趙艷玲，盧姁，黃泓，劉賽賽，張銘

(1.中國人民解放軍31010 部隊，北京 100081；2.中國人民解放軍32021 部隊，北京 100094；3.國防科技大學(xué) 氣象海洋學(xué)院 大氣環(huán)流與短期氣候預(yù)測實驗室，江蘇 南京 211101)

1 引言

海水密度穩(wěn)定層化海洋中普遍存在海洋內(nèi)波，其對人類的海洋活動有很大影響。內(nèi)波對海洋中的混合有重大貢獻(xiàn)，其生成機(jī)制一直是物理海洋學(xué)的重要研究課題之一[1-3]。潮汐與地形相互作用是內(nèi)波在陸架區(qū)的主要生成機(jī)制[4-5]。不過，在無潮汐與地形相互作用時，海洋內(nèi)波也常被觀測到[6-7]。Mack 和Hebert[8]通過分析熱敏電阻測溫資料后，認(rèn)為剪切背景流的不穩(wěn)定是赤道東太平洋上層內(nèi)波產(chǎn)生的主要機(jī)制。Lozovatsky[9]在孟加拉南部灣做了觀測，揭示了受剪切流不穩(wěn)定影響的密度躍層中高頻內(nèi)波的基本結(jié)構(gòu)和特征。Zhang 和Alford[10]考察了華盛頓大陸架上非線性內(nèi)波的不穩(wěn)定性，在監(jiān)測到的130 個不穩(wěn)定內(nèi)波中，有108 個被確定為剪切不穩(wěn)定。Yuan 等[11-12]利用內(nèi)波線性理論模型，分析了黑潮的不穩(wěn)定性，研究了黑潮附近內(nèi)波的生成機(jī)制。研究指出，對于向西傳播的擾動，由南向北的黑潮流場是不穩(wěn)定的，此時內(nèi)波從黑潮吸收能量并增長，并提出了黑潮流場不穩(wěn)定性可激發(fā)內(nèi)波的新觀點(diǎn)。他們還用該理論模型解釋了衛(wèi)星SAR 圖像觀測到的內(nèi)波與黑潮西邊界共存的現(xiàn)象，從而驗證了黑潮流場的不穩(wěn)定性確實可激發(fā)出內(nèi)波。

初始擾動的存在和海洋內(nèi)波振幅的增長是內(nèi)波產(chǎn)生的重要條件，而后者與垂向剪切背景流的不穩(wěn)定性密切有關(guān)。對于波動的線性不穩(wěn)定問題，背景流的失穩(wěn)與波動的不穩(wěn)定兩者是等價的；可利用標(biāo)準(zhǔn)模方法，將波動的線性不穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為一個常微分方程與其邊界條件構(gòu)成的特征值問題，并可離散化為矩陣的特征值問題來數(shù)值求解，這也是求解此問題的常用方法[13]；然而對非線性穩(wěn)定性問題這種方法失效，此時必須采用另外的辦法[14]。利用數(shù)值實驗方法能夠研究線性和非線性波動的發(fā)展演變問題[15]；故對海洋內(nèi)波的發(fā)展演變，同樣可采用數(shù)值實驗的方法來研究[16-17]。

波動與背景流的配置關(guān)系是背景流失穩(wěn)及波動穩(wěn)定性問題研究的重要方面。當(dāng)波動傳播方向與背景流方向相同（垂直），即波動的波陣面與背景流方向垂直（平行）時，則該波動稱為橫波（對稱）型波動[13,18]。有關(guān)在失穩(wěn)垂向剪切流下線性和非線性海洋內(nèi)波生成發(fā)展的理論研究及數(shù)值實驗有不少[16-17,19-20]。然而對于對稱型海洋內(nèi)波的理論研究不多[21]，這方面的數(shù)值實驗至今也尚未見到。因此，對垂向失穩(wěn)剪切流下對稱型海洋內(nèi)波的振幅增長形態(tài)、波動結(jié)構(gòu)和傳播特征、躍層附近波動的表現(xiàn)圖像、波動增長的最優(yōu)尺度，以及線性與非線性波動表現(xiàn)異同等重要問題均需研究和回答。為此，本文利用一個自研的非靜力數(shù)值模式，對失穩(wěn)垂向剪切背景流下線性和非線性對稱型海洋內(nèi)波的生成演變做了數(shù)值實驗，試圖回答以上重要問題，并進(jìn)行討論。

