孫立珍，趙樂樂

（內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息網(wǎng)絡(luò)中心，呼和浩特 010070）

0 引言

曲線擬合是數(shù)據(jù)分析和處理時(shí)重要的方法之一，根據(jù)變量之間關(guān)系的不同可分為線性曲線擬合和非線性曲線擬合兩種[1]。線性曲線擬合通常是采用一組簡單的、線性無關(guān)的基函數(shù)來逼近測量數(shù)據(jù)，進(jìn)而求解參數(shù)，許多非線性曲線擬合問題也是經(jīng)過函數(shù)的非線性變換轉(zhuǎn)為線性擬合問題來處理[2]。非線性曲線擬合通常是基于MATLAB、Origin 和Maple 等數(shù)學(xué)軟件利用最小二乘法或其他優(yōu)化方法求解模型參數(shù)，文獻(xiàn)[3-6]是基于MATLAB 進(jìn)行曲線擬合，文獻(xiàn)[7-9]是基于Origin進(jìn)行曲線擬合，文獻(xiàn)[10-11]是基于Maple 進(jìn)行曲線擬合，這些軟件在使用過程中經(jīng)常遇到初值設(shè)定困難、收斂性差和精度低等問題。特別是參數(shù)初值的設(shè)定往往憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行試探，具有很大的盲目性，初值設(shè)定不當(dāng)直接導(dǎo)致擬合無法收斂或局部最優(yōu)的結(jié)果[12]。目前也存在像文獻(xiàn)[13-14]用的 Lingo 和文獻(xiàn)[15-16]用的1stOpt 不需要設(shè)定初值的數(shù)學(xué)軟件，所有用于曲線擬合的軟件各具特點(diǎn)。

本文以某一鋰離子電池在放電結(jié)束后的端電壓變化曲線為擬合對象，分別基于MATLAB、1stOpt 進(jìn)行非線性擬合，從擬合精度和軟件的易用性兩個(gè)方面，對MATLAB 和1stOpt 這兩種常用的數(shù)學(xué)軟件所提供的曲線擬合方法進(jìn)行對比分析。

1 非線性曲線擬合

非線性曲線擬合多指通過一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi），（i=1，2，3，…，n），尋找一個(gè)y 與x 之間的函數(shù)f（x，y），使得xi 處的函數(shù)值在最小二乘準(zhǔn)則下與觀測值的偏差最小，讓f（x，y）盡可能準(zhǔn)確地表示出xi 和yi 兩個(gè)被描述量之間的關(guān)系[17]。因此，對于在最小二乘準(zhǔn)則下的非線性曲線擬合方法，可以通過殘差平方和來比較分析其擬合效果。

目前，非線性曲線擬合問題比較普遍，可利用的軟件也比較多，有需要進(jìn)行參數(shù)初值設(shè)定的，也有不需要進(jìn)行參數(shù)初值設(shè)定的，各種應(yīng)用場景不甚相同。MATLAB是MathWorks 公司開發(fā)的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，提供有l(wèi)sqcurvefit（）和 lsqnonlin（）兩個(gè)非線性曲線擬合函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)采用同一種擬合算法，即最小二乘法。1stOpt是由七維高科有限公司開發(fā)的一套數(shù)學(xué)優(yōu)化分析綜合工具軟件包，其核心算法是“通用全局優(yōu)化算法（UGO）”，可用于非線性回歸、曲線擬合和非線性復(fù)雜工程模型參數(shù)辨識等領(lǐng)域。

2 非線性擬合對比分析

本文通過鋰離子電池放電結(jié)束后的二階RC 等效電路的零輸入響應(yīng)對電池端電壓測量值進(jìn)行非線性擬合，辨識相關(guān)參數(shù)，對比分析MATLAB 和1stOpt 兩種擬合方法易用性和精確性。鋰離子電池放電結(jié)束后的二階RC 等效電路的零輸入響應(yīng)表達(dá)式如式（1）所示[18]。

式中，UL表示電池的端電壓，UOC表示電池結(jié)束放電后的開路電壓，U1和U2分別表示兩個(gè)RC 支路在放電結(jié)束時(shí)的電壓，τ1和τ2分別表示兩個(gè)RC 支路的時(shí)間常數(shù)，t 表示電池結(jié)束放電時(shí)長。

文獻(xiàn)[19]對某一鋰離子電池組進(jìn)行脈沖放電，在其中一個(gè)脈沖放電后采集的端電壓值如表1 所示，采樣時(shí)間間隔為1s，共計(jì)20 個(gè)采樣點(diǎn)。

