李潮銳

(中山大學 a.物理學院；b.物理國家級實驗教學示范中心，廣東 廣州 510275)

核磁共振是量子現(xiàn)象，但通常本科量子力學課程未能對核磁共振吸收頻域展寬和時域弛豫給出嚴謹?shù)睦碚撁枋?，從而也增加了核磁共振實驗的教學難度. 由經(jīng)典振動動力學可知，共振展寬和弛豫等現(xiàn)象源于阻尼力(矩)的作用. 基于角動量定理并引入阻尼力矩的核磁共振半經(jīng)典理論，可以得到與經(jīng)典共振相似的動力學行為的布洛赫方程組. 另一方面，由于RLC電路穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)過程與經(jīng)典受迫、共振和阻尼振動等現(xiàn)象的頻域和時域特性相似[1],可以認為RLC諧振、經(jīng)典共振和核磁共振(布洛赫方程組)三者具有明顯的物理原理共性. 關(guān)注上述邏輯關(guān)系，既有助于深刻理解核磁共振的物理原理，又使核磁共振實驗事實更加淺顯易懂. 相對于經(jīng)典振動實驗觀測，RLC電路諧振特性測量方法更簡單，且易于調(diào)節(jié)實驗條件而直觀地展示共振展寬和弛豫等實驗事實. 文獻[2-4]已介紹RLC電路相位測量及其阻抗或?qū)Ъ{分析方法，本文重點分析RLC電路中各元件(或組合)的作用及其與共振物理參量之間的對應關(guān)系. 根據(jù)基爾霍夫電壓定律和電流定律分別建立RLC串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的二階微分方程， 分析表明RLC串聯(lián)電路中電容C兩端的電壓和RLC并聯(lián)電路中電感L兩端的電壓分別類似于經(jīng)典振動的振動位移和振動速度，利用頻域和時域?qū)嶒炇聦嵳故綬LC電路與經(jīng)典振動的物理共性. 由布洛赫方程組得到核磁共振半經(jīng)典動力學描述，結(jié)合核磁共振實驗事實，凸顯RLC諧振、經(jīng)典共振和核磁共振的原理共性.

1 實驗技術(shù)方法

RLC串聯(lián)電路如圖1所示，電感L、電容C、(波段開關(guān))步進式電位器RS和電壓源(經(jīng)隔離變壓器)組成串聯(lián)回路. 回路串聯(lián)電阻R由電位器RS和電感L的內(nèi)部損耗電阻RL串聯(lián)而成的等效電阻.

圖1 RLC串聯(lián)實驗接線圖

觀測響應量uC及duC/dt穩(wěn)態(tài)頻域特性時，使用泰克示波器MDO4034觀測1～5間電壓uE、3～4間電壓uC(使用差分探頭)和2～3間電壓uS. MDO4034內(nèi)置波形發(fā)生器提供頻率可調(diào)的簡諧源信號.

觀測響應量uC及duC/dt暫態(tài)時域過程時，信號采樣方法同上. MDO4034內(nèi)置波形發(fā)生器輸出合適固定頻率的方波源信號.

RLC并聯(lián)電路如圖2所示，電感L、電容C和(波段開關(guān))步進式電位器RP先并聯(lián)，再與取樣電阻RS和電壓源(經(jīng)隔離變壓器)組成回路.RLC并聯(lián)回路等效電阻R由電位器RP和電感L的內(nèi)部損耗電阻RL并聯(lián)而成.

圖2 RLC并聯(lián)實驗接線圖

觀測響應量變化率diL/dt穩(wěn)態(tài)頻域過程時，使用泰克示波器MDO4034觀測1～5間電壓uE、3～4間電壓uC(使用差分探頭)和2～3間電壓uS.RLC并聯(lián)回路驅(qū)動電流iE由取樣電阻RS兩端壓降uS求得. MDO4034內(nèi)置波形發(fā)生器提供頻率可調(diào)的簡諧源信號.

