許文彬

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

文中將考慮進(jìn)化方程

(1)

u|t=0=u0(x),x∈Ω,

(2)

總是需要的。若α=0，關(guān)于這個(gè)方程有一些研究結(jié)果：文獻(xiàn)[3]研究了各向異性的變指數(shù)方程解的存在性；文獻(xiàn)[4]假設(shè)在沒有對數(shù)H?lder連續(xù)性的條件下，研究了方程變指數(shù)方程初邊值問題解的存在唯一性；文獻(xiàn)[5]研究了變指數(shù)含有時(shí)間變量的解的梯度估計(jì)；文獻(xiàn)[6]研究了相關(guān)解的H?lder連續(xù)性。

如果p(x)=p，文獻(xiàn)[7]研究了方程

(3)

發(fā)現(xiàn)，與通常的邊界條件

u(x,t)=0,(x,t)∈?Ω×(0,T)

(4)

相比，僅部分邊界條件

u(x,t)=0,(x,t)∈∑p×(0,T)

(5)

與方程(3)相匹配。

1 定義

定義2 設(shè)u(x,t)為具有初值(2)的方程(1)的弱解。如果u在跡意義下滿足部分邊界條件(5)，則稱u(x,t)為具有初始邊界條件(2)、(5)的方程(1)的弱解。

2 主要結(jié)果

首先，主要討論基于部分邊界值條件的弱解的穩(wěn)定性。

定理1 設(shè)b(s)是Lipschitz函數(shù)，u和v分別是方程(1)具有相同的局部齊次邊值條件

u|Σp×(0,T)=0=v|Σp×(0,T)，

(6)

和不同的初值u0(x)、v0(x)的兩個(gè)弱解。如果

(7)

α

|g(x)|≤cρ(x),

(8)

則

當(dāng)然，定理1 的條件(7)只是證明了一類解的穩(wěn)定性。其實(shí)從下面的證明可以看出，如果不是部分邊界條件，而是整個(gè)邊界條件(4)，那么只要選取gn(u-v)作為檢驗(yàn)函數(shù)，無需條件(7)，可以得到下面的推論1。

如果α≥p+-1，方程(1)的弱解由于缺乏正則性而難以定義其在邊界上的跡，必須研究不帶邊界值條件的弱解的穩(wěn)定性。

定理2 設(shè)u和v分別是方程(1)具有不同初值u0(x)、v0(x)的兩個(gè)弱解。如果α>p+-1，常數(shù)β≥max{α/p-,1}，且

|g(x)|≤cρβ(x),

(9)

3 定理1和定理2的證明

3.1 定理1的證明

(10)

其中，Ωλ={x∈Ω:ρ(x)=dist(x,?Ω)>λ}。

對于任意給定的正整數(shù)n，設(shè)gn(s)為奇數(shù)函數(shù)，且

如果u和v分別是方程(1)具有局部齊次邊界值(6)和不同的初值u0(x)、v0(x)的兩個(gè)弱解，可以選擇Sn(φ(u-v))作為檢驗(yàn)函數(shù)，則

φu-v)·

(11)

于是，

(12)

(13)

(14)

而由于bi(s)是Lipschitz函數(shù)，|g(x)|≤cρ(x)，|bi(u)-bi(v)|≤c|u-v|。根據(jù)跡的定義，容易推導(dǎo)出

(15)

此外，同文獻(xiàn)[11]，可以證明

(16)

具體如下

(17)

如果{x∈Ω:|u-v|=0}是0測度的集合，則

如果集合{x∈Ω:|u-v|=0}有正測度，則

因此，在這兩種情況下，當(dāng)η→0時(shí)，式(17)趨于0。

其次，

(18)

3.2 定理2的證明

對于任意固定的s,τ∈[0,T)，通過取極限，可以選擇χ[τ,s](u-v)φ作為檢驗(yàn)函數(shù)，其中χ[τ,s]是[τ,s]上的特征函數(shù)，φ(x)由文獻(xiàn)[10]定義，有：

?Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt-?Qτs[bi(u)-bi(v)]gxiφ(u-v)dxdt，

(19)

其中Qτs=Ω×[τ,s]。

可以把式(19)重新整理得到：

2?Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt-?Qτs[bi(u)-bi(v)]gxiφ(u-v)dxdt≤

2?Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt-?Qτs[bi(u)-bi(v)]gxiφ(u-v)dxdt。

(20)

首先，因?yàn)?/p>

(21)

由α>p+-1和α-p(x)>-1及式(21)得

(22)

其次，

?Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt=?Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φxi+(u-v)xiφ]dxdt。

由于|ρxi|≤|ρ|=1，根據(jù)式(9)，|g(x)|≤cρ(x)，則：

(23)

這里u,v∈L∞(QT)，根據(jù)式(9)，|g(x)|≤cρβ(x)及β≥α/p-，有

|?Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)](u-v)xiφdxdt|≤

(24)

根據(jù)引理1的ⅲ)，p1=p+或p-，q1=maxp(x)/(p(x)-1)或minp(x)/(p(x)-1)。

令Ω1={x∈Ω:p(x)/(p(x)-1)≥2}，Ω2={x∈Ω:p(x)/(p(x)-1)<2}，則

(25)

且

(26)

其中q2=max 2(p(x)-1)/p(x)或min 2(p(x)-1)/p(x)是根據(jù)引理1的ⅲ)來確定。

結(jié)合式(24)～式(26)，得到

(27)

其中l(wèi)<1。

還有，

(28)

在式(20)中讓λ→0，由式(22)～式(23)及式(27)～式(28)，可得

(29)