端木彥

多項(xiàng)選擇題，即正確選項(xiàng)不止一個(gè)的選擇題.模擬卷中的評(píng)分規(guī)則為：全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0 分，部分選對(duì)的得3 分.2021年高考很有可能有此種題型.

以往高中數(shù)學(xué)試題中沒(méi)有多項(xiàng)選擇題，不過(guò)有一類我們很熟悉的題，表面是單項(xiàng)選擇題，其實(shí)與多項(xiàng)選擇題相似.

右欄的這道題你會(huì)做嗎？2019年，全國(guó)有4 份高考卷中出現(xiàn)了這種題型．看來(lái)，多項(xiàng)選擇題對(duì)我們來(lái)說(shuō)還真是一位熟悉的陌生人，那就來(lái)深入了解一下這位朋友．直接法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、特值法等單項(xiàng)選擇題常用方法，都可以用來(lái)招呼這位朋友；比較異同法、綜合法等方法，這位朋友也挺喜歡．

一、直接法

即從已知條件出發(fā)，結(jié)合相關(guān)定理、法則、定義等，通過(guò)準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼贸稣_結(jié)論的方法．簡(jiǎn)言之，直接求．

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,m)(m＜0)，則下列各式一定為正的是（ ）

A．sinα+cosαB．cosα-sinα

C．sinαcosαD．

引例（2019年全國(guó)Ⅰ理科卷）關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：

①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③f(x)在[-π,π]有4個(gè)零點(diǎn)；④f(x)的最大值為2．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A．①②④ B．②④

C．①④ D．①③

（答案見例6）

解析

由任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合三角函數(shù)的象限符號(hào)求解，正確答案為BD．

二、排除法

“去偽存真”的奧義在此法中體現(xiàn)無(wú)疑，解題時(shí)可通過(guò)排除一些較易判定的、不合題意的選項(xiàng)，縮小選擇范圍.

例2下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（ ）

A.y=x3B.y=x-2C.y=e|x|D.y=lgx2

三、數(shù)形結(jié)合法

把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象問(wèn)題具體化，常用于解決有幾何背景的問(wèn)題.

例3已知兩點(diǎn)M(-3,0)，N(3,0)，給出下列曲線方程，在其所對(duì)應(yīng)的曲線上存在點(diǎn)P滿足PM+PN=10的曲線方程為（ ）

A.x-y+5=0 B.y2=4x

四、特值法

運(yùn)用題設(shè)條件的某些特殊數(shù)值、特殊位置、特殊關(guān)系、特殊圖形等對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行校驗(yàn)或推理，利用一般與特殊的辯證關(guān)系判斷正誤.

例4若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)命題中正確的是（ ）

A.若1 ＜t＜5，則C為橢圓；

B.若t＜1，則C為雙曲線；

C.若C為雙曲線，則焦距為4；

D.若C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則3 ＜t＜5．

五、比較異同法

這類多項(xiàng)選擇題的特點(diǎn)十分明顯，即選項(xiàng)中存在內(nèi)容對(duì)立的情況，此時(shí)應(yīng)考慮從對(duì)立選項(xiàng)中選出正確的．

例5對(duì)于給定的正整數(shù)數(shù)列{an}，滿足an+1=an+bn，其中bn是an的末位數(shù)字，下列關(guān)于數(shù)列{an}的說(shuō)法正確的是（ ）

A.如果a1是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必有相同的項(xiàng)；

B.如果a1是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必沒(méi)有相同的項(xiàng)；

C.如果a1不是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}只有有限個(gè)相同的項(xiàng)；

D.如果a1不是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}有無(wú)窮多個(gè)相同的項(xiàng)．

解析

由“偶函數(shù)”排除A，由“遞增”排除B，故正確答案為CD．

解析

根據(jù)橢圓定義，P點(diǎn)軌跡方程為橢圓，故可通過(guò)作圖看公共點(diǎn)情況進(jìn)行快速求解．正確答案為ABC．

解析

當(dāng)t=3時(shí)，曲線C為圓，故A 錯(cuò)．當(dāng)t=0時(shí)，方程表示雙曲線，但此時(shí)焦距不為4，故C 錯(cuò)．當(dāng)t=4時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．對(duì)于B,D，特殊值代入正確，可進(jìn)一步精確計(jì)算：若曲線C為雙曲線，則(5-t)(t-1)＜0，得t＞5 或t＜1；若曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢 圓，則0 ＜5-t＜t-1，得3 ＜t＜5.故選BD．

敲黑板

因?yàn)槎囗?xiàng)選擇的答案不唯一，所以選取特殊值時(shí)需要格外謹(jǐn)慎．如例4 的A 選項(xiàng)，若選擇范圍內(nèi)的其他特殊值，都會(huì)掉入陷阱．

六、綜合法

在多項(xiàng)選擇題中常與直接法結(jié)合使用.如引例，我們可以將它改編為多項(xiàng)選擇題如下：

例6已知函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|，下述四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.f(x)在[-π,π]上有4個(gè)零點(diǎn)

D.f(x)的最大值為2

值得注意的是，多選題的每一個(gè)選項(xiàng)都可能是滿足題意的，所以逐一計(jì)算審核選項(xiàng)的過(guò)程必然會(huì)增加答題時(shí)間.常見的典型錯(cuò)誤、容易混淆的概念、不夠全面的思考，都可能成為干擾我們得分的因素.所以，同學(xué)們更要認(rèn)真審題，認(rèn)真分析選項(xiàng)情況，再通過(guò)驗(yàn)證等方式檢驗(yàn)，保證選項(xiàng)完全正確.最后，認(rèn)真、規(guī)范地填寫答案.

知己知彼，百戰(zhàn)不殆，希望同學(xué)們可以與多項(xiàng)選擇題成為好朋友.

小試牛刀

1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=72,a7=10，則（ ）

A.an=n+3 B.an=2n-4

2.已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2，x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，以下幾個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）

答案：1.AC；2.AD

解析

因?yàn)檫x項(xiàng)中AB 為一組，CD 為一組，各組內(nèi)兩選項(xiàng)彼此對(duì)立．故只需在兩組內(nèi)圍繞關(guān)鍵詞研究即可．

當(dāng)a1是5 的倍數(shù)，則數(shù)列{an}的末位數(shù)字是5 或0，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，不存在相同的項(xiàng)，則B 正確．當(dāng)a1不是5 的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)加上它的末位數(shù)字所得數(shù)的末位數(shù)字只能是2，4,6，8，數(shù)列{an}的末位數(shù)字只能是2，4,6,8,數(shù)列{2n}的末位數(shù)字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項(xiàng)，且有無(wú)窮多個(gè)相同的項(xiàng)，則D 正確．故此題答案為BD．

解析

很明顯A 正確，易知f(0)=0，故f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)只可能有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，由此排除C 選項(xiàng)．再用直接法得到區(qū)間上的f(x)=2 sinx，故B 錯(cuò)誤．對(duì)D 的判斷則可以用極限法，因 為sin|x|≤1 且|sinx|≤1，故只要兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立則D 正確，顯然時(shí)成立．所以，正確答案是AD．

敲黑板

多項(xiàng)選擇題的得分規(guī)則“多選得0分，部分選對(duì)得3分”也很重要．一旦出現(xiàn)拿捏不準(zhǔn)的選項(xiàng)，可采用保守策略，寧“缺”勿“濫”，得保險(xiǎn)分．不過(guò)話雖如此，能得5分才是王道哦！