高珊

運(yùn)用分球入盒模型巧解隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題

高珊

（阜陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

分球入盒和隨機(jī)取數(shù)是概率論中2個(gè)重要的古典概型，隨機(jī)取數(shù)模型往往可以轉(zhuǎn)化為分球入盒模型．通過(guò)舉例說(shuō)明分球入盒模型在隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題中的妙用之處．該方法形象直觀，便于學(xué)生理解，有利于提高教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．

分球入盒；隨機(jī)取數(shù)；概率問(wèn)題

分球入盒模型和隨機(jī)取數(shù)模型[1-6]是概率論古典概型中2種常見(jiàn)的模型．教師在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中要不斷地融入數(shù)學(xué)建模的思想[7]．到目前為止，許多專家學(xué)者從不同角度對(duì)分球入盒模型和隨機(jī)取數(shù)模型進(jìn)行了大量的研究[8-10]．很多場(chǎng)合下，隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為分球入盒模型進(jìn)行求解，如果能夠巧妙地將隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分球入盒問(wèn)題，那么復(fù)雜難求的隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題就會(huì)迎刃而解．在教學(xué)過(guò)程中，如果教師可以引導(dǎo)學(xué)生巧妙利用轉(zhuǎn)化和類比的思想，不僅可以加深對(duì)原問(wèn)題的理解，而且可以發(fā)散學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生興趣．本文結(jié)合具體實(shí)例展開(kāi)關(guān)于妙用分球入盒模型，巧解隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題的探析．

1 隨機(jī)取數(shù)模型及其轉(zhuǎn)化的分球入盒模型

表1 隨機(jī)取數(shù)模型

對(duì)于分球入盒模型可得到表2．

表2　分球入盒模型

為分析問(wèn)題的需要，給出關(guān)于分球入盒的古典概率問(wèn)題相關(guān)結(jié)論．

2 妙用分球入盒巧解隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題舉例

例1 從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中有放回隨機(jī)逐個(gè)取數(shù)：

例１可以不用轉(zhuǎn)化為分球入盒問(wèn)題，但相對(duì)分析較復(fù)雜[2]40．

例2通過(guò)將事件“總和為20”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為分球入盒問(wèn)題而得到巧妙解決，顯示出轉(zhuǎn)化思想的重要性．文獻(xiàn)[2]利用母函數(shù)的方法給出求解．對(duì)于大學(xué)生或中學(xué)生來(lái)講，本題解法更加巧妙．

3　結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了古典概型中的2大常用模型——隨機(jī)取數(shù)模型和分球入盒模型．通過(guò)把隨機(jī)取數(shù)模型轉(zhuǎn)化為分球入盒模型，使得較為復(fù)雜的有關(guān)隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題得到了巧妙的解決．本方法在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中非常值得推薦，利用歸類和類比的方法把看似不同的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一問(wèn)題，能夠讓學(xué)生體會(huì)概率論學(xué)科的美妙之處，并能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)滿足感．

[1] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]．北京：高等教育出版社，2011

[2] 孫榮恒．趣味隨機(jī)問(wèn)題[M]．北京：科學(xué)出版社，2015

[3] 威廉費(fèi)勒．概率論及其應(yīng)用[M]．胡迪鶴，譯．北京：人民郵電出版社，2006

[4] 曹振華，趙平，胡躍清．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．南京：東南大學(xué)出版社，2002

[5] 魏宗舒．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]．北京：高等教育出版社，2010

[6] 盛驟，謝式錢(qián)，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．北京：高等教育出版社，2018

[7] 李曉毅，徐兆棣．概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想的融入[J]．沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，26（2）：245-247

[8] 馬永梅．一道摸球問(wèn)題的猜想證明及延伸[J]．廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，12（3）： 5-7，14

[9] 周國(guó)平．一種“分球”概率的計(jì)算方法[J]．杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，2（4）：23-25

[10] 李永紅．古典概率中的一個(gè)問(wèn)題[J]．云南民族學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，11（1）：536，539

Skillfully solving the problem of random sampling numbers by using the model of placing balls into cells

GAO Shan

（School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang 236037，China）

The models of placing balls into cells and random sampling numbers are two important classical models in probability theory，the model of random sampling numbers can be changed into the model of placing balls into cells．The magic effect of placing balls into cells in solving the problems of random sampling numbers was explained by giving some examples．This method is visual，easy for students to understand，conducive to improve the teaching effect and stimulate students′ interest in learning.

placing balls into cells；random sampling number；probability problem

O211.1∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.019

1007-9831（2020）11-0098-03

2020-03-11

安徽省高等學(xué)校省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目（2018kfk067）——精品線下開(kāi)放課程：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；阜陽(yáng)師范大學(xué)品牌專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目（2019PPZY01）；阜陽(yáng)師范大學(xué)基礎(chǔ)教育研究成果培育項(xiàng)目（2017JCJY13）

高珊（1975-），女，山東汶上人，教授，博士，從事排隊(duì)論及可靠性研究．E-mail：sgao_09@yeah.net