齊 琪,劉 兵

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029;2 鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

害蟲治理始終是農(nóng)業(yè)領(lǐng)域重要的研究課題，最常用的控制害蟲的方法是化學(xué)控制和生物控制.近年來，許多學(xué)者利用脈沖微分方程將兩種方法結(jié)合起來建立綜合害蟲治理模型[1-3]，他們大部分假定殺蟲劑的作用是瞬時成比例殺死害蟲的.實際上，殺蟲劑的作用會隨著時間的推移而具有一定的殘留作用[4-5].文獻[6-7]利用兩系統(tǒng)切換的思想研究了單種群滅絕的控制閾值.在此基礎(chǔ)上，文獻[8]提出一個具有瞬時與非瞬時脈沖效應(yīng)的單種群階段結(jié)構(gòu)捕獲模型.在害蟲治理過程中，噴灑殺蟲劑后，害蟲和天敵會在瞬間被大量殺死，然后由于殺蟲劑具有殘留作用,對害蟲和天敵的作用逐漸減弱，因此，用具有瞬時與非瞬時脈沖效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型去描述這種現(xiàn)象更為合理.本文在文獻[1]的基礎(chǔ)上，考慮到固定時刻噴灑殺蟲劑和釋放天敵，并且在殺蟲劑噴灑以后，天敵對害蟲的捕獲率以及轉(zhuǎn)化率的不同，建立一個具有瞬時與非瞬時脈沖效應(yīng)的害蟲綜合治理切換模型，具體分析害蟲滅絕周期解全局漸近穩(wěn)定的條件.

1 模型建立

本文利用切換系統(tǒng)的思想，建立如下具有瞬時和非瞬時脈沖效應(yīng)的害蟲綜合治理模型：

(1)

模型(1)中,x(t),y(t)分別表示t時刻害蟲、天敵的種群數(shù)量;r>0是害蟲種群的內(nèi)稟增長率;K>0為害蟲的環(huán)境容納量;T是實施害蟲控制策略的周期;00表示t=nT時刻投放天敵的數(shù)量;bi(t),i=1,2分別表示殺蟲劑對害蟲和天敵的作用函數(shù)，取bi(t)=mie-δi(t-(n+l)T),(n+l)T≤t<(n+1)T,其中，mi>0,i=1,2分別表示殺蟲劑對害蟲和天敵的非瞬時殺死率;δi>0,i=1,2分別表示殺蟲劑對害蟲和天敵的衰減率.

2 害蟲滅絕的閾值

首先，考慮下面的子系統(tǒng):

(2)

引理1子系統(tǒng)(2)存在正周期解y*(t)并且對系統(tǒng)(2)的任何解y(t)都有:當(dāng)t→時，y(t)→y*(t)，其中

(3)

證明系統(tǒng)(2)在任意脈沖區(qū)間nT

在任意區(qū)間(n+l)T

則

令yn=y(nT+)，則可得如下差分方程

此差分方程存在唯一正不動點

由于

因此,由差分方程理論可知，y*是此差分方程的全局漸近穩(wěn)定的正平衡點，從而系統(tǒng)(2)存在一個全局漸近穩(wěn)定的正周期解y*(t)，當(dāng)t→時，系統(tǒng)(2)的任意解y(t)→y*(t)，其表達式如(3)所示.

定理1令

如果R0<1，則系統(tǒng)(1)的害蟲根除周期解(0,y*(t))是全局漸近穩(wěn)定的.

證明設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)以(x(0),y(0))為初始值的解，系統(tǒng)(1)的周期解(3)的局部漸近穩(wěn)定性可以利用系統(tǒng)的變分方程來確定.為此，作變換x(t)=α(t),y(t)=y*(t)+β(t)，則相應(yīng)的線性方程的解為

其中,Ψ(t)=Ψ1(t)·Ψ2(t)，且Ψ1(t),Ψ2(t)滿足

且Ψ1(0)=Ψ2(0)=I是單位矩陣，因此

由于在下面的計算中，沒有用到(*)，所以沒有必要給出其確切表達式.由Floquet理論知，如果單值矩陣

的兩個特征值的模小于1,則害蟲滅絕周期解(0,y*(t))是局部漸近穩(wěn)定的.實際上,其特征值分別為

系統(tǒng)(1)的周期解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)|λ1|<1，即R0<1.