實驗元件參量：C=13.25 nF，L=19.63 mH，損耗電阻RL=82.39 Ω. 圖1中RS步進阻值39 Ω；圖2中RP步進阻值39 kΩ，取樣電阻RS=99.16 Ω.

采用文獻[5]方法測量核磁共振穩(wěn)態(tài)吸收，使用蘇州紐邁核磁共振成像分析儀NMI120-015V-I觀測橫向弛豫. 實驗樣品為CuSO4飽和水溶液.

2 實驗結(jié)果及分析

2.1 RLC串聯(lián)諧振特性

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，圖1RLC串聯(lián)回路電壓滿足

uL+uR+uC=uE

,

(1)

其中，uL，uR和uC分別為電感L、電阻R和電容C兩端電壓(壓降)，uE為信號源經(jīng)隔離變壓器輸出電壓. 若回路電流為i，則

(2)

(3)

(4)

考慮信號源輸出電壓為uE=u0cos (ωt)情形，將式(3)和(4)代入式(1)，可得

(5)

若以u0cos (ωt)為激勵而uC為響應量，式(5)與彈簧振子的動力學方程[6]比較可知，式(5)左側(cè)分別為慣性項、阻尼項和彈性項，右側(cè)為激勵項(或策動項). 式(5)可改寫為

(6)

uC=A0(ω)cos (ωt+φ)+B0(ω1)e-β tcos (ω1t+φ1),

(7)

2.1.1RLC串聯(lián)穩(wěn)態(tài)頻域

由上述分析可知，RLC串聯(lián)電路由式(6)描述電容C兩端電壓uC對電壓源信號u0cos (ωt)激勵作用的響應. 實驗事實也顯示穩(wěn)態(tài)過程uC與激勵源信號u0cos (ωt)存在相位差φ，而且響應量uC穩(wěn)態(tài)過程幅值A(chǔ)0(ω)和相位φ都隨激勵頻率而改變.

圖3 RLC串聯(lián)響應量幅值及其相位頻率特性

由式(3)可知，若測量RLC串聯(lián)電路中電阻R兩端電壓uR獲得回路電流i，則可得響應量uC變化率duC/dt的實驗值. 由于電阻R包含了電感損耗電阻RL而無法直接測量電壓uR，實驗改由測量電位器RS兩端的電壓uS獲得回路電流i.

考慮RLC串聯(lián)回路的電流i關(guān)系

(8)

可得

(9)

由式(9)可知，通過測量RS兩端電壓uS可得到響應量uC變化率duC/dt的實驗數(shù)據(jù).

圖4顯示與圖3相同實驗參量的穩(wěn)態(tài)過程響應量變化率duC/dt的幅值和相位隨頻率變化情況. 與圖3比較可知，圖4所示響應量變化率duC/dt的相位比響應量uC的相位超前π/2. 由實驗結(jié)果可見，RLC串聯(lián)電路穩(wěn)態(tài)過程響應量變化率duC/dt與彈簧振子的振動速度的物理過程相似.

圖4 RLC串聯(lián)響應量變化率幅值及其相位頻率特性

2.1.2RLC串聯(lián)暫態(tài)時域

考慮電壓源輸出信號為低頻方波，即uE交替輸出2個不同電平信號，使電容C兩端電壓uC都經(jīng)歷了暫態(tài)過程才到達穩(wěn)定狀態(tài)，或稱弛豫過程. 在弱阻尼情形，RLC串聯(lián)響應量uC及其變化率duC/dt暫態(tài)時域過程如圖5所示. 圖5結(jié)果實驗條件：方波幅值Vpp=5.00 V，頻率f=500 Hz，步進式電位器阻值為38.50 Ω.

