文 胡海洋

點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)構(gòu)成的問(wèn)題稱為幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題，也一直是中考?jí)狠S題命題的熱點(diǎn)。這類問(wèn)題的特征是，以運(yùn)動(dòng)中的幾何圖形為載體構(gòu)建成綜合題，把幾何、三角、函數(shù)、方程等知識(shí)集于一身，題型新穎，綜合性強(qiáng)，能力要求高。遇到這類問(wèn)題，要把握好一般與特殊的關(guān)系；在分析過(guò)程中，要特別關(guān)注圖形的特殊性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置）。如何準(zhǔn)確、快速地解決此類問(wèn)題呢？關(guān)鍵是把握解決此類題型的規(guī)律與方法——以靜制動(dòng)。

例題（2018·江蘇宿遷）如圖1，在邊長(zhǎng)為1 的正方形ABCD 中，動(dòng)點(diǎn)E、F 分別在邊AB、CD上。將正方形ABCD 沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M 始終落在邊AD 上（點(diǎn)M 不與點(diǎn)A、D 重合），點(diǎn)C 落在點(diǎn)N 處，MN 與CD 交于點(diǎn)P，設(shè)BE=x。

（2）隨著點(diǎn)M 在邊AD 上位置的變化，△PDM 的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不變，請(qǐng)求出該定值；

（3）設(shè)四邊形BEFC 的面積為S，求S 與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值。

【解析】（1）由折疊性質(zhì)可知BE=ME=x，結(jié)合已知條件知AE=1-x，在Rt△AME 中，根據(jù)勾股定理，得，解得

（2）△PDM的周長(zhǎng)不變，為定值2。

方法一：連接BM、BP，過(guò)點(diǎn)B 作BH⊥MN，如圖2。根據(jù)折疊性質(zhì)知BE=ME，由等邊對(duì)等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角形的判定AAS得Rt△ABM≌Rt△HBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得AM=HM，AB=HB=BC，又根據(jù)全等三角形的判定HL 得Rt△BHP≌Rt△BCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得HP=CP，由三角形周長(zhǎng)和等量代換即可得出△PDM周長(zhǎng)為定值2。

方法二：設(shè)AM=a，由EM2=AE2+AM2，得x2=（1-x）2+a2，∴a2=2x-1。

由△AEM∽△DMP，得

（3）方法一：過(guò)點(diǎn)F 作FQ⊥AB，垂足為Q，連接BM。由折疊性質(zhì)可知∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，由等角的余角相等得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定ASA得Rt△ABM≌Rt△QFE，據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得AM=QE。設(shè)AM 長(zhǎng)為a，在Rt△AEM 中，根據(jù)勾股定 理，得（1-x）2+a2=x2，從 而 得AM=QE=，BQ=CF=x-，根據(jù)梯形的面積公式代入即可得出S 與x 之間的函數(shù)表達(dá)式。又由（1-x）2+a2=x2，得=BE，BQ=-a（0＜a＜1），代入梯形面積公式即可轉(zhuǎn)為關(guān)于a 的二次函數(shù)，配方從而求得S 的最小值。

方法二：設(shè)AM=a，MD=1-a，由勾股定理，得a2=2x-1。利用△AEM∽△DMP∽△NFP得比例式，求出FN。由FC=FN 得BE）·BC，表示成關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式求解。

方法三：連接FM、BM、BF。由折疊性質(zhì)知EF垂直平分BM，則FM=BF。

∴y2+1=（1-y）2+（1-a）2，則

圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題一般與圖形變換相結(jié)合。圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只是位置發(fā)生變化，大小、形狀一般不變，因此我們?cè)诮獯疬@類問(wèn)題時(shí)往往可以運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、平行、全等、等腰三角形等知識(shí)。本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等、相似三角形、二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，特別是第（3）問(wèn)的解題思路，看似清晰，處理起來(lái)卻很困難且比較復(fù)雜。計(jì)算量大，即對(duì)計(jì)算技巧要求很高，因此處理復(fù)雜問(wèn)題也是我們必備的能力。