高忠社

基于Crank-Nicolson差分與Newton迭代法的非線性熱傳導方程數(shù)值解法

高忠社

（天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001）

非線性熱傳導方程；隱式Euler差分法；Crank-Nicolson差分格式；Newton迭代法

1　非線性熱傳導方程

文獻[1-3]給出了一般形式的非線性熱傳導方程及數(shù)值解法．非線性熱傳導方程為

對方程（1）進行化簡，可得到

其中，邊值條件（3）是在區(qū)間兩端關(guān)于時間的溫度分布函數(shù)，初始條件（4）表示在初始時刻的溫度分布情況．本文對方程（1）在時間方向上使用隱式EULER 差分格式，空間方向上使用Crank-Nicolson差分格式，對于離散化后的代數(shù)方程組，使用NEWTON迭代法進行求解．

2　時間方向的隱式Euler方法離散

對于方程（4），在時間方向上利用隱式EULER方法離散化，得到

則式（6）變?yōu)?/p>

邊值條件離散為

3　空間方向的Crank-Nicolson差分格式方法離散

對于式（8）的二階導數(shù)使用二階中心差分算子，得到

設(shè)

其中

根據(jù)式（11）（14），有

4 差分格式的誤差分析

根據(jù)文獻[8-10]，對于差分格式進行誤差分析，由式（7）（13）（16）可知

對于式（18）中各項使用Taylor級數(shù)展開，則有

將式（19）（20）（21）代入式（18），整理化簡可得截斷誤差為

5　非線性方程的牛頓迭代法求解

記方程（23）為

綜上分析，可得Jacobian矩陣的元素為

6　數(shù)例分析

初始溫度分布滿足

圖1　導熱參數(shù)時的熱傳導三維圖形和對平面圖形

圖2　導熱參數(shù)時的熱傳導三維圖形和對平面圖形

圖3　導熱參數(shù)時的熱傳導三維圖形和對平面圖形

由圖1~3可以看出，熱量在原點處具有最高溫度分布，隨著時間、空間方向的變化溫度降低，符合熱傳導規(guī)律，說明本文所給的數(shù)值方法是合理、有效的，同時也說明該方法具有一定的實用性與可行性．

熱傳導方程的數(shù)值解法是拋物型方程求解的典型方法，同時熱傳導問題也被廣泛應用于多個科學工程領(lǐng)域．針對非線性熱傳導方程，本文在時間方向上使用隱式Euler 差分格式，空間方向上使用Crank-Nicolso格式對方程進行離散化，離散化后的代數(shù)方程組使用Newton迭代法進行求解，最后通過數(shù)值算例分析討論，說明該方法具有一定的實用性和有效性．

[1] Filipov S M，F(xiàn)aragóid S C．Implicit Euler time discretization and fdm with newton method in nonlinear heat transfer modeling[J]．a(chǎn)rXiv，2018：1811.06337

[2] Carslaw H S，Jaeger J C．Conduction of heat in solids[M]．New York：Oxford University Press，1986

[3] Lienemann J，Yousefi A，Korvink J G．Nonlinear heat transfer modeling，in: p. benner，d.c.sorensen，v.mehrmann（eds） dimension reduction of large-scale systems[J]．Lecture Notes in Computational Science and Engineering，2005（45）：327-331

[4] Ascher U M，Mattjei J，Russel R D．Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations[J]．Classics in Applied Mathematics，1995（13）：28-83

[5] Filipov S M，Gospodinov I D．Shooting-projection method for two-point boundary value problems[J]．Applied Mathematics Letters，2017，72（10）：10-15

[6] 王曉峰，王軍濤．N-S方程的完全四階緊致差分格式[J]．高師理科學刊，2017，37（2）：1-3

[7] 武莉莉，祁應楠．三維熱傳導方程的高精度有限差分方法[J]．數(shù)學的實踐與認識，2017，47（20）：187-195

[8] 李繼軍，張華峰．波動現(xiàn)象的時域有限差分法模擬[J]．高師理科學刊，2017，37（12）：35-39

[9] 孫志忠，偏微分方程數(shù)值解法[M]．2版．北京：科學出版社，2012

[10] 李治平，偏微分方程數(shù)值解講義[M]．北京：北京大學出版社，2010

Numerical solution of nonlinear heat conduction equation based on Crank-Nicolson difference and Newton iterative method

GAO Zhongshe

（School of Mathematics and Statics，Tianshui Normal University，Tianshui 741001，China）

nonlinear heat conduction equation；implicit Euler difference method；Crank-Nicolson difference method；Newton iterative method

O241.82

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.003

1007-9831（2020）11-0009-05

2020-06-01

國家自然科學基金項目（11561060）；甘肅省數(shù)學省級重點學科建設(shè)項目（甘學位[2018]15號）；甘肅省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度項目（GS[2020]GHB4815，GS[2020] GHB4825）；天水師范學院科研基金項目（CXT2019-36）

高忠社（1979-），男，甘肅寧縣人，副教授，碩士，從事小波分析及微分方程數(shù)值解研究．E-mail：gaozhongshe@126.com