彭艷貴,徐 偉,劉 兵,王鶴穎

(1.鞍山師范學院 數學與信息科學學院，遼寧 鞍山 114007；2.東北師范大學 數學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024；3.鞍山師范學院附屬中學，遼寧 鞍山 114007)

復數理論是數學學科的一個重要分支，隨著我國基礎教育改革的進行，高中復數的課程內容在社會的爭議中被逐漸刪減.2000年之前的高中數學教學大綱中，復數內容設置基本維持在16課時以上，但在2002年版的教學大綱和2003年版的《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱為“課程標準”)中復數內容設置僅為4課時，與以往詳細的復數課程體系相比，這一階段實施的高中復數課程既不難也不多，在一些師生看來，復數部分似乎已經無關緊要，成為高中數學中最容易忽視的一部分.在高中數學課程“削枝強干”理念下，產生了削枝如何保證強干、如何才能通過復數課程體現(xiàn)數系擴充的目標、如何突出核心概念的理解與掌握等問題，這些問題在任何一個知識主題下都值得思考.根據我國基礎教育發(fā)展需求，高考作為一種普遍的教育評價方式，在知識的廣度意義下可以為相關課程及教學評價研究提供依據.

知識維度是高中數學學習的一個重要方面，2003年版課程標準是過去十幾年教學實踐的基礎，明確了高中復數學習目標為四個方面：“理解引入復數的必要性”“了解數系的擴充”“掌握復數的表示、運算”“復數的幾何意義”[1].教育部組織專家在2017年對課程標準進行修訂并于2018年發(fā)布，目前尚處于初步推廣階段，經過對課程標準文本的比較，可以發(fā)現(xiàn)這兩個版本課程標準中復數內容的必修部分基本保持一致，但2017年版課程標準中增加了復數的三角表示作為選修內容，反映了專家和學者認為高中復數內容體系需要強化的一種傾向.在課程發(fā)展的眾多影響因素中，復數試題的知識維度的評價情況是反映復數課程核心要求的一個最基本方面，通過分析高考復數試題的知識維度考查情況，對高中復數課程發(fā)展及考試評價等方面的研究具有重要意義.因此，本文圍繞以下兩點進行分析：第一，2009—2018是現(xiàn)有高中復數課程實施的穩(wěn)定階段，對高中復數課程實施具有較好的階段代表性，所以，本文對這十年高考復數試題進行統(tǒng)計并研究知識點分布，從知識的廣度意義分析高考復數試題；第二，借助描述統(tǒng)計方法分析十年中的復數知識點考查傾向性，分析課程標準中“體現(xiàn)數系擴充”這一教學目標的具體表現(xiàn).通過以上兩個方面的研究，在一定程度上能夠反映出特定階段高考復數命題的內容、形式等方面的信息.

1 研究思路與方法設計

1.1 樣本選擇

多數高考數學試卷只包含一道復數題目，個別試卷不包含復數題目，因此，一套高考數學試卷并不足以反映高考中復數知識考查的傾向性.本研究選擇某一個階段的高考復數試題進行討論分析[2].自2003年版課程標準實施以來，經過一定時間的推廣與實踐，2009—2018年間可以認為是課程標準及配套教材實施的相對穩(wěn)定階段.高考數學試卷的范圍包括全國卷和上海、北京、江蘇、浙江、山東、天津、福建、江西、安徽、重慶、遼寧、湖南、湖北、廣東、四川、陜西、寧夏、海南等省市的文、理科試卷，共計243套試卷的208道復數題目.

1.2 理論框架與方法設計

本研究主要采用知識點比較的方式進行分析.復數知識點的概念界定參照已有研究的結果，是指課程標準中復數部分明確提到的相對較單一的復數知識系統(tǒng)，一般不再對課程標準中明確提出的單個復數知識性的定義進行細節(jié)性的劃分[2].按照課程標準的內容表述，高中復數的知識點主要包括：復數概念、復數相等、復數的代數表示、復數代數表示的幾何意義、復數代數表示的四則運算、復數代數表示加減運算的幾何意義、復數與方程等.復數的模、共軛復數、復數與其他知識主題相結合等知識點，雖然在課程標準中沒有直接提及，但在人教版等高中數學教科書和高考題目中，按照知識的鄰近拓展原則，也應該包括進去.