表1 采樣時(shí)間和電池端電壓

2.1 基于MAATTLLAABB的非線性曲線擬合

在已經(jīng)獲取了一組自變量和因變量數(shù)據(jù)的情況下進(jìn)行非線性曲線擬合，可以直接使用lsqcurvefit（）函數(shù)，否則可以使用 lsqnonlin（）函數(shù)[20]。對于式（1）而言，在給定的輸入數(shù)據(jù)t 和輸出數(shù)據(jù)UL的情況下，基于MATLAB 建立可以表達(dá)電池放電結(jié)束后的二階RC 等效電路的零輸入響應(yīng)的function，設(shè)定參數(shù)初值，利用lsqcurvefit（）函數(shù)實(shí)現(xiàn)最小二乘意義上的非線性曲線擬合，進(jìn)而辨識參數(shù) U1、τ1、U2和τ2。

當(dāng)參數(shù)（U1，τ1，U2，τ2）的初值分別設(shè)定為（1，1，1，1）、（2，2，2，2）、（10，10，10，10）時(shí)，擬合曲線如圖 1 所示，辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和（SSE）如表2。

表2 辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和

圖1 電池端電壓變化曲線

從以上擬合結(jié)果來看，當(dāng)參數(shù)初值設(shè)定為（1，1，1，1）時(shí)，非線性曲線擬合無法收斂，且出現(xiàn)極化電壓U2小于0 的現(xiàn)象，這與理論相悖；當(dāng)參數(shù)初值設(shè)定為（2，2，2，2）時(shí)，雖然非線性曲線擬合可以收斂，SSE=1.6701E-5 較小，但僅是局部最優(yōu)化，擬合度不高；當(dāng)參數(shù)初值設(shè)定為（10，10，10，10）時(shí)，SSE=1.0928E-6 小于 1.6701E-5，非線性曲線擬合度提高，擬合結(jié)果接近全局最優(yōu)。進(jìn)而表明，基于MATLAB 進(jìn)行非線性擬合會遇到參數(shù)初值設(shè)定困難的問題，特別是強(qiáng)非線性擬合，參數(shù)初值設(shè)定不當(dāng)可能出現(xiàn)不能收斂或局部最優(yōu)的現(xiàn)象。

2.2 基于1ssttOOpptt的非線性曲線擬合

1stOpt 的“UGO”可以解決目前在優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域中使用迭代法所面臨的初值設(shè)定難的問題，即參數(shù)初值不需要用戶設(shè)定，代碼執(zhí)行時(shí)會隨機(jī)給出，并通過其全局優(yōu)化算法找出全局最優(yōu)解，進(jìn)而可以避免因初值選取不當(dāng)而導(dǎo)致的局部最優(yōu)或不能收斂的問題出現(xiàn)[21]。

基于1stOpt 定義參數(shù)和變量，建立鋰離子電池放電結(jié)束后的二階RC 等效電路的零輸入響應(yīng)的Function，優(yōu)化算法選擇“麥夸特法（LM）”，算法參數(shù)設(shè)定選擇“標(biāo)準(zhǔn)LM+UGO”模式，執(zhí)行代碼可實(shí)現(xiàn)最小二乘意義上的非線性曲線擬合，不需要設(shè)定初值就可以辨識參數(shù)（U1，τ1，U2，τ2）。擬合曲線如圖 2 所示，辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和如表3。

表3 辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和

圖2 電池端電壓變化曲線

基于1stOpt 的非線性擬合無需設(shè)定參數(shù)初值，代碼編寫簡單，有多種可選的優(yōu)化算法組合。從以上擬合結(jié)果來看，擬合精度較高，殘差平方和為1.0926E-6，相對 MATLAB 在初值設(shè)定為（10，10，10，10）時(shí)的擬合殘差平方和減小0.0183%，實(shí)現(xiàn)了全局最優(yōu)化。

3 結(jié)語

對于非線性曲線擬合問題，數(shù)學(xué)軟件MATLAB 和1stOpt 還是有較大區(qū)別的。MATLAB 雖然擬合速度較快，但需要設(shè)定參數(shù)初值，且要達(dá)到1stOpt 的擬合精度需要設(shè)定合適的參數(shù)初值，否則可能出現(xiàn)無法收斂或局部最優(yōu)的問題。1stOpt 無需設(shè)定參數(shù)初值，利用“UGO”進(jìn)行非線性擬合，擬合速度相比MATLAB 略低，但解決了目前在優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域中使用迭代法所面臨的初值設(shè)定難的問題，擬合殘差平方和較小，精度較高，可以實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)化。另外，利用1stOpt 進(jìn)行非線性擬合時(shí)代碼編寫簡單，默認(rèn)輸出迭代數(shù)、計(jì)算用時(shí)、殘差平方和、均方差和相關(guān)系數(shù)等結(jié)果。