2 數(shù)值模式和實驗方案

采用無海底地形的二維非靜力準(zhǔn)不可壓縮方程組，考慮了海洋躍層和剪切背景流的作用，并設(shè)擾動（內(nèi)波）傳播方向為x方向，水平背景流的流向垂直于該擾動的傳播方向，即該流向為y方向；再設(shè)該擾動（內(nèi)波）沿背景流的流向是均勻的，也即對該擾動（內(nèi)波）有?()/?y=0，而y方向也是該擾動（內(nèi)波）波陣面的方向。z方向由海底垂直指向海面，并設(shè)海底為z=0。這樣依據(jù)文獻(xiàn)[22-23]，并取對稱型擾動形式后，該數(shù)值模式所使用的控制方程組為

式中，ζ=?w′/?x－?u′/?z為等y面上的渦度，且滿足泊松方程ζ=?2ψ，ψ為流函數(shù)；u′、v′、w′分別為x、y、z方向的擾動流場；σ′=－gρ′/ρ0，σ′為位密度擾動，ρ′為密度擾動，在此 ρ0為海水標(biāo)準(zhǔn)密度，取為常數(shù)；N2=N2(z)為海洋層結(jié)參數(shù)；f為地轉(zhuǎn)參數(shù)；g為重力加速度，對海洋內(nèi)波均取為常數(shù)。在式（1）中，非線性項為u′?()/?x（平流項）和w′?()/?z（對流項），若略去這兩項就成為線性模式，否則為非線性模式。因不考慮海底地形以及本模式海面采用剛蓋近似，故上、下邊界條件為

在數(shù)值求解該控制方程和邊界條件時，首先對該方程做數(shù)值積分，得到下一時刻的ζ、v′、σ′值；然后用超松弛迭代法解泊松方程ζ=?2ψ得到 ψ；再由u′=－?ψ/?z，w′=?ψ/?x通過差分求得u′、w′，由此得到該時刻的所有變量值；之后再對該方程繼續(xù)進(jìn)行數(shù)值積分，如此循環(huán)往復(fù)，直至積分至指定的時刻終止。模式水平范圍為48 km，水平方向取601 個格點(diǎn)，格距為80 m；垂直范圍（海深）取1 840 m，分23 層，有24 個層次，第1 層次為海底（下邊界），第24 層次為海表面（上邊界），層次間距也為80 m。水平側(cè)邊界取海綿邊界條件?？臻g差分取中心差，時間積分取前差迭代方案，積分時間步長取12 s。

模式在第22 層次有躍層存在，在該層次取層結(jié)參數(shù)N2=10－4s－2，而其他層次均取N2=10－8s－2。之所以這樣取是因?qū)嶋H海洋中除躍層外，其他地方密度垂向變化都很小。因?qū)嶋H海洋中往往存在躍層以下流動與表層相反的情況，故本文中取該模式的背景流為：在海底為-0.5 m/s，之上至海表面呈線性變化，海表面其值取0.5 m/s。模式中取地轉(zhuǎn)參數(shù)f=0.694 0×10－4s－1（28.5°N 處的值）。