首先，統(tǒng)計每年的高考數學試卷中的復數題目數量，確定這些復數題目中包含的復數知識點，從復數知識分布的廣度意義上進行分析.其次，由于每年高考全國卷、省市卷的動態(tài)變化，使得每年的高考復數題目數不同，所以不能簡單地用知識點計數的方式比較高考復數試題的考查情況.將包含某個復數知識點的題目數量占當年復數題目總數進行百分比轉換，再對其進行比較，用描述統(tǒng)計方法分析復數知識點的考查傾向性.

2 統(tǒng)計結果與分析

統(tǒng)計的高考試卷中，2009年上海(文科)試卷和2011年上海試卷(文理復數題目相同)各為一道復數解答題，2012年上海試卷(不分文理)包含兩道復數題目：一道填空題和一道選擇題，除此之外，所選擇的每套試卷均包含一道復數題目，題目的形式為選擇題或填空題.統(tǒng)計并整理試題中的復數知識點與數量分布，基本統(tǒng)計數據如表1所示.

表1 高考試題復數知識點數量分布結果

整理并統(tǒng)計2009—2018年間的高考復數試題，目的是在廣度意義下分析高考的評價形式中復數知識點的分布狀況及復數內容考查的整體變化趨勢.由于全國卷的適用范圍和省市自主命題的范圍動態(tài)變化，每年高考試卷中復數題目數也不同，所以在上述數據表的基礎上，進一步統(tǒng)計包含某個知識點的題目數占當年總題目數的比值，如2013年有2道題目考查復數概念，當年復數題目總數為25，占比為8%.詳見表2.

表2 考查單個知識點的題目數占比 (%)

從統(tǒng)計結果可以看出，高考中復數知識點的考查范圍主要包括：復數概念、復數相等、復數的代數表示、復數代數表示的幾何意義、復數代數表示的四則運算、復數與方程、復數的模、共軛復數，以及復數與其他知識主題的結合，共9個知識點，而課程標準中要求的復數加減法幾何意義這一知識點在復數試題中沒有直接出現(xiàn).值得注意的是，這些試題中復數的四則運算是重點考查的知識點，復數與方程的試題僅在2009和2012兩個年度高考試卷中出現(xiàn).比較來說，在這十年的高考復數試題中，復數概念、復數相等、復數代數表示、代數表示的幾何意義、模、共軛復數、與復數關聯(lián)的其他知識點的考查也存在一定程度的傾向性.

3 討論與啟示

3.1 復數知識點的考查明顯集中在復數代數表示的四則運算

對2009—2018年的高考數學試題分析發(fā)現(xiàn)，包含復數代數表示四則運算知識點的題目數占比復數題目總數量中，2013年的比值最低，為80%，其余年份考查復數四則運算的題目均占到90%以上.2003年版的課程標準中，對復數代數表示四則運算的要求是“能進行復數代數表示的四則運算”，課程標準中行為動詞“能”對應“知識與技能”目標領域的理解水平，即是在中等認知水平的要求下學習復數代數表示的四則運算，對任意兩個代數表示的復數進行加、減、乘、除四則運算.2017年版的課程標準中，對復數運算的要求是“掌握復數代數表示的四則運算”，對這部分認知水平的要求程度有所提高.高考試題也很大程度側重于考查復數的四則運算，但從高考題目來看，很多的運算題目都屬于基本的操作運算，屬于較低水平的認知要求，在揭示復數作為數的特征及相關方面表現(xiàn)并不明顯.有學者描述數學學習的一種現(xiàn)象是“一看就會，一做就對”，用來形容高中生在復數方面的一些表現(xiàn)再恰當不過，但這并不表明學生真正學會了復數、理解了復數，只是說明低水平要求下，學生在復數代數表示方面可以形式化地學習相關內容，但還需要深入掌握運算的意義和方法等.一方面，在數系擴充理論中，復數系要滿足數系擴充前的實數系的各種運算法則；另一方面，在數系的擴充理論中，復數系還要體現(xiàn)出與實數系不同的運算特征，即開方運算的封閉性.這兩點是數系擴充理論中在運算意義下體現(xiàn)數系擴充合理性和必要性的兩個基本方面.通過分析高考復數題目發(fā)現(xiàn)，復數代數表示的四則運算僅是最基本的加、減、乘、除四則運算，沒有表現(xiàn)復數運算特征的開方運算，雖然個別題目中包含i2=-1這樣的內容，但在思維形式和運算一般性方面都不足以體現(xiàn)復數開方運算的特征，更不足以體現(xiàn)在運算方面引入復數的必要性.

