趙雪梅
(江蘇省宜興丁蜀高級中學 214221)
眾所周知,解析幾何是高中數(shù)學的重要分枝.解析幾何部分蘊含著豐富的數(shù)學思想,該部分的主要知識點通過這些數(shù)學思想串聯(lián)在一起,貫穿著整個解析幾何的學習過程.如果說在解析幾何教學中知識是載體的話,那么數(shù)學思想方法就是精髓和靈魂,只有讓學生掌握了這些數(shù)學思想方法,學生才能夠靈活應用解析幾何知識來解決解析幾何問題,才能夠提高解析幾何教學效果.
數(shù)學史濃縮了人類數(shù)學發(fā)展的主要過程,概括了數(shù)學知識的本質(zhì),提煉了重要的數(shù)學概念和數(shù)學思想,是學生樂于知曉尤感興趣的話題,更是學生理解和掌握數(shù)學思想方法的重要源頭.作為數(shù)學教師,我們可以通過引入數(shù)學史的方式來向?qū)W生滲透數(shù)學思想,使其為數(shù)學課堂教學服務.為此,我們可在解析幾何知識的起始環(huán)節(jié)的教學中,適當引入笛卡爾有關直角坐標系的創(chuàng)立史,形象直觀地讓學生了解解析幾何的相關發(fā)展背景,從而激起學生強烈的學習興趣,為數(shù)學方法的學習奠定基礎.例如,在學習解析幾何之前,先設置一個導言課,通過講座和師生交流的方式,來介紹解析幾何課程內(nèi)容和學科思想方法.我們可以從介紹笛卡爾入手,讓學生置身笛卡爾當時所處的歷史時代及創(chuàng)立解析幾何的構思背景,在了解解析幾何的創(chuàng)新歷程和巨大的應用價值中,體會笛卡爾的精神、信念.在解析幾何教學中引入數(shù)學史,并將其以“問題化”的形式展開教學,不僅使得數(shù)學史在解析幾何課堂中的引入更加自然,還有助于學生去體會數(shù)學思想,培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).
用解幾處理問題的本質(zhì)就是幾何問題代數(shù)化,通過建立坐標系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題去求解,這是數(shù)形轉(zhuǎn)化的絕佳平臺.在現(xiàn)階段的高中數(shù)學解析幾何教學中,很多教師僅注重傳授學生將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的方法,很少去引導學生探究代數(shù)結(jié)果背后的幾何意義,這樣的教學導致學生對數(shù)學思想方法的理解不到位.教師應該讓學生明白,用解析幾何思想處理研究具體問題,必須具備兩種本領:一是化數(shù)為形,二是由形逆數(shù).化數(shù)為形是指將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)構,這樣兼顧了問題的直觀性;由形逆數(shù)是指通過恰當建系將幾何結(jié)構代數(shù)化,使幾何問題更具微觀概括性.讓學生在數(shù)形轉(zhuǎn)換的奧妙中去體會數(shù)學思想.例如:在橢圓部分的教學中,教師先出示橢圓的實物模型,幫助學生建立橢圓的直觀感知,然后再利用代數(shù)表達式去揭示橢圓圖形的幾何性質(zhì),總結(jié)橢圓的定義.接著要積極引導學生探究橢圓的標準方程,和學過的什么曲線方程形式比較接近?讓學生將之與圓的標準方程進行對比,它們有何異同?讓學生體會數(shù)學思想方法的應用.互動過程如下:
不妨設M為橢圓上的任一點,M到兩焦點F1和F2的距離之和用2a表示,同時設橢圓的焦距為2c(c>0),如此一來,焦點F1(-c,0)、F2(c,0).
那么該橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
教師提出問題引導:通過觀察圓的標準方程,兩邊開方,我們能夠非常明顯的發(fā)現(xiàn)它的幾何意義:等式左邊是表示某兩點間距離,右邊則是距離值.但我們再觀察橢圓的標準方程,就會發(fā)現(xiàn)它的幾何意義并不明顯.通過橢圓的標準方程,我們很難發(fā)現(xiàn)“橢圓上的點到兩定點的距離之和均等于2a”這一幾何意義.接下來教師就要引導學生分析上述推導過程,尋找代數(shù)推理過程中的幾何意義.
通過這樣的課堂教學,學生不僅體會到了代數(shù)與幾何間的相互轉(zhuǎn)化,也感受到轉(zhuǎn)化并非一帆風順,有時是相當艱難,只有心中具備轉(zhuǎn)化執(zhí)念,熟悉不同距離的代數(shù)表達,勇于探索,敢于嘗試,才能體會成功的快樂.
學生通過大量的知識學習,已經(jīng)接觸到了部分數(shù)學思想方法,教師要及時地組織學生進行復習,這樣學生才不會遺忘,才能夠?qū)⑵鋬?nèi)化成自己的思維方式.思維導圖能夠?qū)W生所學知識之間的邏輯關系可視化,是引導學生高效復習的一種非常有效的手段.它能夠?qū)⒏鱾€概念之間的關系直觀地表達出來,能夠調(diào)動學生的思維,促進學生將所學的知識聯(lián)系起來形成知識體系,讓他們由被動地接受知識轉(zhuǎn)化為主動地去構建知識體系.
思維導圖不僅能夠輔助學生構建知識體系,提煉數(shù)學方法,還能夠應用于解題當中,鍛煉數(shù)學思維,如下圖所示:
客觀地說,解析幾何的相關部分內(nèi)容繁瑣,運算量大,思維要求較高,既是教學的重點,也是教學的難點,更是高考的熱點.由于其自身知識抽象性和綜合性較強,也成為了很多學生學習的難點.數(shù)學思想作為貫穿整個解析幾何教學的思想方法,它能夠?qū)⑦@些零散繁瑣的知識點串聯(lián)起來,形成知識體系.我們在平時的教學中,要把這些數(shù)學思想自始至終地讓學生感受體會,于潤物細無聲中提升學生思維能力.