賈 林

(江蘇省蘇州市昆山市周市高級中學(xué) 215300)

基本不等式及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)中的一個重要知識點，作為一個基本工具，用來破解一些相關(guān)問題的最值或取值范圍問題，一直是高考數(shù)學(xué)中的一個熱點與交匯點.本文僅就2018年高考題，看一下基本不等式在各種題型中的應(yīng)用.

一、代數(shù)式的最值問題

點評在求解相應(yīng)代數(shù)式的最值問題時，要結(jié)合代數(shù)式的特征加以合理變形，創(chuàng)造利用基本不等式的條件，主要通過配方、拆添項、配湊因子和平方等技巧變形，確定“一正、二定、三相等”的條件，進而利用基本不等式來確定最值即可.

二、三角函數(shù)的最值問題

例2(2018·全國Ⅰ理·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

分析通過三角關(guān)系式的巧妙轉(zhuǎn)化，再結(jié)合配湊，同時利用基本不等式來處理兩個平行的三角關(guān)系式，進而得以確定相應(yīng)的最值問題.

點評基本不等式也是解決三角函數(shù)最值的一大工具，其解決的思維關(guān)鍵是巧妙進行轉(zhuǎn)化，特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用.

三、解三角形的最值問題

例3(2018·江蘇·13)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為____.

點評在利用基本不等式破解解三角形問題時，關(guān)鍵是利用三角形的特征來建立有關(guān)邊、角的定值問題，為利用基本不等式提供條件.對于解三角形與基本不等式的交匯與綜合，是兩者考查的熱點之一，是命題者比較熱衷的考點之一.

四、圓錐曲線的最值問題

綜上分析，可知當m=5時，點B橫坐標的絕對值最大為2，故填：5.

點評圓錐曲線中的最值問題的破解，基本不等式是其中一個重要工具，也是圓錐曲線最值求解的最常見的思維方式之一，解決問題的關(guān)鍵也是建立相應(yīng)的定值條件，注意參數(shù)的取值情況，利用基本不等式時要考慮相應(yīng)的條件與圓錐曲線限制條件之間的關(guān)系.

五、綜合應(yīng)用的最值問題

分析常規(guī)方法是利用幾何法，結(jié)合單位圓、平面向量、三角函數(shù)、點到直線的距離公式等，解決起來比較繁瑣.而利用不等式的相關(guān)知識來轉(zhuǎn)化與處理，顯得簡單快捷.

點評通過本題的解析過程可知，這里根據(jù)絕對值關(guān)系式的性質(zhì)，用到的相關(guān)數(shù)學(xué)知識：(1)絕對值不等式的性質(zhì)；(2)基本不等式的變形公式；(3)排序不等式等.用到相關(guān)不等式的性質(zhì)時，巧妙性較強，思維方式獨特，具體求解過程中往往難以涉及.而利用以上求解過程，處理起來更為簡單快捷.

基本不等式的應(yīng)用可以非常有效快捷地解決一些最值或取值范圍問題，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率非常高，難度有時大有時小.正確掌握基本不等式以及對應(yīng)的變形公式，并會根據(jù)題目條件加以合理轉(zhuǎn)化與變形，為創(chuàng)設(shè)利用基本不等式的應(yīng)用提供條件，并不斷拓展解題視點，開拓解題思維，提升數(shù)學(xué)能力.