圖5 RLC串聯(lián)電路響應量及其變化率暫態(tài)過程

響應量uC暫態(tài)過程由式(7)右側(cè)第2項描述,

uC=B0(ω1)e-t/τcos (ω1t+φ1),

(10)

其中，τ=1/β為衰減時間或弛豫時間. 由式(10)可知，響應量變化率duC/dt暫態(tài)時域具有與響應量uC相似的衰減過程，而且由圖5的結(jié)果得到了驗證.

上述理論分析和實驗事實表明，RLC串聯(lián)電路響應量uC等效于彈簧振子的振動位移，而uR或uS則包含著響應量變化率duC/dt信息，即類比于彈簧振子的振動速度. 不管是圖3與圖4穩(wěn)態(tài)過程，還是圖5暫態(tài)過程，實驗結(jié)果都顯示響應量uC與變化率duC/dt相位差π/2. 根據(jù)式(9)由uS獲得duC/dt，且采用差分探頭解決信號共地問題，從而實現(xiàn)uC和duC/dt兩者同步測量. 圖6為RLC串聯(lián)電路諧振相圖. 可見，其結(jié)果與經(jīng)典振動相圖[7]一致.

圖6 RLC串聯(lián)電路暫態(tài)過程相圖

2.2 RLC并聯(lián)諧振特性

根據(jù)基爾霍夫電流定律，圖2節(jié)點3或4處的電流滿足

iL+iR+iC=iE,

(11)

其中，iL,iR和iC分別為流經(jīng)電感L、電阻R和電容C的電流，而iE則為信號源經(jīng)隔離變壓器輸出的電流. 若RLC并聯(lián)電路兩端電壓為u，那么

(12)

(13)

(14)

考慮驅(qū)動電流為iE=i0cos (ωt)情形，將式(13)和(14)代入式(11)，可得

(15)

若以i0cos (ωt)為激勵而iL為響應量，同理可知，式(15)左側(cè)分別為慣性項、阻尼項和彈性項，右側(cè)為激勵項(或策動項). 式(15)可改寫為

(16)

iL=C0(ω)cos (ωt+φ)+D0(ω1)e-β tcos (ω1t+φ1),

(17)

在RLC串聯(lián)電路，由式(6)分析電容C兩端電壓uC對電壓源信號u0cos (ωt)激勵作用的響應. 對RLC并聯(lián)電路，在電流源信號i0cos (ωt)激勵作用下，以流經(jīng)(純)電感L電流iL為響應量的諧振特性則用式(16)描述. 由圖2電路可知，實驗上難以直接測量響應量iL，但是可以通過測量RLC并聯(lián)電路兩端電壓u再由式(12)求得響應量變化率diL/dt. 上述分析可見：RLC并聯(lián)電路以電流激勵，而非串聯(lián)電路所用的電壓激勵；RLC并聯(lián)電路以響應量變化率為直接測量物理量，而串聯(lián)電路則響應量及其變化率都可以直接測量.

圖7顯示了響應量變化率diL/dt幅值及其相位隨驅(qū)動(策動)頻率ω變化情況. 圖7結(jié)果的實驗條件：i0≈10.00 mA(uS=1.00 V，歸一化)，并聯(lián)RP=39 kΩ. 與RLC串聯(lián)電路所得的圖3和圖4實驗結(jié)果比較，可見RLC并聯(lián)電路穩(wěn)態(tài)過程響應量變化率diL/dt與經(jīng)典振動速度的物理過程相似.

圖7 RLC并聯(lián)響應量變化率幅值和相位頻率特性

2.3 暫態(tài)弛豫與穩(wěn)態(tài)展寬

由步進式電位器調(diào)節(jié)RS,從而改變回路電阻R，根據(jù)式(6)即可改變回路阻尼系數(shù)β. 圖8和圖9分別為不同阻尼(即不同的回路電阻R)條件下RLC串聯(lián)電路響應量uC和變化率duC/dt幅值頻率特性. 實驗結(jié)果表明，隨阻尼增強(即隨RS增大)，穩(wěn)態(tài)過程響應量uC及其變化率duC/dt頻域半高全寬Δf逐漸增大，同時諧振頻率ω1向低頻端移.