本文用流函數(shù)來表示流場擾動，在其正、負(fù)中心的外圍分別有順、逆時針旋轉(zhuǎn)的環(huán)流圈，擾動速度的大小則由流函數(shù)等值線的疏密程度來反映。在下文流函數(shù)與位密度分布圖中，橫坐標(biāo)為x方向（指向右方），x值為距左邊界（x=0處）的距離，單位為80 m，此值也可視為x方向的水平格點(diǎn)數(shù)（以下簡稱格點(diǎn)），左、右邊界的格點(diǎn)分別為0、600；縱坐標(biāo)為z方向（指向天頂），其值為垂向?qū)哟螖?shù)；y方向則由頁面之外垂直穿透頁面。這些以下都不再贅述。本文數(shù)值實驗中模式的積分終止時刻：線性情況為30 h，非線性情況為72 h。

模式初始無流場擾動。初始位密度擾動場在垂直和水平方向分別呈半個簡諧波形態(tài)，垂直和水平半波長分別為1 840 m（海深）和320 m（4 個格距），其中心在距左邊界20.08 km（格點(diǎn)251）的海深一半（水深920 m）處；半個簡諧波范圍在格點(diǎn)249～253 間的各層次之內(nèi)，而之外，初始位密度擾動的值都為0；該范圍中心處的位密度擾動值，也是最大值（振幅）為10－3m/s2。

以上數(shù)值實驗中所用的背景流、層結(jié)等環(huán)境參數(shù)以及初始場均取理想而非實際值，但大多符合實際海洋的典型情況[17]。

3 線性模式內(nèi)波生成發(fā)展

3.1 速度場演變

現(xiàn)利用上述線性模式來分析剪切背景流的失穩(wěn)和內(nèi)波的發(fā)展過程。本文取是格點(diǎn)總數(shù)）來反映全場擾動速度隨時間的變化，并用以分析波動的發(fā)展演變過程，在此表示對該模式范圍的所有格點(diǎn)求和。因本文初始場僅有位密度場擾動而無流場擾動，故開始積分后，流場和位密度場會相互調(diào)整，激發(fā)出重力慣性波，并向周圍傳播。

圖1a 給出了E值隨積分時間的變化。由圖1 可見，在積分的前12 h，E值大致呈指數(shù)形式很緩慢地增加，12 h 后E值則呈指數(shù)形式急劇增大，這表明該系統(tǒng)進(jìn)入迅速發(fā)展階段，也即該系統(tǒng)明顯存在不穩(wěn)定，對線性模式，背景流的失穩(wěn)與擾動的不穩(wěn)定是等價的；因在此層結(jié)是穩(wěn)定的，故從該擾動系統(tǒng)與背景流的配置來看，該不穩(wěn)定屬對稱不穩(wěn)定，其是重力慣性內(nèi)波的不穩(wěn)定。

南宋時期，東西部文化差異及差距客觀存在，而陸游以東部吳越文化的視角考量西部，將一些差異也變成差距，無疑加深了其差距的尺度，增加了地理學(xué)的人文情感因素。

3.2 流函數(shù)

圖1 線性(a)和非線性(b)模式中E 值隨時間變化Fig.1 The variation of E values over time in linear (a) and nonlinear (b) models

