鄭銀環(huán),劉王智懿,王小康

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

研究表明機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)誤差引起的精密加工誤差約為30%～70%，且所占比例與機(jī)床精度成正比[1]。早在1988年，Sdaeghipor在研究主軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性時(shí)，創(chuàng)造性地引入了動(dòng)柔度這一參數(shù)，得到了較為準(zhǔn)確的分析結(jié)果[2]。1991年，Spur等對(duì)機(jī)床主軸的軸承結(jié)構(gòu)進(jìn)行了適當(dāng)修正，獲得了較為精確的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性[3]。1994年，肖曙紅基于數(shù)學(xué)迭代并結(jié)合有限元法，開(kāi)發(fā)了主軸系統(tǒng)靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能分析程序[4]。1997年，Bert等構(gòu)建了主軸的動(dòng)態(tài)模型，研究了主軸的動(dòng)力學(xué)性能和熱特性[5]。2003年，Lin等建立了較為精確的電主軸動(dòng)力學(xué)模型，得出了主軸剛度與軸承預(yù)緊力有很大的關(guān)聯(lián)[6]。同年，Xiong等結(jié)合有限元法，分析了轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)對(duì)電主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的影響[7]。2007年，林士龍等利用有限元分析方法在設(shè)計(jì)過(guò)程中就得到了主軸的動(dòng)態(tài)特性，得到了較為準(zhǔn)確的分析結(jié)果[8]。2008年，Yang等建立了某新型銑床的有限元模型，著重分析了其動(dòng)力學(xué)性能[9]。2009年，錢學(xué)毅采用有限元法研究車床主軸系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，確定了主軸系統(tǒng)的前8階固有頻率、振型及最大綜合變形，分析了不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響[10]。2013年，劉丹萍等使用ANSYS軟件建立了數(shù)控機(jī)床主軸的有限元模型，分析了機(jī)床主軸的模態(tài)特性，研究了主軸動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)加工精度的影響，分析結(jié)果為提升主軸性能和效率發(fā)揮了重大作用[11]。2015年，譚峰對(duì)微型數(shù)控車床的主軸進(jìn)行了有限元仿真分析，結(jié)果表明設(shè)計(jì)的主軸的強(qiáng)度和剛度均能滿足使用要求[12]。

綜上所述，有限元法常用來(lái)計(jì)算主軸系統(tǒng)的特性，并取得了一些成果。但已有文獻(xiàn)大多研究的是機(jī)床主軸的某一方面的特性，針對(duì)縱切機(jī)床主軸系統(tǒng)這種特殊結(jié)構(gòu)研究較少，筆者以某精密多軸機(jī)床的主軸為研究對(duì)象，使用有限元法對(duì)其靜態(tài)、動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行研究，檢驗(yàn)其設(shè)計(jì)合理性。

1 有限元模型的建立

以某精密多軸機(jī)床的主軸系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立主軸系統(tǒng)的三維模型如圖1所示。

圖1 某精密機(jī)床主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

建立主軸的有限元模型時(shí)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了如下簡(jiǎn)化：

(1)將前后兩組角接觸球軸承簡(jiǎn)化為彈性支承，用彈性約束模擬；

(2)假設(shè)經(jīng)過(guò)預(yù)緊后的角接觸球軸承只有徑向剛度，且為定值，忽略其角剛度，并將彈性支承等效為一組彈簧-阻尼單元，并且在自由振動(dòng)狀態(tài)下，將阻尼值設(shè)置為零；

(3)由于軸承預(yù)緊力的作用，不計(jì)外界載荷和轉(zhuǎn)速對(duì)于徑向剛度的影響；

(4)去掉一些不影響最終結(jié)果的細(xì)小特征，如圓角、倒角和鍵槽等。

主軸材料選用40Cr，調(diào)質(zhì)處理，其楊氏模量為211 GPa，泊松比為0.211，密度為7 870 kg/m3，屈服強(qiáng)度為785 MPa。選擇網(wǎng)格類型為hex dominant，將網(wǎng)格尺寸定為4 mm。模型有9 918個(gè)單元，38 924個(gè)節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)實(shí)際情況施加邊界條件，約束前軸承組軸向和切向方向，約束后軸承組切向方向。根據(jù)軸承選型和相關(guān)公式[13-14]推導(dǎo)，可知前、后端圓柱面的徑向剛度分別為154.82 N/μm和169.92 N/μm。主軸在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，工件切削產(chǎn)生的作用力主要由主軸前端的導(dǎo)套承受，故只需考慮主軸的所受力矩，其主要為主軸電機(jī)通過(guò)同步帶傳遞力矩，計(jì)算可得主軸所受的力矩為23.1 N/m。

