文 戚文理

我們先來看一下2019 年四川綿陽數(shù)學中考第24題：

在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖像向右平移1 個單位，再向下平移2 個單位，得到如圖1 所示的拋物線，該拋物線與x 軸交于點A、B（點A 在點B 的左側），OA=1，經(jīng)過點A 的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸正半軸交于點C，且與拋物線的另一個交點為D，△ABD的面積為5。

（1）求拋物線和一次函數(shù)的表達式；

（2）拋物線上的動點E 在一次函數(shù)的圖像下方，求△ACE 面積的最大值，并求出此時點E的坐標；

【分析】（1）先寫出平移后的拋物線表達式，經(jīng)過點A（-1，0），可求得a 的值，由△ABD的面積為5 可求出點D 的縱坐標，代入拋物線表達式求出橫坐標，由A、D 的坐標可求出一次函數(shù)表達式；

（2）作EM∥y 軸交AD 于M，如圖2，利用三角形面積公式，由S△ACE=S△AME-S△CME構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題；

（3）如圖3，作E 關于x 軸的對稱點F，過點F作FH⊥AE于點H，交x軸于點P，則∠BAE=∠HAP=∠HFE，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出，此時FH 最小，求出最小值即可。

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)表達式的求法和數(shù)形結合的能力。要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題。第（3）問是本題的壓軸點，屬于“胡不歸”模型。

“胡不歸”模型是一個非常古老的數(shù)學模型，也是歷史上非常著名的難題，近年來逐漸成為各地中考的熱門考點，很多同學不易把握。下面結合幾個例子來說說這一模型。

一、“胡不歸”模型的建立

如圖4，點P是射線AM 上一動點，點B是射線外一定點。求k·PA+PB 取最小值時點P的位置（其中0＜k＜1）。

【分析】如圖5，將射線AM 繞A 點逆時針旋轉α°得射線AM′，使sinα=k。過點P 作PE⊥AM′，垂足為E，那么有k·PA+PB=PE+PB。過點B 作BF⊥AM′，垂足為F，交AM 于點P′，易得，當點P 與P′重合時，k·PA+PB 有最小值BF。

【理論依據(jù)】點到直線間垂線段最短。

二、“胡不歸”模型的運用

例1（2019·湖北恩施）如圖6，拋物線y=ax2-2ax+c的圖像經(jīng)過點C（0，-2），頂點D的坐標為與x軸交于A、B兩點。

（1）求拋物線的表達式。

（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和的值。

【分析】（1）將點C、D 的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（3）連接BF，過點F 作FG⊥AC 于點G，當折線段BFG 與BE 重合時，取得最小值，即可求解；

（4）①當點Q為直角頂點時，由Rt△QHM∽Rt△FQM 得QM2=HM·FM；②當點H 為直角頂點時，點H（0，2），則點Q（1，2）；③當點F為直角頂點時，同理可得點

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及一次函數(shù)、點的對稱性、三角形相似、圖形的面積計算等，其中第（4）問要注意分類求解，避免遺漏。第（3）（4）兩小問則是對“胡不歸”模型的應用。

例2（2020·湖南湘西）已知直線y=kx-2 與拋物線y=x2-bx+c（b、c 為常數(shù)，b＞0）的一個交點為A（-1，0），點M（m，0）是x 軸正半軸上的動點。

（1）當直線y=kx-2 與拋物線y=x2-bx+c（b、c為常數(shù)，b＞0）的另一個交點為該拋物線的頂點E 時，求k、b、c 的值及拋物線頂點E 的坐標；

（2）在（1）的條件下，設該拋物線與y 軸的交點為C，若點Q 在拋物線上，且點Q 的橫坐標為b，當時，求m的值；

【分析】（1）將A 點坐標代入直線與拋物線的表達式中求得k 的值和b 與c 的關系式，再將拋物線的頂點坐標代入求得的直線的表達式，便可求得b、c 的值，進而求得E 點的坐標；

（2）先根據(jù)拋物線的表達式求得C、Q 點的坐標，用m 表示出△EQM 的面積，再根據(jù)列出m的方程進行求解；

（3）取點N（0，1），則∠OAN=45°，過點D作直線AN 的垂線，垂足為G，DG 與x 軸交于點M，此時的值最小，由列出關于b的方程求解便可。

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)的圖像與性質、三角形面積公式、等腰直角三角形的性質等知識。第（2）小問的關鍵是由面積關系列出m的方程，第（3）小問的關鍵是利用“胡不歸”模型確定的最小值為2DG的值。