圖2 給出了流函數(shù)的空間分布。積分3 h（圖2a）可見，在初始位密度周邊，原先靜止的流場現(xiàn)已出現(xiàn)了兩個流動方向相反的環(huán)流圈，兩環(huán)流圈之間有幾乎垂直的較強(qiáng)上升流，而其他各處流動微弱。積分6 h（圖2b），該兩個環(huán)流圈由原來的一個中心現(xiàn)演變?yōu)樵谄渖?、下部各有中心，且上部中心在左，下部中心在右，環(huán)流的強(qiáng)度也在增加，此時模式范圍內(nèi)擾動速度場u′的最大值為0.61 m/s。積分12 h（圖2c），以上兩個環(huán)流圈又演變成傾斜環(huán)流系統(tǒng)，該系統(tǒng)由具有正、負(fù)中心的兩個傾斜環(huán)流圈組成，在系統(tǒng)正、負(fù)中心之間從海底向上至躍層之下有強(qiáng)傾斜上升流，且該系統(tǒng)已演變成經(jīng)典的對稱不穩(wěn)定環(huán)流系統(tǒng)[22]，此時為0.80 m/s。積分18 h（圖2d），該對稱不穩(wěn)定環(huán)流系統(tǒng)強(qiáng)度持續(xù)增加，形態(tài)變化不大，僅在其左、右兩側(cè)有新的傾斜擾動出現(xiàn)，此時為1.33 m/s。積分24 h（圖2e），該系統(tǒng)強(qiáng)度繼續(xù)迅速增加，但形態(tài)仍變化不大，在其左、右兩側(cè)的傾斜擾動持續(xù)發(fā)展，此時為3.45 m/s。積分30 h（圖2f），該系統(tǒng)形態(tài)仍維持，強(qiáng)度還在迅速增強(qiáng)中，此時增至8.91 m/s，已高出海洋典型流場10 cm/s 約2 個數(shù)量級，為此結(jié)束該數(shù)值實驗。

由圖2 可見，積分12 h 后流函數(shù)的主體形態(tài)即正、負(fù)傾斜環(huán)流圈的水平尺度維持大體不變，此時該主體形態(tài)的水平尺度約為6.4 km，其遠(yuǎn)大于初始擾動尺度320 m；這表明該尺度是在本文所取環(huán)境場（即地轉(zhuǎn)參數(shù)，層結(jié)參數(shù)和背景流，其與典型值相差不遠(yuǎn)）下，線性對稱不穩(wěn)定的最優(yōu)增長水平尺度。從該主體形態(tài)的位置看，在擾動發(fā)展中其位置不變，這表明線性對稱不穩(wěn)定是原地增長的。

3.3 位密度

圖2 線性模型中流函數(shù)的空間分布（等值線表示流函數(shù)，單位：m2/s）Fig.2 The distribution of stream functions in linear models (isolines represent stream functions,unit:m2/s)

因位密度擾動 σ′與密度擾動 ρ′成正比，比例系數(shù)－g/ρ0為常數(shù)，故可分析 σ′的演變來得知 ρ′的演變。圖3給出了各時刻 σ′的空間分布，初始時其空間分布如上文所述。積分3 h（圖3a）可見，σ′的分布與初始時截然不同，其擾動中心已由海深一半處垂向移至初始擾動上方的躍層（22 層）及之上，并向左右傳播。積分6 h（圖3b），σ′這種態(tài)勢分布大體維持，并出現(xiàn)了從左至右的負(fù)、正、負(fù)的3 個擾動中心，擾動強(qiáng)度也有所增強(qiáng)。積分12 h（圖3c），躍層及附近 σ′分布的態(tài)勢仍基本維持，其強(qiáng)度還在增加，此時原先3 個擾動中心，現(xiàn)在最右邊的消失，成為一對擾動中心，并與之相應(yīng)在海底附近也開始出現(xiàn)擾動中心。積分18 h（圖3d）躍層及附近 σ′的分布態(tài)勢依然維持，強(qiáng)度進(jìn)一步增加，原在海底附近的擾動中心加強(qiáng)并向斜上方伸展，構(gòu)成傾斜方向貫穿整個水體的正擾動帶。積分24 h（圖3e），σ′的分布大體態(tài)勢不變，僅強(qiáng)度進(jìn)一步不斷增強(qiáng)。積分30 h（圖3f），σ′的分布態(tài)勢仍大體不變，但強(qiáng)度迅速加強(qiáng)，此時在原先傾斜貫穿水體的正擾動帶兩側(cè)又出現(xiàn)了貫穿水體的負(fù)擾動帶，該正擾動帶與從海底向上至躍層之下的傾斜強(qiáng)上升流相配合，而負(fù)擾動帶則與該強(qiáng)上升流兩側(cè)的傾斜下沉流相配合。

