎn)足的方程(b2-a2)(x′2+y′2)+2ar2x′=r4.

當(dāng)b2-a2?= 0 時(shí), 可變形為x′2+y′2+=

它的軌跡確實(shí)是一個(gè)不過(guò)反演中心的圓.要將圓的反演變換推廣到橢圓中,我們將橢圓看成圓經(jīng)過(guò)伸縮變換而得到,先了解伸縮變換.

2 伸縮變化及其性質(zhì)

2.1 伸縮變化

高中《數(shù)學(xué)》選修4-4,1.2 中有曲線(xiàn)的伸縮變換.

定義2設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換φ:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′,y′),稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換.

2.2 伸縮變換的性質(zhì)

對(duì)于伸縮變換很容易得到以下性質(zhì):

同素性:在經(jīng)過(guò)伸縮變換之后,點(diǎn)仍然是點(diǎn),線(xiàn)仍然是線(xiàn)(直線(xiàn)變直線(xiàn)).

結(jié)合性:在經(jīng)過(guò)伸縮變換之后,在直線(xiàn)上的點(diǎn)仍然在直線(xiàn)上.

具體還可得到以下不變關(guān)系:

(1)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系不變(相切變相切,相交變相交).

(2)對(duì)應(yīng)圖形的面積比不變.

(3)對(duì)應(yīng)直線(xiàn)的斜率比不變.

(4)兩平行線(xiàn)段或共線(xiàn)線(xiàn)段的比不變(三點(diǎn)共線(xiàn)的比不變),具體如:線(xiàn)段的中點(diǎn)變換后是新線(xiàn)段的中點(diǎn).

證明較易,略.

3 橢圓的反演變換

3.1 橢圓中的反演變換

圖1 經(jīng)伸縮變換變?yōu)閳D5 可得到橢圓中的反演變換.

圖1

圖5

把橢圓理解為在伸縮變換下的圓,由伸縮變化的的位置關(guān)系、線(xiàn)段比例不變性可自然得到橢圓的反演變換.

定義3在平面π上, 橢圓中心為O,線(xiàn)段OP(或延長(zhǎng)線(xiàn))與橢圓相交于點(diǎn)R, 在線(xiàn)段OP上有一點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件OP ·OQ=OR2, 我們稱(chēng)P與Q關(guān)于該橢圓互為反演點(diǎn).(如圖6)

圖6

與圓的反演不同,在圓中OP ·OQ=OR2,OR2=r2是常量.在橢圓中OP ·OQ=OR2,OR2是變量.

由伸縮變換將圖1 變?yōu)閳D5,或由圓錐曲線(xiàn)的極點(diǎn)與極線(xiàn)知識(shí)可知[1],給定橢圓O與不在橢圓上的一點(diǎn)P(如圖6),過(guò)點(diǎn)P作橢圓兩條切線(xiàn),連兩切點(diǎn)A,B,連OP,OP與AB的交點(diǎn)是Q.

進(jìn)一步可得以下定理:

定理對(duì)于橢圓O:= 1 與橢圓外一點(diǎn)P(x0,y0), 若直線(xiàn)OP與橢圓交于S,R(R在P,Q之間),PA,PB是橢圓兩切線(xiàn).則

(1)兩切點(diǎn)連線(xiàn)AB方程為

(2)Q是線(xiàn)段AB中點(diǎn).

(4)=-1(調(diào)和比).

(以上PA等都是有向線(xiàn)段數(shù)量表示)

證明(3)如圖6,即PQ·(PR+PS)=2PR·PS,即(OP-OQ)·(OR-OP+OS-OP)=2(OR - OP)·(OS - OP), 即(OP - OQ)·(-2OP)=2(OR - OP)·(-OR - OP), 即-2(OP2- OQ · OP=-2(OR2-OP2),所以O(shè)P ·OQ=OR2?|OP|·|OQ|=|OR|2.

證明(4)

3.2 橢圓反演變換的性質(zhì)

這種反演變換有如下性質(zhì):

性質(zhì)3.1不過(guò)反演中心的直線(xiàn),經(jīng)反演后,其反形為過(guò)反演中心的橢圓(或圓).

