李庚偉，張文治，趙子龍

（1.中國地質大學（北京）數(shù)理學院，北京100083；2.中國地質大學（北京）地球科學與資源學院，北京100083）

0 引言

地球的自轉運動可分為：1）相對于慣性空間的運動（歲差章動），它是由日月引力作用在地球赤道隆起部分的結果；2）相對于地球本體的運動，也就是地極移動（極移）和地球自轉速率變化（日長變化）.一般情況下，極移描述的是地球自轉軸相對于固體地殼的運動；日長變化則描述的是地球繞瞬時自轉軸的自轉速率變化［1］.

本文主要研究的是地球自轉速率的變化情況，而對此產(chǎn)生影響的因素主要包括外界天體引力導致的地球系統(tǒng)總角動量的變化以及地球表面和內部物質質量遷移所導致的轉動慣量的變化.與地月、地日之間的距離相比，暫且可將地球、月球和太陽均看成質點，如是便可認為太陽、月球對地球的合外力矩為零，即地球自轉的角動量守恒.因此本文將重點討論地球表面和內部物質質量遷移對地球自轉速率的影響.

固體礦產(chǎn)是指經(jīng)過地質成礦作用而形成的、埋藏于地下或分布于地表、呈固態(tài)并具有開發(fā)利用價值的礦物或有用元素的集合體［2］.自工業(yè)革命以來，人類社會便進入了高速發(fā)展階段，對各種固體礦產(chǎn)的需求正在不斷上升.而人類對固體礦產(chǎn)的開采會導致地球的質量進行重新分布，從而導致地球繞地軸旋轉的轉動慣量發(fā)生改變，并進而改變地球自轉的速率.而一旦地球自轉的速率發(fā)生變化，則會導致諸如晝夜時間改變、地表的地質作用發(fā)生改變等一系列的全球性環(huán)境問題.

針對地球的自轉運動，前人從不同角度分析了影響地球自轉速率的因素，如顧震年等于1999年發(fā)表的《海潮模型的比較及海潮對地球自轉變化的影響》基于海潮模型研究了海潮對地球自轉的影響以及海潮影響地球自轉的高頻變化的兩種不同的激發(fā)機制［3］；喻錚錚等于2018年發(fā)表的《地球自轉非潮汐變化研究進展》結合國內外研究現(xiàn)狀，對地球自轉非潮汐變化的影響因素進行了較為全面的敘述，主要對陸地水儲量、積雪、冰期后地殼回彈以及太陽活動等影響地球自轉的主要非潮汐因素的研究進展作了簡要概述［1］；此外還有秦明等于2018年發(fā)表的《大地震對地球自轉的影響》一文基于簡正模和點源位錯兩種不同的理論，應用PREM地球模型，以2000年至今的10個8.3級以上的大地震為例，探究了震源深度變化對地球極移和日長變化的影響［4］.而本文將主要從由于固體礦產(chǎn)的開采而引起地球質量的重新分布的角度，來闡述其對地球自轉速率的影響.鑒于地球是一個非常復雜的系統(tǒng)，以及采礦過程涉及眾多物理因素后，為方便問題的討論，本文將該實際問題進行了一定程度的理想化，建立了一種可行的數(shù)學模型.在此模型的基礎上進行相應的計算和理論分析，并得出本文的相應結論.

1 模型

如上所述，為方便問題的討論，本文將做以下的假設：

（1）將所有礦床均近似為質點.即若只考慮其中某一個礦床，則只需考慮該礦床所處的緯度αj（j=2，4，6，……，rad）、礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）hj（j=2，4，6，……，m）、礦床的儲量mj（j=2，4，6，……，kg）、所采的礦石的平均密度為ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）、所采礦石均就地利用.

（2）由于廢棄的礦坑會引起潛在的危險，隨著采礦技術越來越規(guī)范和先進，采礦結束后，通常會向礦坑內回填適量的某些物質.不同的采礦點會視具體情況的不同而回填不同的物質.現(xiàn)假設某采礦點的回填物為某一性質均一的物質，其密度為ρi（i=1，3，5，……，kg/m3），其質量為mi（i=1，3，5，……，kg），且所有回填物質均為就地取材.

（3）將地球近似為一個分層但各層密度均勻的實心球，其半徑為R（6371393 m），質量為M（5.965×1024 kg）.由外向內依次為地殼部分，地殼是莫霍面以上的地球表層.其厚度變化在5～70 km之間.其中大陸地區(qū)厚度較大，平均約為33 km.大洋地區(qū)厚度較小，平均約為7 km.綜上計算，地殼總體的平均厚度為Rq（1600 m）.由于目前人類對固體礦產(chǎn)的所有開采活動均未深入地幔部分，且在可預見的未來也很難深入地幔進行開采，故可認為人類目前只能在地殼進行開采.假設在人類未進行開采活動時的地殼的初始質量為mq0（4.776×1022 kg）.而在進行開采活動之后，需將所開采的礦石和回填物質區(qū)別于地殼進行單獨的計算.故可認為在進行開采活動之后的地殼的質量為mq（kg）.