圖8 不同阻尼情形RLC串聯(lián)uC幅值頻率特性

圖9 不同阻尼情形RLC串聯(lián)duC/dt幅值頻率特性

圖10 RLC串聯(lián)回路暫態(tài)弛豫時間τ與電阻R的關(guān)系

圖8～10結(jié)果表明，隨阻尼變化，當穩(wěn)態(tài)過程頻域半高全寬Δf增大則其對應的暫態(tài)時域弛豫時間τ縮短. 上述實驗結(jié)果與經(jīng)典振動理論[6]描述一致.

圖11 不同阻尼情形RLC并聯(lián)diL/dt幅值頻率特性

2.4 核磁共振半經(jīng)典理論

根據(jù)角動量定理并引入阻尼力矩，描述核磁共振半經(jīng)典理論的布洛赫方程為

(18)

其中，B,M,TD和γ分別為外磁場、單位體積磁矩、阻尼力矩和磁旋比.

考慮外磁場

B=[b0cos (ωt)]i-[b0sin (ωt)]j+B0k，

其中，[b0cos (ωt)]i-[b0sin (ωt)]j為圓偏振射頻磁場(激發(fā)光子)，且b0?B0,式(18)可改寫為布洛赫方程組

(19)

(20)

(21)

式中，T1和T2分別為縱向弛豫時間和橫向弛豫時間，前者描述受激核磁矩處于激發(fā)態(tài)的壽命，后者還考慮了自旋-自旋作用所引起的退相干. 顯然，T2(遠)小于T1. 為了簡化數(shù)學處理，分析Mx和My隨時間變化時，可近似認為Mz不變. 同時，忽略B0不均勻性.

利用拉莫頻率ω0=γB0，且令η=γMzb0,分別對式(19)和式(20)再次微分，可得

(22)

(23)

首先，將式(19)和式(20)分別代入式(22)和式(23)右側(cè)，可得到

(24)

(25)

再利用式(19)中My與Mx和dMx/dt關(guān)系，及式(20)中Mx與My和dMy/dt關(guān)系，式(24)和式(25)可改寫為

(26)

(27)

式中，

令復數(shù)Mxy=Mx+iMy，則式(26)和式(27)可合并為

(28)

即為拉莫頻率，它與阻尼系數(shù)無關(guān). 另一差別是，簡單經(jīng)典振動或者RLC諧振使用線偏振驅(qū)動，而核磁共振采用圓偏振驅(qū)動. 在核磁共振過程，原子核磁矩和激發(fā)光子為整體必須同時滿足能量守恒和角動量守恒，圓偏振驅(qū)動是角動量守恒所要求的. 實驗上直接提供圓偏振激發(fā)光子是困難的，通常使用線偏振射頻場驅(qū)動. 根據(jù)線偏振可以分解為互反方向同頻圓偏振原理，其中之一可以產(chǎn)生有效核磁共振，另一個圓偏振光子則不起作用(質(zhì)子核自旋能級中不存在可被激發(fā)的其他激發(fā)態(tài)).

考慮弱阻尼情形，方程(26)和(27)的解為

Mx=ξx(ω)cos (ωt+φ)+ζx(ω0)e-t/T2cos (ω0t+φ0),

(29)

My=ξy(ω)sin (ωt+φ)+ζy(ω0)e-t/T2sin (ω0t+φ0),

(30)

上述等式中，右側(cè)兩項分別代表核磁共振響應量Mx和My所描述的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)(橫向弛豫)過程. 其中，ξx(ω)和ξy(ω)與φ分別為穩(wěn)態(tài)信號幅值及相對于激勵(激發(fā))的相位差，而ζx(ω0)和ζy(ω0)與φ0則分別為暫態(tài)信號幅值與初相位.