圖3 線性模型中位密度擾動場的空間分布（等值線表示位密度，單位：10-4 m/s2）Fig.3 The distribution of potential density perturbation in linear models (isolines represent potential density,unit:10-4 m/s2)

綜上，線性對稱不穩(wěn)定12 h 后位密度擾動 σ′的大值中心位于初始擾動水平位置上方的躍層附近，以后位密度擾動 σ′的分布形態(tài)也大致不變，僅強(qiáng)度增加。這表明海洋內(nèi)波被躍層所俘獲，并與實際海洋內(nèi)波的觀測相一致。與流函數(shù)相應(yīng)，位密度擾動也呈原地增長，其最優(yōu)增長水平尺度同流函數(shù)。

4 非線性模式內(nèi)波生成演變

本節(jié)分析非線性模式中內(nèi)波的生成演變規(guī)律。該模式中因存在擾動與擾動的相互作用，故背景流的失穩(wěn)與擾動的不穩(wěn)定并不等價，這與線性模式不同。這里非線性模式中的環(huán)境條件（背景流和層結(jié)參數(shù)等）以及初始場均取得與線性模式相同。

4.1 速度場演變

在此與線性模式相同，也用E值隨時間的變化來反映波動的發(fā)展演變過程。由圖1b 可見，擾動在開始的6 h 內(nèi)E值變化較激烈，以后E值大體按線性形式增長，這與線性的情況有很大不同，到65 h 后，增長幾乎停止甚至出現(xiàn)衰減。將圖1b 與圖1a 相比較可見，在積分30 h 前，非線性的內(nèi)波增長要較線性慢，且12 h 后其增長仍呈準(zhǔn)線性形式，這與線性的指數(shù)增長不同，并由此可見非線性效應(yīng)有維穩(wěn)作用。

4.2 流函數(shù)

圖4 給出了流函數(shù)的空間分布。由積分3 h（圖4a）可見，此時其流函數(shù)分布與線性情況大體相同，不再贅述。積分6 h（圖4b），此時流函數(shù)的分布已與線性情況有所不同，在海洋中層原初始擾動場位置及兩側(cè)出現(xiàn)了4 個從左至右的負(fù)、正、負(fù)、正的環(huán)流中心，及與這些中心相對應(yīng)的垂向環(huán)流圈，此時模式范圍內(nèi)擾動速度場u′的最大值為0.17 m/s。積分12 h（圖4c），以上4 個環(huán)流圈中原先左邊第3 個環(huán)流圈發(fā)生了傾斜，在該環(huán)流右下方的海底之上出現(xiàn)了垂向等值線的密集帶，表明該處垂直運(yùn)動強(qiáng)，此時仍為0.17 m/s。積分24 h（圖4d），原先傾斜環(huán)流圈左、右兩側(cè)的環(huán)流圈也發(fā)生傾斜，原先的垂向等值線密集帶現(xiàn)已消失，不過在格點(diǎn)210 附近的海底之上又出現(xiàn)了新的垂向等值線密集帶，表明此處垂直運(yùn)動很強(qiáng)，此時仍維持在0.17 m/s。積分36 h（圖4e），在原先較強(qiáng)的負(fù)環(huán)流圈的左、右兩側(cè)又形成了較強(qiáng)的負(fù)環(huán)流圈，這表明負(fù)環(huán)流圈在總體增強(qiáng)，而垂向等值線密集帶的位置則基本不變，此時增加到0.20 m/s。積分48 h（圖4f），負(fù)環(huán)流圈總體增強(qiáng)的趨勢仍維持，左側(cè)的負(fù)環(huán)流圈強(qiáng)度增至最大，右側(cè)的強(qiáng)度也明顯增加，不過中間的負(fù)環(huán)流圈強(qiáng)度減弱，3 個負(fù)環(huán)流圈的傾斜度都略有增加，而原先垂向等值線密集帶則略有右移，此時為0.19 m/s。積分60 h（圖4g），原先最左邊正環(huán)流圈左側(cè)很弱的負(fù)環(huán)流現(xiàn)明顯增強(qiáng)，在模式范圍水體內(nèi)現(xiàn)有4 個負(fù)環(huán)流圈，原先垂向等值線密集帶的位置仍略有右移，不過在該密集帶左邊的海底之上又新生了垂向等值線密集帶，這表明擾動向左、右跳躍式傳播，此時則為0.22 m/s。積分72 h（圖4h），流函數(shù)分布態(tài)勢變化不太大，擾動仍向左、右方傳播，并已覆蓋至模式的全部范圍，兩條垂向等值線密集帶的位置仍都略有右移，此時為0.19 m/s。