地幔是指地球的莫霍面以下，古登堡面以上的中間部分.其密度為ρm（4590 kg/m3），從地心到地幔頂部的距離為Rm（m）.

地核是指地球內部古登堡面至地心的部分.其質量為mh（1.88×1024 kg），半徑為Rh（3.48×106 m）.

2 理論推導

由前文可知，地球的自轉角動量是守恒的.根據(jù)角動量守恒定律可知：其中，在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之前，地球繞地軸自轉的轉動慣量為J1(kg m2），其自轉角速度為相應地，在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之后，地球繞地軸自轉的轉動慣量為J2(kg m2），其自轉角速度為

在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之前，根據(jù)轉動慣量的標量性以及前文所述，需對要被開采的礦石和將要使用的回填物質區(qū)別于地殼進行單獨的計算，可知

其中，除去要被開采的礦石和將要使用的回填物質的地球繞其地軸轉動的轉動慣量為J0(kg m2）.而要被開采的礦石和將要使用的回填物質的轉動慣量之和為J01(kg m2）.同理，在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之后，可知有如下等式成立：

其中，除去已被開采的礦石和已使用的回填物質的地球繞地軸轉動的轉動慣量為J0(kg·m2）.而已被開采的礦石和已使用的回填物質的轉動慣量之和為

由前文可知，地球可分為局部勻質的三個部分，即地殼部分、地幔部分、地核部分.則

其中，地殼部分的轉動慣量為Jq(kg·m2），地幔部分的轉動慣量為Jm(kg·m2），地核部分的轉動慣量為Jh(kg·m2）.

相對于地球龐大的體積，可將地殼部分視為一薄球殼，并設其轉動慣量為Jq(kg·m2），則

地幔部分可視為一勻質的實心球，并在其球心處去除體積與地核相同的球體.設其轉動慣量為，則

由公式（1）、（2）、（6）、（7）、（8）、（9）可知：

根據(jù)前文假設所述，可將某一具體的采礦過程抽象為見圖1所示，此時令i=1,j=2,k=0，則

在采礦之前：

在采礦之后：

又由于在全球范圍內，顯然需要考慮分布極其廣泛的所有采礦點.則在采礦之前：

在采礦之后：

再由公式（3）、（4）、（5）可知：

代入公式（13）、（14）

繼續(xù)代入公式（10）

上述公式（17）便是基于角動量守恒定律針對固體礦產(chǎn)的開采對地球自轉的影響這一問題進行推導而得出的最終公式.

根據(jù)公式（17），可計算出開采后與開采前地球自轉角速度的比值ω2/ω1.從而比較出在固體礦產(chǎn)開采的前后，地球的自轉速率發(fā)生的變化.為使結論更加清晰直觀，本文將針對一具體情境進行更深入的分析.即固體礦產(chǎn)開采的前后，地球的自轉周期將如何變化.

根據(jù)參照物的不同，地球的自轉周期分為太陽日和恒星日.而恒星日是指從遙遠的其他恒星（默認為無窮遠的平行光）.兩次直射國際日期變更線的時間，這才是地球自轉的真正周期.地球繞其自轉軸旋轉360°.而根據(jù)現(xiàn)今的科學觀測可知，一個恒星日的時間為23小時56分4秒，即86164 s.又根據(jù)角速度的物理意義，可知在固體礦產(chǎn)被開采之前，有如下等式成立：

其中t1（86164 s）為固體礦產(chǎn)被開采之前，地球自轉的周期.同理，可知在固體礦產(chǎn)被開采之后，有如下等式成立：

其中t2（s）為固體礦產(chǎn)被開采之后，地球自轉的周期.聯(lián)立公式（18）、（19），則：

根據(jù)公式（20），可以計算出固體礦產(chǎn)開采的前后，地球的自轉周期的變化情況.

3 數(shù)據(jù)計算

根據(jù)實際生活中對固體礦產(chǎn)的開采情況來看，大體可分為兩類：（1）回填物質的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）大于所采礦石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）.（2）回填物質的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）小于所采礦石密度ρj（j=2，4，6……，kg/m3）.本文重點針對第二種情況來進行說明，第一種情況同理，在此便不再贅述.可以預見，固體礦產(chǎn)的開采對地球自轉的影響是不易察覺的.因此為使結果較為明顯，本文將假設一較為極端的情況來進行闡述.若所采礦石的密度遠大于回填物質的密度，且該礦石的儲量相當可觀.則在礦石的開采前后，會導致地球上出現(xiàn)規(guī)模巨大的質量的重新分布，而這會引起地球繞地軸旋轉的轉動慣量的變化.在地球自轉的角動量守恒的情況下，地球的自轉速率便會發(fā)生較為明顯的改變.