3.2 復數幾何意義的知識點考查較少

復數幾何意義是復數理論的重要內容，對復數幾何意義理解不足將影響學生對運算的深入理解，不利于復數理論的展開.按照課程標準要求，高中復數只要求復數代數表示，無論在復數的定義形式方面，還是在復數的幾何意義方面都顯得十分單一.在教與學的過程中對復數幾何意義的認識局限在“復數代數表示與復平面上的點之間一一對應”.在復數發(fā)展歷史上，復數的幾何解釋具有重要地位，這是復數被廣泛接受的直接原因.按照弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”原則，高中復數的課程內容和考試評價等方面體現(xiàn)復數幾何意義的有關內容是積極且必要的，不僅需要“復數代數表示與復平面上點之間的一一對應”，而且要了解復數運算的幾何意義，尤其是能夠體現(xiàn)復數本質特征運算的幾何意義.

3.3 復數知識點的考查比較單一

調查結果表明，多數高考復數題目的知識點考查比較單一、孤立，不強調知識的深入理解，對學生學習復數知識的過程性體現(xiàn)不夠.如果考試強調的是復數知識的瑣碎方面，容易被看成是對不連貫教學和機械學習的鼓勵，這對高中復數課程的發(fā)展是非常不利的.由于課程改革過程中高中復數內容逐漸減少，僅局限于概念、法則等內容的形式化的學習，難以體現(xiàn)高中復數內容學習的必要性.比如，在復數代數表示及幾何意義學習過程中，學生很容易把實部和虛部看成獨立的兩個部分，而不是一個完整的數，把復數運算看成是實部和虛部兩個部分單獨的實數運算；或者，把實部和虛部組成的數對完全等同于坐標，抑或把復數混淆于向量，這對復數本質的理解、復數運算幾何意義的掌握是非常不利的[3].復數的理解過程對應表象的建立過程，復數概念的理解隨著表象的不斷修正而不斷完善.高考復數試題的考查應關注過程性的考查，避免師生在復數學習過程中產生理解偏差.

3.4 在復數范圍內求解方程的相關要求較弱

3.5 復數試題的知識維度與課程標準存在一定程度的“不一致”

在課程標準中，明確提到的復數內容包括：“復數的四則運算”“通過方程認識復數”“復數概念”“復數相等”“復數代數表示的幾何意義”“復數加減法的幾何意義”.復數試題的考查一般僅達到了課程標準要求的較低限度.課程標準中復數代數形式四則運算的認知要求屬于理解水平，有的題目的復數運算知識按照運算法則進行簡單的加法或乘法運算，如2018年全國二卷中的一道復數題目是計算i(2+3i).所有復數試題中沒有對“復數代數表示加減運算的幾何意義”這一知識點的考查.還有一些內容超出課程標準和考試大綱的范圍[4].“復數的模”和“共軛復數”雖然沒有在課程標準中明確提到，但是有一定數量的題目包含這兩個知識.間接說明這兩個知識點在復數有關內容的理解中是比較核心的內容，作為復數運算和復數幾何意義的重要支撐概念，應該得以強化.按照古德萊德(Goodlad)的課程層次理論，這在一定程度上反映了“運作課程”與“經驗課程”表現(xiàn)出來的目標性，以及它們與“正式課程”之間的形式不一致性和拓展關聯(lián)性.