2 主軸靜態(tài)性能分析

靜態(tài)性能分析的目的是為了校驗(yàn)主軸的強(qiáng)度和剛度是否符合設(shè)計(jì)要求，因而只需要分析主軸靜態(tài)變形和等效應(yīng)力的變化情況。主軸的變形和等效應(yīng)力分布情況如圖2所示。

圖2 主軸靜態(tài)分析結(jié)果

主軸后端在轉(zhuǎn)矩的作用下變形量較大，最大變形量為0.005 553 1 mm，根據(jù)主軸所受的力矩23.1 N/m可求出主軸后端所受切向力為871.7 N，徑向力為371.3 N。根據(jù)徑向力和最大變形量可計(jì)算主軸的靜剛度為567 000 N/m，故主軸剛度滿足設(shè)計(jì)要求。

主軸后端所受應(yīng)力最大，最大值為23.836 MPa。由于主軸材料為40Cr，取安全系數(shù)為1.4，屈服極限為785 MPa，許用應(yīng)力為560.7 MPa，而主軸最大應(yīng)力為23.836 MPa，遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力，故主軸強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求。

3 主軸動(dòng)態(tài)性能分析

3.1 模態(tài)分析

對(duì)主軸進(jìn)行模態(tài)分析，進(jìn)行求解計(jì)算后得到主軸前六階模態(tài)的固有頻率和振型，如圖3所示。主軸各階固有頻率和振型如表1所示。

圖3 主軸模態(tài)分析結(jié)果

表1 主軸前六階固有頻率和振型

由圖3和表1可知，主軸的一階和二階固有頻率近似相等，振型相互正交，因而認(rèn)為它們是重根；同理，三階和四階固有頻率也基本相等，因而認(rèn)為它們也是重根。由于主軸具有多階固有頻率，因而主軸也具有多個(gè)臨界轉(zhuǎn)速，在工程實(shí)際中，通常確保主軸的最高工作轉(zhuǎn)速小于一階臨界轉(zhuǎn)速，一般小于一階臨界轉(zhuǎn)速的75%[15]，由一階固有頻率可得一階臨界轉(zhuǎn)速為172 950 r/min，由電機(jī)選型可知主軸的最高工作轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，遠(yuǎn)小于其一階臨界轉(zhuǎn)速的75%，因而主軸在整個(gè)工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)是安全的，不會(huì)發(fā)生共振。

3.2 諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析是指在外界激勵(lì)作用下，系統(tǒng)各部分的位移響應(yīng)。對(duì)主軸后端施加切向力871.7 N和徑向力371.3 N，由模態(tài)分析結(jié)果可知，在一、二階固有頻率時(shí)，主軸中部和尾端的變形量較大，選擇主軸中部為觀測(cè)對(duì)象，可設(shè)定頻率范圍為1 500～3 000 Hz；而在三階、四階固有頻率時(shí)，主軸尾端的變形量最大，設(shè)定頻率范圍為3 500～4 000 Hz。諧響應(yīng)分析結(jié)果如圖4所示。

圖4 主軸諧響應(yīng)分析結(jié)果

由圖4可知，當(dāng)激振頻率為2 800 Hz時(shí)，主軸中部的位移急劇增加，并且X、Y、Z 3個(gè)方向上Z方向的位移量最大，達(dá)到0.237 42 mm。當(dāng)激振頻率為3 600 Hz時(shí)，主軸尾端的位移顯著增大，在X、Y、Z 3個(gè)方向上Z方向的位移量最大，達(dá)到2.127 2 mm。而主軸的最高轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的激振頻率為166.7 Hz，遠(yuǎn)小于諧響應(yīng)頻率，因此主軸在其工作區(qū)間內(nèi)可以有效避開(kāi)共振區(qū)域。

4 結(jié)論

根據(jù)設(shè)計(jì)的主軸系統(tǒng)建立其有限元模型，分析其靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。在靜態(tài)性能分析中，得到了主軸的最大變形量、最大等效應(yīng)力，結(jié)果表明主軸的強(qiáng)度和剛度均符合設(shè)計(jì)要求。在動(dòng)態(tài)性能分析中，對(duì)主軸進(jìn)行模態(tài)分析，得到了主軸的前六階固有頻率和振型，通過(guò)諧響應(yīng)分析得到主軸在低階頻率范圍內(nèi)的位移曲線，結(jié)果表明，主軸的工作頻率與其固有頻率相差較遠(yuǎn)，在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)不會(huì)發(fā)生共振。