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        一種求解非線性互補問題的三項共軛梯度算法

        2021-01-04 08:05:24胡雅伶曾玉華
        高師理科學刊 2020年11期
        關鍵詞:實驗

        胡雅伶,曾玉華

        一種求解非線性互補問題的三項共軛梯度算法

        胡雅伶1,曾玉華2

        (1. 福州大學 數(shù)學與計算機科學學院,福建 福州 350108;2. 湖南第一師范學院 數(shù)學與計算科學學院,湖南 長沙 410205)

        采用Modulus-based變換將非線性互補問題轉化為一個非光滑方程組,提出一種三項非線性共軛梯度法,結合某種不用函數(shù)值的線搜索技術求解所得的非光滑方程組,從而得到原問題的解.在適當條件下,證明了算法的全局收斂性,數(shù)值實驗結果表明所提出的算法是有效的.

        非線性互補問題;Modulus-based變換;非線性共軛梯度算法

        1 引言及預備知識

        常見的用于求解非線性互補問題(1)的方法是將其轉化為一個非線性方程組,通過求解所得的非線性方程組來得到原問題的解.本文考慮采用Modulus-based變換,將非線性互補問題轉化為一個非光滑方程組,然后提出一種三項非線性共軛梯度算法求解所得的非光滑方程組,從而得到原問題的解.

        得到非光滑方程組

        為了求解非光滑方程組(3),本文提出了一種三項非線性共軛梯度法,并在一定條件下證明了算法的全局收斂性,數(shù)值實驗說明了本文所提出算法是有效可行的.

        式(5)中相關符號含義見文獻[2-3].

        將線搜索(5)與文獻[1]提出的三項共軛梯度算法相結合,本文提出了一種求解非光滑非線性方程組(3)的三項非線性共軛梯度算法.

        2 算法描述

        其中:

        本文所給出的三項非線性共軛梯度算法(Nonlinear three-term conjugate gradient method,NTTCGM)的基本步驟為:

        3 收斂性分析

        (3)函數(shù)值具有充分下降性,即

        (3)證明函數(shù)值具有充分下降性.由引理1可知

        證明由引理2可知

        利用柯西不等式,可得

        將式(22)與式(12)相結合,得到

        4 數(shù)值實驗

        表1 數(shù)值實驗結果

        由表1可以看出,對于非線性互補問題1~5,本文所給出的三項非線性共軛梯度算法是有效可行的.

        5 結語

        本文對一類非線性互補問題提出了一種Modulus-based變換法,這種方法將互補問題轉化為一個非光滑非線性方程組,并提出了一種三項非線性共軛梯度算法,結合不用函數(shù)值的線搜索技術求解所得的方程組,從而得到原問題的解.證明了所提出算法的全局收斂性,對比實驗結果表明了本文所給算法的有效性.

        [1] Rahpeymaii F,Amini K,Allahviranloo T,et al.A new class of conjugate gradient methods for unconstrained smooth optimization and absolute value equations[J].Calcolo,2019,56(1):1-28

        [2] Dong Y D.New step lengths in conjugate gradient methods[J].Computers and Mathematics with Applications,2010,60(3):563-571

        [3] Dong Y D.A practical PR+ conjugate gradient method only using gradient[J].Applied Mathematics and Computation, 2012, 219(4):2041-2052

        [4] Xu Y,He B S,Yuan X M.A hybrid inexact logarithmic-quadratic proximal method for nonlinear complementarity problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,322(1):276-287

        [5] Zhou W J,Li D H.A globally convergent BFGS method for nonlinear monotone equations without any merit functions[J].Mathe-matics of Computation,2008,77(264):2231-2240

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        [7] Ou Y G,Li J Y.A new derivative-free SCG-type projection method for nonlinear monotone equations with convex constraints[J].Journal of Applied Mathematics and Computing,2016,56(1):1-22

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        [9] Cruz W L,Raydan M.Nonmonotone Spectral Methods for Large-Scale Nonlinear Systems[J].Optimization Methods and Software, 2003,18(5):583-599

        A three-term nonlinear conjugate gradient method for nonlinear complementarity problem

        HU Yaling1,ZENG Yuhua2

        (1. School of Mathematics and Computer Science,F(xiàn)uzhou University,F(xiàn)uzhou 350108,China;2. School of Mathematics and Computational Science,Hunan First Normal University,Changsha 410205,China)

        The Modulus-based manipulation is used to transform the nonlinear complementarity problem into non-smooth equations,a three-term nonlinear conjugate gradient method is proposed. Through the three-term nonlinear conjugate gradient method,the solution of the original problem is obtained by solving the non-smooth equations by using a line search technique without function values. Under suitable conditions,the global convergence of the algorithm is proved.The numerical results show that the proposed algorithm is effective.

        nonlinear complementarity problem;Modulus-based manipulation;nonlinear conjugate method

        O224

        A

        10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.001

        1007-9831(2020)11-0001-06

        2020-01-10

        國家自然科學基金面上項目(11571074,11671125);湖南省教育廳科研重點項目(20A097)

        胡雅伶(1994-),女,重慶人,在讀碩士研究生,從事非線性規(guī)劃研究.E-mail:863825011@qq.com

        曾玉華(1973-),男,湖南永州人,副教授,博士,從事優(yōu)化理論與方法研究.E-mail:dysfzyh@126.com

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