事實上，式(29)和式(30)描述同一物理過程在xy平面的投影，令系數(shù)ξx(ω)=ξy(ω)=ξ(ω)以及ζx(ω0)=ζy(ω0)=ζ(ω0)，式(29)和(30)可以簡化為

Mx=ξ(ω)cos (ωt+φ)+ζ(ω0)e-t/T2cos (ω0t+φ0),

(31)

My=ξ(ω)sin (ωt+φ)+ζ(ω0)e-t/T2sin (ω0t+φ0).

(32)

在上述分析中，考慮了T2(遠)小于T1，并假設(shè)在Mx和My變化過程中Mz近似不變. 盡管圖12實驗結(jié)果來自縱向弛豫和橫向弛豫的共同貢獻，但是不同濃度CuSO4水溶液的共振展寬與弛豫關(guān)系與RLC諧振或經(jīng)典振動規(guī)律是一致的.

圖12 核磁共振穩(wěn)態(tài)吸收

“尾波”是核磁共振弛豫的實驗事實[7]. 圖13顯示經(jīng)過90°射頻脈沖作用且撤除之后，核磁矩處于xy平面繞z軸(即B0方向)進動時，自由感應衰減(Free induction decay, FID)信號在x方向和y方向的投影，兩者的相位差π/2. 當忽略B0不均勻性，由FID信號可得橫向弛豫時間T2. 若對FID時域信號離散傅里葉分析，可獲得共振穩(wěn)態(tài)頻域分布[8-9]. 其結(jié)果與圖12相似，但是可以更準確地描述自旋-自旋相互作用對頻域展寬的影響.

圖14再次顯示圖13中FID信號的π/2相位差，更重要的是，它直觀地展示了核磁矩M末端在xy平面由外到里的螺線運動軌跡. 有別于圖6或經(jīng)典共振相圖，它是同一物理量(響應量)在正交方向的投影，圖14結(jié)果也反映了由方程(28)所描述的處于外磁場B0中核磁矩M對圓偏振驅(qū)動的動力學響應.

圖13 核磁共振橫向弛豫FID信號

圖14 核磁矩末端在xy平面運動軌跡

綜合上述分析可知，不管是RLC諧振方程式(6)與式(16)，還是核磁共振方程式(28)，都可由簡單受迫阻尼振動方程統(tǒng)一描述，充分說明這些過程存在物理原理共性，其共振頻率和阻尼系數(shù)(共振弛豫時間)具有相同的物理涵義. 針對不同情形的關(guān)鍵差異體現(xiàn)于：

(33)

1)RLC諧振頻率和經(jīng)典機械共振頻率與系統(tǒng)內(nèi)部損耗有關(guān)，而核磁共振頻率(即為拉莫頻率)與阻尼系數(shù)無關(guān)；

2)RLC諧振和經(jīng)典機械共振由線偏振驅(qū)動產(chǎn)生，實驗上采用線偏振分解實現(xiàn)核磁共振的圓偏振有效激發(fā).

3 結(jié)束語

實驗事實是物理教學不可或缺的重要基礎(chǔ). 顯然，對實驗現(xiàn)象深刻理解更有助于透徹講解物理概念和原理. 核磁共振物理原理和實驗技術(shù)原理就是很有代表性的物理課程教案. 核磁共振半經(jīng)典描述與經(jīng)典振動理論相似，而核磁共振測量則是RLC諧振特性的技術(shù)應用. 根據(jù)基爾霍夫定律及實驗事實的分析表明，RLC諧振特征與經(jīng)典振動具有相似的物理行為. 另一方面，由布洛赫方程組所得到核磁共振半經(jīng)典動力學方程與受迫阻尼經(jīng)典振動方程或RLC諧振方程相似. 由此可見，利用RLC諧振實驗物理分析有助于掌握核磁共振原理.