3.6 考查復數與其他知識點聯(lián)系的內容較少

復數在聯(lián)系不同數學知識主題和不同學科內容方面具有獨到之處，如復數可以聯(lián)系指數函數與三角函數這兩個沒有什么直接關系的函數，可以聯(lián)系數學與物理兩個學科之間的知識內容.加強復數與其他知識的聯(lián)系應該是高中復數教育價值的一種體現(xiàn).但這十年的高考復數試題中，復數以外知識主題的題目總體不多，主要包括：真假命題、命題的充要條件、集合運算、不等式、軸對稱變換、中心對稱變換等，直接原因是課程標準對復數內容的定位和要求本身就屬于比較基本的水平，普通課程標準對一些復數知識的要求是了解或認識、感受或體會等，形式上按照一定的程序或步驟模仿便可實現(xiàn)，在知識的教學和學習深度上沒有過多要求.

從復數的出現(xiàn)到復數理論系統(tǒng)的完善過程中，復數一直與其他數學知識或者物理等其他學科有著廣泛的聯(lián)系，是解決其他學科或實際問題的重要工具.歐拉、高斯等數學家研究發(fā)現(xiàn)了復數與其他知識主題的廣泛聯(lián)系性和普遍應用性，如歐拉的復數理論研究把復數與指數函數、三角函數統(tǒng)一在一起.高斯、維塞爾等人給出的復數幾何解釋讓人們在普遍接受和認可復數的同時，也為平面幾何問題求解提供了復數方法.建立復數與其他知識主題的廣泛聯(lián)系，有助于學生對復數內容的認識和理解.復數具有多種表示形式，每一種表示形式都能夠反映復數的不同特征、對應不同的幾何解釋形式.因此，強化復數的表示形式，是實現(xiàn)復數與其他知識主題關聯(lián)的有效切入點.心理學研究表明，呈現(xiàn)多種復數表示形式有利于學生在思維層次上關聯(lián)其他知識主題，形成正確的心理表征，實現(xiàn)對概念的深入理解.復數的代數形式在表現(xiàn)實數系到復數系的擴充方面的意義是明顯的，復數的代數表示也很容易被學生在形式上接受，學生也習慣于類比實數范圍內的多項式運算來學習復數四則運算，這樣還能夠體現(xiàn)出復數與之前知識的關聯(lián)，以及復數系與擴充前的數系運算的一致性.復數的三角表示是與其他知識主題聯(lián)系的紐帶，是復數理論展開的重要支點.復數的三角表示部分包含復數的模、輻角等內容在復數幾何意義方面是必不可少的，初等數學中這些內容緊密聯(lián)系伸縮變換、旋轉變換等幾何變換.這些內容與高等數學有著緊密聯(lián)系，是學生今后繼續(xù)學習高等數學的基礎.

4 結語

泰勒從課程發(fā)展的角度，提出教學目標的確定既要符合進步主義觀強調學生發(fā)展需求，也要符合要素主義觀篩選基本知識的觀點[5].這種主張指明：在高中復數課程的思考中，綜合學生個體的發(fā)展需要和知識結構的要素是基本的要求.實際上，不同版本的課程標準對高中復數地位均表現(xiàn)出較為積極的認可，一致強調復數的重要性，認為復數是一類重要的運算對象，有廣泛的應用，要求學生理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義[6].但是在高中復數課程的具體表現(xiàn)方式、知識體系的設置、課時數量等方面存在著對課程的重要性表現(xiàn)不充分的矛盾，尤其是在高考復數試題的考查表現(xiàn)上傾向明顯.從研究的總體上，高考復數內容的考查以復數代數表示的四則運算為主，從數系的結構和要求上，強調數集上定義的運算符合課程標準中的數系擴充的課程目標.但為了學生的后續(xù)學習，高考中關于復數內容的評價應該緊密結合課程目標的要求，為學生的終身發(fā)展服務，實現(xiàn)復數的評價與課程的一致性，在此基礎上檢驗“四基”“四能”等方面的目標要求.在教學評價的意義上，高考考查的內容首先要確定以學生學習目標為導向的目標要求，其次要進行教學內容的整合[7].在內容的組織上，不僅體現(xiàn)對具體復數知識點的考查，更要在客觀上體現(xiàn)對一般原理的滲透與揭示，給學生在思考問題的同時以深刻的啟示，正如張奠宙先生在高中復數內容方面的主張：內容要更新，但基礎決不能削弱[8].因此，在今后的課程研究中有必要進一步研究高中復數的評價與課程的發(fā)展、設計等方面的內容.