為方便問題的討論，現(xiàn)令k=0，i=1，j=2.則公式（17）將簡化為：

又因為回填物質的體積應等于所采礦石的體積，即：

將公式（22）代入公式（21），則：

根據(jù)公式（23），便可計算出比值ω2/ω1.

現(xiàn)假設一極端情況：有一儲量m2（4×1020 kg）的金礦，該儲量相當于地殼總質量的0.8375%，所處的緯度α2（0°）.其密度ρ2（19300 kg/m3），礦井深度（沿地球半徑方向距地表的距離）h2（5000 m），而目前人類對固體礦產(chǎn)的開采活動大多數(shù)在距地表5 km的范圍內.該礦的回填物質的密度ρ1（1000 kg/m3）.再結合前文所給的數(shù)據(jù)并代入公式（23），可得：

即在此過程的前后，地球的自轉速率發(fā)生微小的降低.將該比值ω2/ω1代入公式（20），則：

可見在本文假設的這一極端情況下，地球自轉的周期延長了0.02388860685 s.

由于全球范圍內不同緯度圈均有固體礦產(chǎn)的開采活動，所以本研究保持上述假設情況中礦石的密度和礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）、礦床儲量不變以及填充物密度不變，只改變礦床所在的緯度，研究不同緯度的采礦活動對地球自轉的影響.根據(jù)公式（23）可知，由于礦體所處緯度的不同，開采活動對地球自轉速率的影響程度也將有所不同.本研究在從赤道到極點的緯度范圍內進行平均截取，共20個不同的緯度位置，分別為0°，5°，10°……90°.每一個不同緯度位置的礦床均進行對地球一個恒星日自轉時間的計算，并將該計算結果進行更為直觀的作圖展示，詳見圖2a.

又因為全球范圍內不同的礦床的地質情況和采礦難度的不同，在實際開采過程中不同礦床所使用的礦井深度（沿地球半徑方向距地表的距離）不同.所以本研究保持上述假設情況中礦石的密度和礦床所在的緯度、礦床儲量不變以及填充物密度不變，只改變礦井的深度，研究不同礦井深度的采礦活動對地球自轉的影響.根據(jù)公式（23）可知，由于礦井深度的不同，開采活動對地球自轉速率的影響程度也將有所不同.本研究根據(jù)目前最深的已開采的固體礦產(chǎn)的礦井深度，對自地表以下5 km的范圍進行平均劃分，取20個礦井深度，分別為0 m，250 m，500 m……5000 m.并計算開采處于不同深度的礦床對地球一個恒星日自轉時間的改變量，且對該計算結果進行了更為直觀的作圖展示，詳見圖2b.

4 結論與展望

隨著人類社會工業(yè)化進程的不斷推進，世界各國對固體礦產(chǎn)的需求正在不斷上升.而對固體礦產(chǎn)的開采活動在一定程度上改變了地球的質量分布.本文從地球自轉的角動量守恒出發(fā)，根據(jù)固體礦產(chǎn)的開采前后，地球自轉的轉動慣量的變化，進而得出結論.根據(jù)前文所述，本文假定回填物質的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）小于所采礦石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）（如重金屬礦產(chǎn)的開采），則會在一定程度上降低地球自轉的速率，并且兩者的密度差異越大，對地球自轉速率的影響程度也就越大.同理，若回填物質的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）大于所采礦石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）（如褐煤的開采），則會在一定程度上升高地球自轉的速率，并且兩者的密度差異越大，對地球自轉速率的影響程度也就越大.并根據(jù)進一步的計算論述，可知在所采礦石與回填物質的密度差異和礦床的儲量，以及礦床所處的緯度相同的情況下，礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）hj（j=2，4，6，……，m）與地球自轉速率的改變量的絕對值呈正相關.而在所采礦石與回填物質的密度差異和礦床的儲量，以及礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）相同的情況下，礦床所處的緯度αj（j=2，4，6，……，rad）與地球自轉速率的改變量的絕對值呈負相關.且由于轉動慣量的標量性質，固體礦產(chǎn)的開采對地球自轉的影響在全球范圍內具有加和性.

本文忽略地形起伏和橫向非均勻性的影響，將地球視為一球形的旋轉對稱體，且假定其為分層但各層密度均勻的球體.其次，沒有考慮地外天體對地球自轉影響，與真實的情況相比仍有不小的差距.除此之外，本文采用的是較為理想化的數(shù)據(jù)，與實際情境有所出入.今后將優(yōu)化所使用的計算模型及數(shù)據(jù)，使其與實際情況更為貼切.