劉亞菲 舒開鷗 郭子濤 張雷
(九江學(xué)院建筑工程與規(guī)劃學(xué)院,江西九江332005)
三剛片規(guī)則是平面體系幾何組成分析的核心方法,對于規(guī)則中含有無窮遠(yuǎn)虛鉸(連接兩剛片的兩平行鏈桿)的情形,往往是教學(xué)難點(diǎn),由于現(xiàn)行教材[1-2]中均沒有對這一情形詳細(xì)易懂的證明,影響了學(xué)生對知識的理解。相關(guān)文獻(xiàn)[3-4]雖給出了證明方法,但采用的是本科階段并未涉及的射影幾何知識,無助教學(xué)應(yīng)用。
本文應(yīng)用理論力學(xué)[5]中剛體平面運(yùn)動學(xué)知識,分析了虛鉸和無窮遠(yuǎn)虛鉸的運(yùn)動學(xué)特性,提出了兩個運(yùn)動學(xué)定理,在此基礎(chǔ)上結(jié)合其他運(yùn)動學(xué)基本理論,針對有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則,給出了詳細(xì)且簡明的證明,方便了學(xué)生更好理解這一規(guī)則,也開拓了平面體系幾何組成分析的新思路。
相等
證明:設(shè)剛片I和剛片II的角速度矢分別為ω1和ω2,它們在O點(diǎn)(兩剛片上或剛片的擴(kuò)展部分上與虛鉸位置重合的點(diǎn))的速度矢分別為vO1和vO2,桿AC和桿BD的角速度矢分別為ωAC和ωBD,并設(shè)矢量AC=aOA,BD=bOB,如圖1。
對剛片I和剛片II,分別以O(shè)點(diǎn)為基點(diǎn),有
圖1
對桿AC和桿BD,分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為基點(diǎn),結(jié)合式(1)和式(2)有
式(5)減去式(3),式(6)減去式(4),得
注意到桿AC和桿BD不平行,即OA和OB不平行,若要式(7)成立,必有
此時可得:vO1=vO2,于是“兩剛片(或其擴(kuò)展部分)在虛鉸處速度相等”成立。
證明:設(shè)剛片I的速度瞬心為O點(diǎn),剛片I和剛片II角速度矢分別為ω1和ω2,兩平行鏈桿AC和BD的角速度矢分別為ωAC和ωBD,如圖2。對桿AC和BD,分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為基點(diǎn),有對剛片II,以D點(diǎn)為基點(diǎn),結(jié)合式(9)有
式(10)減去式(8),并將BA=OA-OB和DC=BA+AC-BD代入,得
式(11)等號左側(cè)的結(jié)果矢量在平面內(nèi)垂直BA;由于桿AC和桿BD平行,故等號右側(cè)的結(jié)果矢量在平面內(nèi)垂直AC或BD,又由于BA不可能與AC或BD平行,若要式(11)成立,必有等號兩邊都為0,得:ω2=ω1,于是“無窮遠(yuǎn)虛鉸(兩根平行鏈桿)連接的兩剛片,角速度相等”成立。
圖2
三剛片規(guī)則中,若有一個無窮遠(yuǎn)虛鉸,且它不與另兩鉸的連線平行,規(guī)則仍然成立,即體系是無多余約束的幾何不變體系,如圖3。
圖3
證明:固定剛片III,由定理一可知剛片I在虛鉸A處及剛片II在虛鉸B處的速度必均為零,因此若剛片I和剛片II能動,則只能分別繞A和B轉(zhuǎn)動,又因?yàn)橛脽o窮遠(yuǎn)虛鉸連接,由定理二可知剛片I和剛片II的角速度相等,設(shè)為ω,如圖4。設(shè)A和B到鏈桿CD的距離分別為a和b,不難得出C和D兩點(diǎn)的速度在鏈桿CD上的投影分別為:vCD=ω·a,vDC=ω·b。在鏈桿CD上根據(jù)速度投影定理,得
圖4
考慮到鏈桿CD與兩虛鉸A和B的連線不平行,即a/=b,若要式(12)成立,只能有ω=0,這表明剛片I和剛片II均只能固定不動,即體系幾何不變。
三剛片規(guī)則中,若有兩個無窮遠(yuǎn)虛鉸,且它們不平行,規(guī)則仍然成立,即體系是無多余約束的幾何不變體系,如圖5。
圖5
證明:固定剛片III,由于與剛片III均由無窮遠(yuǎn)虛鉸連接,由定理二可知若剛片I和剛片II能動,則只能分別沿垂直無窮遠(yuǎn)虛鉸方向平動,設(shè)它們的速度矢分別為v1和v2,如圖6。因?yàn)閮蔁o窮遠(yuǎn)虛鉸不平行,故必有v1/=v2,剛片I和剛片II由虛鉸A連接,由定理一知它們在虛鉸A處的速度相等,即v1=v2,于是只能有v1=v2=0,這也表明剛片I和剛片II只能固定不動,即體系幾何不變。
圖6
三剛片規(guī)則中,若連接三剛片的三個鉸均為無窮遠(yuǎn)虛鉸,則體系是幾何可變體系,如圖7。
圖7
證明:固定剛片III,由于與剛片III均由無窮遠(yuǎn)虛鉸連接,由定理二可知若剛片I和剛片II能動,仍只能分別沿垂直無窮遠(yuǎn)虛鉸方向平動(即兩剛片角速度均為0,自然滿足定理二),設(shè)速度分別為v1和v2,如圖8。此時只要v1和v2沿連接剛片I和剛片II的無窮遠(yuǎn)虛鉸方向上的分量相等,即滿足速度投影定理,于是v1和v2可不必都為0,這表明剛片I和剛片II至少有一個可動,即體系幾何可變。
圖8
本文利用理論力學(xué)中剛體平面運(yùn)動學(xué)知識,解決了結(jié)構(gòu)力學(xué)中有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明問題,不僅使結(jié)構(gòu)力學(xué)知識更易于理解、掌握,也直觀體現(xiàn)了理論力學(xué)基礎(chǔ)知識在力學(xué)學(xué)習(xí)中的意義與價值,還為力學(xué)教學(xué)中各課程的交叉融合提供了很好示范。
以本文對有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明為啟發(fā),在平面體系尤其是復(fù)雜體系(不能用兩剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則等基本方法分析的體系)的幾何組成分析中,可嘗試建立基于剛體平面運(yùn)動學(xué)基本理論的新的分析方法。以圖9的復(fù)雜體系為例[6],簡要說明這一分析方法。
圖9
體系中A、B和C三點(diǎn)是固定不動的,若體系可變(即可動),則桿AD、BD和CG只能分別繞點(diǎn)A、B和C轉(zhuǎn)動,假設(shè)D點(diǎn)速度vD向下,則點(diǎn)E和F速度vE和vF均向下,如圖10。在桿EG上利用速度投影定理,可知點(diǎn)G速度vG向右,再在桿FG上利用速度投影定理,得根據(jù)式(13)不難得到vD和vE均為0,于是各結(jié)點(diǎn)均固定不動,即體系幾何不變,求出體系的計(jì)算自由度為0,所以該體系為無多余約束的幾何不變體系。
圖10