下面證明系統(tǒng)的周期解的全局吸引性，由于R0<1，所以存在充分小的ε(ε>0),使得

成立.

從系統(tǒng)(1)的第二和第六個方程可得，

考慮如下脈沖微分方程

利用脈沖微分方程比較定理可得y(t)≥N(t)，并且當(dāng)t→時，N(t)→y*(t).因此，當(dāng)ε(ε>0)足夠小，t充分大時，不等式

y(t)≥N(t)>y*(t)-ε

成立.假設(shè)上式對所有t≥0成立，可得

由脈沖微分方程比較定理，當(dāng)t∈(nT,(n+1)T]時，

由于χ<1，所以當(dāng)n→,x((n+1)T)→0.因此，當(dāng)t→時，x(t)→0.

下面證明:當(dāng)t→時，y(t)→y*(t).

(4)

(5)

由式(4)和式(5)的左邊不等式，可得y(t)≥N(t)，并且當(dāng)t→時，N(t)→y*(t).對于右側(cè)，考慮如下比較系統(tǒng):

由引理1知，當(dāng)t→時，z(t)→z*(t)，其中,

因此，對任意ε1>0，存在t2>0，使得當(dāng)t>t2時，有y*(t)-ε1

所以，當(dāng)R0<1時，系統(tǒng)(1)的害蟲根除周期解(3)是全局漸近穩(wěn)定的.

3 結(jié)論

本文建立一個具有瞬時與非瞬時脈沖效應(yīng)的害蟲綜合治理切換模型，通過理論分析，得到害蟲滅絕周期解全局漸近穩(wěn)定的充分條件.利用數(shù)值模擬，圖1中(a)和(b)分別給出R0關(guān)于l和T的等高線，τ和p1的等高線，由圖1(a)知，R0關(guān)于l和T都是單調(diào)增加函數(shù)，即R0隨著噴灑殺蟲劑時刻l的延后或脈沖周期T的增加而增大，可以看出盡早使用殺蟲劑或縮短脈沖控制的周期有利于害蟲治理.由圖1(b)可以看出R0隨著釋放天敵數(shù)量τ或殺蟲劑對害蟲的瞬時殺死率p1的增加而減少，這表明增加天敵的投放量或選擇對害蟲致死率高的殺蟲劑有利于害蟲治理.圖1中，其他參數(shù)取值為r=0.5,a1=0.5,a2=0.3,c=0.3,k1=0.8,k2=0.6,m1=0.2,m2=0.1,δ1=0.4,δ2=0.6,p2=0.1.

圖1 等高線圖

由圖1(a)可知，當(dāng)T=2,l=0.8時,R0<0.因此，由定理1知，害蟲滅絕周期解是全局漸近穩(wěn)定的(見圖2)，最終天敵種群y(t)周期性振蕩，而害蟲種群x(t)趨于滅絕.圖2中，參數(shù)取值為r=0.5,K=1,a1=0.5,a2=0.3,c=0.3,k1=0.8,k2=0.6,m1=0.2,m2=0.1,T=2,l=0.8,p1=0.5,δ1=0.4,δ2=0.6,p2=0.1,τ=0.3.

圖2 系統(tǒng)(1)害蟲種群和天敵種群的時間序列圖

本文沒有考慮不同頻率噴灑殺蟲劑和釋放天敵對害蟲治理的影響，以及長期使用同一種殺蟲劑害蟲會產(chǎn)生抗藥性的因素，我們將在以后做進一步的研究.