綜上，在此流函數(shù)的發(fā)展演變與線性情況不同，流函數(shù)向左、右方的傳播明顯，流函數(shù)環(huán)流圈的正、負(fù)振幅也不對稱，負(fù)振幅要更大，并在海底之上會生成流函數(shù)垂向等值線密集帶，其可看成間斷；然而流函數(shù)的傾斜環(huán)流圈以躍層為頂蓋這一點(diǎn)，則對線性和非線性情況都適用。

4.3 位密度

圖5 給出了各時刻位密度擾動 σ′的空間分布，初始的空間分布見上文。由積分3 h（圖5a）可見，σ′的分布與線性情況也大體相同，不再贅述。積分6 h（圖5b），與線性情況相比，在躍層及之上的 σ′擾動向左、右方傳播較快，并出現(xiàn)多個正、負(fù)擾動中心。積分12 h（圖5c），在初始擾動中心之上的躍層及附近，σ′出現(xiàn)了一個負(fù)中心，其左、右側(cè)各有一個正中心，左側(cè)的正中心傾斜向下伸展，在躍層之下又形成一個較強(qiáng)的正中心；與躍層上負(fù)中心的水平位置相應(yīng)，在海底也有一個負(fù)中心向上伸展，在其左側(cè)海底之上出現(xiàn)了位密度垂向等值線的密集帶，表明該處位密度水平梯度很大。積分24 h（圖5d），σ′分布的變化不很大，原海底的負(fù)中心明顯加強(qiáng)，與躍層之下海洋上部的正中心形成正、負(fù)中心傾斜對峙的形態(tài)，在海底該負(fù)中心的左側(cè)又出現(xiàn)一個較弱的正中心，在該較弱正中心左側(cè)海底之上新生了一條位密度垂向等值線密集帶，而原先的那條消失。積分36 h（圖5e），σ′分布的變化仍不太大，原先在海底的負(fù)中心明顯加強(qiáng)，原先新生的垂向密集帶現(xiàn)在其位密度水平梯度還在加劇。積分48 h（圖5f），在原先 σ′正、負(fù)中心傾斜對峙位置的左、右方分別又出現(xiàn)了同樣的傾斜對峙形態(tài)，這樣就總共有3 個該對峙形態(tài)，原先的垂向密集帶略有右移。積分60 h（圖5g），原先3 個對峙形態(tài)的負(fù)擾動中心均增強(qiáng)，正擾動中心均減弱，在原先左邊對峙形態(tài)的左側(cè)又新生成一個對峙形態(tài)；原先的垂向密集帶仍略有右移，在其左邊又新生了一條垂向密集帶。積分72 h（圖5h），擾動繼續(xù)向左、右方傳播，最右邊又新增加了一個對峙形態(tài)，現(xiàn)對峙形態(tài)已增加到5 個，并總體上保持負(fù)中心強(qiáng)，正中心弱的態(tài)勢，原先的兩條垂向密集帶依然略有右移，但右邊的那條水平梯度有所減弱，此時位密度擾動 σ′已覆蓋該模式的全部范圍。

