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        方法大PK,運(yùn)算顯神威
        ——圓錐曲線幾何性質(zhì)篇

        2020-12-29 09:53:03王思儉
        關(guān)鍵詞:焦點(diǎn)橢圓心率

        王思儉

        例1(2019年全國(guó)I 卷第16題)已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若,則C的離心率為________.

        小A因?yàn)椋?,所以,則,聯(lián)立與,運(yùn)算很煩瑣,解得,由,整理得b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即4a2=c2.

        c=2.

        小B因?yàn)椋虼薃為F1B的中點(diǎn),于是又因?yàn)椋约碠A為線段F1B的中垂線,于是再由雙曲線的對(duì)稱性可知,由于平角知,,因此,所以,所以.

        方法大PK

        小A 的解法是常規(guī)思路,小B 的解法充分利用幾何性質(zhì),非常簡(jiǎn)潔.同學(xué)們?cè)趧?dòng)筆之前,要認(rèn)真分析題目條件的特征,再選擇合理的運(yùn)算方法哦.

        例2若以雙曲線C:的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓E與直線l:x-y+6=0有公共點(diǎn),則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為_________.

        小A根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)F1(3,0)-,F(xiàn)2(3,0),設(shè)橢圓E的方程為:,將直線方程代入橢圓E方程并化簡(jiǎn)為關(guān)于x的一元二次方程,方程為,利用判別式?≥0,解得或a2≤9(舍),所以,故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.

        方法大PK

        兩種解法都是通性通法,但小B 的解法充分利用橢圓定義和對(duì)稱性,運(yùn)算較快.

        小B設(shè)點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A(m,n),根據(jù)對(duì)稱性,求出m=-6,n=3.設(shè)公共點(diǎn)為P,于是,故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.

        敲黑板

        你是不是覺得例3 很眼熟,像做過(guò)的高考題?直接選B 了?

        學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能靠背誦解法和答案,要學(xué)會(huì)理解、學(xué)會(huì)思考.

        例3(2019年全國(guó)卷I 卷第10題改編)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若AF2=2F2B,AB=BF1,則C的方程為( )

        小A根據(jù)橢圓的定義和已知條件,求出,AF2=a,,AF1=a.判斷為直角三角形,再利用余弦定理列方程,得出.在△BF1A中,根據(jù)由余弦定理可得,解得,,故選D.

        小B求出AF2=a,判斷點(diǎn)A是短軸端點(diǎn),即OA=b,于是,因此xB=3,,代入橢圓方程求出a2=12,再用勾股定理解得b2=8.

        小C設(shè)點(diǎn)B在x軸上方,直線傾斜角為,利用圓錐曲線統(tǒng)一定義可得,,,又因?yàn)锳F2=2F2B,因此,而,所以.又因?yàn)锳B=BF1,所以3F2B=2a-F2B,即,于是,解得,所以所以.

        方法大PK

        小A 的方法最基本,但運(yùn)算量大;小B 的解法以小A 的解法為基礎(chǔ),利用幾何直觀較快求解;小C的解法既是通法又十分簡(jiǎn)潔.

        例4(2019年全國(guó)II 卷第20題)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

        (1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;

        (2)如果存在點(diǎn)P,使得,且的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

        小A利用與橢圓方程聯(lián)立,求出,于是.再根據(jù)OP=OF,求出,所以,即.

        小B由于△POF2為正三角形,因此,代入橢圓方程,化簡(jiǎn)得e4-8e2+4=0,解得,即.

        小C根據(jù)△POF2為等邊三角形,可得在中,,根據(jù)橢圓定義可得,于是.

        小A由題意可知,滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng):,且,結(jié)合橢圓方程,得,又,可得b=4.又,所以c2≥b2,于是,故,所以存在點(diǎn)P.所以b=4,a的取值范圍為

        小B利用三角換元法,設(shè),于是有,消去θ得,,整理得b4=162,即b=4,故a的取值范圍為.

        小C由PF1⊥PF2可得x2+y2=c2,設(shè)x=ccosα,y=csinα,代入橢圓方程和三角形面積公式,得,且,消去α化簡(jiǎn)得,故a的取值范圍為.

        方法大PK

        第(1)問的三種解法,前兩種是通性通法,運(yùn)算量大,第三種解法利用平面幾何知識(shí)和橢圓定義,非常簡(jiǎn)潔.注意挖掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系哦!

        方法大PK

        第(2)問中,小B的解法自然,而且運(yùn)算簡(jiǎn)潔,小C在中途換元,這種思維方式值得借鑒.

        敲黑板

        在求與圓錐曲線有關(guān)的一些量的范圍或最值時(shí),經(jīng)常用到圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中x,y的范圍、離心率的范圍等不等關(guān)系.

        求圓錐曲線離心率的方法:①直接求出a,c,求解e;②構(gòu)造a,c的齊次式,解出e,由a,c的二元齊次方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程求解;③通過(guò)特殊值或特殊位置,求出離心率..

        歸納

        運(yùn)用圓錐曲線幾何性質(zhì)解題的方法主要有:

        1.運(yùn)用圓錐曲線定義求解;

        2.在焦點(diǎn)三角形中,利用定義可求其周長(zhǎng),利用定義和余弦定理可求PF1·PF2,通過(guò)整體代入可求其面積,利用正弦定理求離心率等;

        3.通過(guò)曲線存在范圍求離心率或有關(guān)量的取值范圍或最值;

        4.整體思想的運(yùn)用,如三角換元、設(shè)而不求等.

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