證明設(shè)直線(xiàn)方程為mx+ny= 1(m2+n2?= 0),反演橢圓為F(x,y)= 1, 由反演變換公式得+=1,變形為mx+ny=F(x,y),(x2+y2?=0),即-mx-ny=0.

性質(zhì)3.2過(guò)反演中心的直線(xiàn),經(jīng)反演后,其反形為仍為過(guò)反演中心的直線(xiàn).

證明設(shè)直線(xiàn)方程為mx+ny= 1(m2+n2?=0), 反演橢圓為F(x,y)= 1, 由反演變換公式(??)得=0,即mx+ny=0,(m2+n2?=0).所以,結(jié)論成立.

性質(zhì)3.3過(guò)反演中心的二次曲線(xiàn)f(x,y)= 0, 經(jīng)反演后,其反形為經(jīng)過(guò)反演中心三次曲線(xiàn).特別地,若f(x,y)的二次項(xiàng)可表示為kF(x,y),則其反形為一條直線(xiàn).(F(x,y)= 1為反演橢圓)

證明設(shè)反演橢圓為F(x,y)= 1, 若二次曲線(xiàn)為f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=0,以反演變換公式(??)代入得Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)F(x,y)=0.此為三次曲線(xiàn).特別地, 若Ax2+Bxy=kF(x,y), 約去F(x,y),得Dx+Ey+k= 0.這是不過(guò)反演中心的一條直線(xiàn).

性質(zhì)3.4不過(guò)反演中心的二次曲線(xiàn)f(x,y)=0,經(jīng)反演后,其反形為四次曲線(xiàn).特別地,如f(x,y)= 0 的二次項(xiàng)可表示為kF(x,y),則其象為二次曲線(xiàn).(F(x,y)=1 為反演橢圓)

證明設(shè)反演橢圓為F(x,y)= 1, 若二次曲線(xiàn)為f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+G= 0, 以反演變換公式(??)代入得Ax2+Bxy+Cy2+ (Dx+Ey)F(x,y)+G·F2(x,y)=0.一般的,此為四次曲線(xiàn).特別地,若Ax2+Bxy+Cy2=kF(x,y),約去F(x,y),上式可化為二次曲線(xiàn).

可得一般結(jié)論:

結(jié)論一般地, 若點(diǎn)P的軌跡方程為f(x,y)= 0, 則反演之后的方程為其中x2+y2?=0.

反演變換也可以推廣到雙曲線(xiàn)中,即可推廣到有心二次曲線(xiàn)中.

4 反演變換的應(yīng)用

例1ΔABC的內(nèi)切圓與邊BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,設(shè)L,M,N分別是EF,FD,DE的中點(diǎn).求證:ΔABC的外心、內(nèi)心與ΔLMN的外心三點(diǎn)共線(xiàn).

證明如圖7,設(shè)ΔABC的內(nèi)心為I,內(nèi)切圓半徑為r.以?xún)?nèi)心I為反演中心,內(nèi)切圓為反演圓作反演變換I(I,r2),則A,B,C的反演點(diǎn)分別為L(zhǎng),M,N,因而ΔABC的外接圓反形是ΔLMN的外接圓, 這兩圓的圓心互為一對(duì)反演點(diǎn),連線(xiàn)必過(guò)反演中心I.故ΔABC的外心、內(nèi)心和ΔLMN的外心三點(diǎn)共線(xiàn).

圖7

圖8

例2已知橢圓=1,直線(xiàn)=1,P是l上的點(diǎn),射線(xiàn)OP交橢圓于點(diǎn)R,又點(diǎn)Q在OP上,且滿(mǎn)足|OQ|·|OP|=|OR|2,當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡.

分析看到|OQ|·|OP|=|OR|2,由性質(zhì)3.1 可知,點(diǎn)Q的軌跡為

任何問(wèn)題, 只要向前走一步, 回頭就看得更清楚, 所謂“不識(shí)廬山真面目,只緣身在此山中.”由圓的反演變換走向橢圓的反演變換,才能對(duì)這個(gè)知識(shí)體系有深刻的認(rèn)識(shí).