（周口師范學院，河南周口466000）

掌握數(shù)列及函數(shù)極限的概念和性質是學習后續(xù)內容的基石。但是對于高等數(shù)學的初學者來說，數(shù)列及函數(shù)極限涉及的ε-Nε-δ和語言理解起來存在一定困難，尤其是對于基礎較差的學生，很不理解ε、δ、N 在解決問題中的取法。為了讓學生掌握極限的內涵，許多學者對極限的教學方法進行了探討。文獻中探討了借助實例和幾何圖形來論述數(shù)列極限的定義的方法，以期達到讓學生加深對極限概念理解的目的。文獻對極限教學的有效策略進行探討，主要論述了教學中采用極限理論的解題方法，以期為相關的實踐提供理論參考。文獻探討了根據(jù)微積分的發(fā)展史和極限中體現(xiàn)的哲學思想等科學思想對極限的教學進行設計，讓學生通過感性認識到理性認識的過程理解極限中的重要思想，體會極限過程中的量變到質變、無限和有限的辯證關系。

一、極限性質教學的不良現(xiàn)象

極限在高數(shù)的學習中占有極其重要的地位，本應該讓學生盡量理解透徹，但是某些老師在授課中缺乏這種意識，對極限概念及性質的講解存在隨意現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下兩個方面。

（一）過分依賴PPT 課件。多媒體輔助教學已在高校普遍盛行，由于其視覺效果、前后回顧方便等多種優(yōu)點，受到大多數(shù)老師及學生的喜愛。但是多媒體教學還不能完全取代傳統(tǒng)的教學模式，尤其是理工科的教學，因為理工科有其自身的特點，很多公式定理需要詳細推導證明，只讓學生觀看PPT課件很難達到讓學生理解的效果，導致學生對極限性質及證明的關鍵點不能理解。

（二）答疑不科學。答疑是教學中的一個重要環(huán)節(jié)，但是部分教師對學生提出的問題回答得很不科學。這可能與教師的專業(yè)水平、研究方向有一定關系。比如在經典高等數(shù)學教材（高等數(shù)學第七版上冊，同濟大學數(shù)學系編，高等教育出版社）收斂數(shù)列的性質一節(jié)中，定理1（極限的唯一性）證明中“神秘”的出現(xiàn)了“取”，很多學生存在疑問：為什么取？怎么取得呢？有沒有其它值可??？當學生帶著這些問題問老師的時候，有些老師不假思索地回答說是根據(jù)經驗取得的，或者有些老師解釋說根據(jù)極限的定義，這樣取可以達到證明的目的。顯然，這些回答并沒有解決學生的疑惑。

二、極限性質的教學探討

（一）重視傳統(tǒng)教學方式。傳統(tǒng)的板書教學形式具有很強的靈活互動性，由于其樸素而簡便的板書手段對教師的教學行為束縛小，教師可根據(jù)課堂教學的實際需要，及時調整自己原有的課前預設方案。而多媒體教學是以流線型特征展現(xiàn)的，它在學生思考體會與筆記記錄、教師點撥與學生回味等方面都存在著明顯的弱點。因此在授課中不能過分依賴于PPT 課件，要重視板書教學，將極限的性質定理在黑板上給學生詳細推導證明，不僅有利于學生理解，而且可以加深學生對知識的印象，即板書可以有效促進學生對知識的理解記憶。

（二）刨根問底，探究實質。如何解答學生存在的疑問：為什么?。吭趺慈〉哪?？有沒有其它值可取？當然這需要老師認真?zhèn)湔n，對知識點要理解的透徹。下面我們以收斂數(shù)列的唯一性定理和函數(shù)極限的局部保號性定理為例，揭開ε 取值的神秘面紗。

定理1（極限的唯一性）如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一。

先看教材中的證明過程。

證用反證法。假設同時有xn→a 及xn→b，且a＜b。取。因為，故正整數(shù)N1，當n＞N1時，不等式

都成立。取N=max｛N1，N2｝，則當n＞N時，（1）式及（2）式會同時成立，但由（1）式有，由（2）式有，這是不可能的。這矛盾證明了本定理的斷言。

假設同時有xn→a及xn→b，且a＜b，由極限的定義知對ε ＞0，存在正整數(shù)N，當n＞N 時有同 時 成 立 。 根 據(jù)，又根據(jù)，即當n＞N 時，xn落在了兩個區(qū)間（a-ε，a+ε）和（b-ε，b+ε），由a＜b，這兩個區(qū)間的示意圖有以下3種情況：

由圖可知，要想得出矛盾，只需使兩個區(qū)間沒有交集就可，也就是說ε 的取值只要滿足情況1和情況2都可以得出矛盾，完成定理的證明，即只要取ε滿足不等式a+ε≤b-ε即可，解不等式得。因此，在本定理的證明中取，僅僅是一個臨界值，可以取的任何值來完成定理的證明。

先看教材中的證明過程。

證就A＞0的情形證明。

類似地可以證明A＜0的情形。

三、結束語

根據(jù)學科的特點及目前部分老師在授課中存在的不足，本文對極限性質的有效學習進行了探討：（1）重視板書授課方式，盡量把關鍵點給學生演示清楚；（2）認真對待答疑，不要評想當然，或敷衍了事；（3）刨根究底，探究實質。對極限性質的證明中的“神秘”取值要給學生講透徹，揭開它的神秘面紗，澄清其取值的實質，讓學生不再困惑。