綜上，非線性情況當(dāng)存在躍層時，海洋內(nèi)波同樣會被躍層所俘獲，在躍層上始終也都存在位密度擾動的大值中心，并最終形成多個正、負(fù)中心傾斜對峙的形態(tài)；每個對峙形態(tài)中位密度擾動的正、負(fù)中心分別對應(yīng)于流函數(shù)環(huán)流圈上的傾斜上升、下沉流；非線性效應(yīng)也會造成位密度等值線的密集，形成垂向密集帶，其也可看成間斷。

5 討論

圖4 非線性模型中流函數(shù)的空間分布（等值線表示流函數(shù)，單位：m2/s）Fig.4 The distribution of streamfunctions in nonlinear models (isolines represent stream function,unit:m2/s)

圖5 非線性模型中位密度場的空間分布（等值線表示位密度，單位10-4 m/s2）Fig.5 The distribution of potential density perturbation fields in nonlinear models (isolines represent potential density,unit:10-4 m/s2)

首先，比較本文取同一失穩(wěn)垂向剪切背景流下，線性與非線性對稱型內(nèi)波的差異。線性內(nèi)波強(qiáng)度呈指數(shù)增長態(tài)勢，該內(nèi)波是對稱不穩(wěn)定的。而非線性內(nèi)波的強(qiáng)度有很長一段時間大體呈線性增長，可看作該內(nèi)波的發(fā)展期，此時的增長要比線性的指數(shù)增長小很多，以后該內(nèi)波進(jìn)入穩(wěn)定期，不再增長甚至略有衰減（圖1）。這表明非線性效應(yīng)抑制了內(nèi)波增長，最終使擾動趨于穩(wěn)定，非線性效應(yīng)具有維穩(wěn)作用。之所以這樣是因為在非線性模式中，除了存在線性模式中的背景流與波動的作用，背景流將能量輸送給波動，使之發(fā)展（不穩(wěn)定）之外，還存在因非線性項（平流項和對流項）引起的波波相互作用；該作用使某個從背景流獲得能量而發(fā)展的波又會將能量轉(zhuǎn)移到其他波上，從而因能量的流失而抑制了自身的發(fā)展；該非線性過程十分復(fù)雜，難以解析求解。文獻(xiàn)[14]曾討論了正壓大氣的非線性不穩(wěn)定問題，然而本文所用的控制方程組是非靜力的，遠(yuǎn)較正壓大氣的復(fù)雜，故對本文控制方程組的非線性穩(wěn)定性至今尚無理論證明，這也是本文要進(jìn)行數(shù)值研究的原因。對線性內(nèi)波的對稱不穩(wěn)定，隨著積分時間增加，擾動波形基本不變，正振幅和負(fù)振幅兩者大體相同，且呈符號相反原地增長的傾斜環(huán)流圈，在該環(huán)流圈之間則有強(qiáng)傾斜上升流，理論分析的情況也是如此[21,24]。非線性內(nèi)波情況有所不同，因非線性項的平流和對流作用，其波形隨積分時間的增加而發(fā)生變化，傾斜環(huán)流圈數(shù)目也在增加，并最終形成負(fù)環(huán)流強(qiáng)度大于正環(huán)流強(qiáng)度的結(jié)果，即非線性內(nèi)波的負(fù)振幅要大過正振幅[25]。由于非線性追趕效應(yīng)（主要由平流項造成），隨著積分時間增加，會導(dǎo)致流函數(shù)及位密度擾動水平梯度越來越大，形成等值線密集帶，并可視為間斷[25]，而線性情況因無平流項不會出現(xiàn)此情況。

其次，討論該對稱型不穩(wěn)定波動的性質(zhì)。由上可知，無論是線性還是非線性內(nèi)波，都有正、負(fù)位密度擾動區(qū)對應(yīng)于上升、下沉運(yùn)動區(qū)。注意到位密度擾動與密度擾動正、負(fù)符號相反，這樣就有負(fù)密度擾動區(qū)對應(yīng)于上升運(yùn)動，正密度擾動區(qū)對應(yīng)于下沉運(yùn)動，故而此種運(yùn)動屬于對流；然而這時層結(jié)是穩(wěn)定的，這樣就不可能有純垂直對流的發(fā)生，此時只有傾斜對流才能得到維持和發(fā)展。大氣中對稱不穩(wěn)定也稱之為斜對流不穩(wěn)定，并可用等熵面（等位溫面）上的微團(tuán)運(yùn)動來討論[24]，對海洋而言，等位密度面則起到了等位溫面的作用。

最終，要討論實際海洋中是否存在內(nèi)波對稱不穩(wěn)定的問題。黑潮是一支強(qiáng)西邊界流，其在躍層之下的流向與躍層上的流向相反，表現(xiàn)為一支垂向剪切流。引言中已提到Y(jié)uan 等[11-12]指出，對于向西傳播的擾動，由南向北的黑潮流場是不穩(wěn)定的，并解釋了觀測到的內(nèi)波與黑潮西邊界共存的現(xiàn)象。由于黑潮自南向北流，而擾動向西傳播，顯然擾動（內(nèi)波）的傳播方向與背景流（黑潮）垂直，而觀測到的內(nèi)波與黑潮西邊界共存則表明該內(nèi)波波陣面平行于背景流（黑潮），故該內(nèi)波為對稱型內(nèi)波；因背景流（黑潮）的失穩(wěn)，致使該內(nèi)波得以生成和發(fā)展。如此看來，在實際海洋中垂向剪切流的失穩(wěn)造成對稱型內(nèi)波的生成發(fā)展應(yīng)該確實存在，并值得進(jìn)一步研究。

6 結(jié)語

本文采用無海底地形但考慮海洋躍層和背景流的二維非靜力準(zhǔn)不可壓縮方程組，以及據(jù)此自研的數(shù)值模式，對失穩(wěn)垂向剪切背景流下線性及非線性對稱型海洋內(nèi)波的生成發(fā)展做了數(shù)值實驗，所得主要結(jié)論有：

（1）失穩(wěn)垂向剪切背景流下，對稱型內(nèi)波得以生成發(fā)展，線性情況則有內(nèi)波的對稱不穩(wěn)定，該內(nèi)波強(qiáng)度呈指數(shù)增長；非線性情況內(nèi)波強(qiáng)度在發(fā)展期呈準(zhǔn)線性增長，最終進(jìn)入穩(wěn)定期；線性增長比非線性增長要快得多，而非線性效應(yīng)具有維穩(wěn)作用。

（2）對該生成發(fā)展的線性、非線性對稱型內(nèi)波，在躍層處的位密度擾動均存在大值中心，即其為躍層所俘獲，這與實際觀測相一致；流函數(shù)與位密度擾動有很好匹配，位密度擾動的正、負(fù)中心分別相應(yīng)于流函數(shù)的上升、下沉運(yùn)動，這表明有斜對流發(fā)生，且該斜對流以躍層為頂蓋。

（3）隨積分時間增加，該線性對稱型內(nèi)波的波形大體不變，正、負(fù)振幅也大體相同，且呈現(xiàn)符號相反原地增長的兩個傾斜環(huán)流圈，在它們之間有強(qiáng)傾斜上升流；而非線性對稱型內(nèi)波的波形則隨積分時間改變，傾斜環(huán)流圈數(shù)目也在增加，最終形成負(fù)環(huán)流強(qiáng)于正環(huán)流的態(tài)勢，并有流函數(shù)、位密度擾動的水平梯度劇增，其可視為間斷。

最后要指出的是，關(guān)于實際海洋背景流、環(huán)境參數(shù)和初始場的數(shù)值實驗，則是我們今后進(jìn)一步要開展的工作。