張哲，趙健博

哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

線性調(diào)頻(linear frequency modulated，LFM)信號(hào)由于易實(shí)現(xiàn)大時(shí)、寬帶、寬積、低截獲等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶與通信工程等領(lǐng)域。在電子戰(zhàn)中，對(duì)LFM 信號(hào)的參數(shù)估計(jì)是一項(xiàng)重要課題，因此成為研究人員的研究熱點(diǎn)。目前常用的LFM 信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法主要包括時(shí)頻分析法[1-2]、CF CR 域分析方法[3-5]以及分?jǐn)?shù)階變換法[6-10]。時(shí)頻變換法受到窗函數(shù)的限制，很難同時(shí)滿足時(shí)域和頻域分辨率需求；分?jǐn)?shù)階變換法為了滿足精度，需要進(jìn)行大量的匹配搜索計(jì)算，因而，計(jì)算復(fù)雜度比較高，難于進(jìn)行工程實(shí)現(xiàn)；CFCR 域分析方法由于信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)的限制，部分情況難以滿足估計(jì)精度。本文提出一種LVD 與Zoom-FRFT 聯(lián)合的多LFM 信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。該方法通過(guò)LVD提供的粗估計(jì)信息減少了FRFT 計(jì)算復(fù)雜度，利用FRFT 提高了LVD 的估計(jì)精度，并且可在較低的信噪比下對(duì)LFM 信號(hào)進(jìn)行有效的參數(shù)估計(jì)。

1 LVD 和Zoom-FRFT 原理

1.1 LVD 原理

LVD 是一種新型的時(shí)頻分析方法[5]，使LFM信號(hào)在中心頻率-調(diào)頻率域具有良好的能量聚集性，采用尺度變換原理，使多LFM 信號(hào)的交叉項(xiàng)問(wèn)題得到解決，能夠有效地展現(xiàn)出多LFM 信號(hào)的分量個(gè)數(shù)，每個(gè)分量都可以通過(guò)峰值檢測(cè)過(guò)程被找到，其頻率參數(shù)可以直接從坐標(biāo)值中讀取。

為了更好地解釋LVD 的工作原理，我們將連續(xù)無(wú)限時(shí)間多分量LFM 信號(hào)設(shè)為

式中:t∈(-Tob/2,Tob/2),Tob為觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)；Ai為幅度；fi為信號(hào)分量的中心頻率；γi為信號(hào)分量的調(diào)頻斜率；K為信號(hào)分量的數(shù)目。

其參數(shù)對(duì)稱(chēng)自相關(guān)函數(shù)定義為

式中:τ為時(shí)延變量；a為一個(gè)與尺度變換相關(guān)的時(shí)延常量；分別為信號(hào)項(xiàng)分量與交叉項(xiàng)分量。

由式(1)可以很容易地看出，時(shí)間變量t和時(shí)延變量τ在信號(hào)項(xiàng)的相位項(xiàng)上相互耦合。二維線性相位分量中時(shí)間變量t和時(shí)延變量τ的耦合是線性頻率偏移導(dǎo)致線性調(diào)頻信號(hào)在二維參數(shù)平面上模糊表示的根本機(jī)制。換言之，如果能夠解除時(shí)間變量t和時(shí)延變量τ的耦合，LFM 信號(hào)的每個(gè)分量將在中心頻率-調(diào)頻斜率域聚焦為峰值。

為了解除類(lèi)似的耦合，借助Keystone 變換的思想，設(shè)Γ為尺度變換操作，對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行尺度變換，令

式中:tn為尺度時(shí)間；h為尺度因子，則對(duì)參數(shù)對(duì)稱(chēng)自相關(guān)函數(shù)的尺度變換結(jié)果如下:

由式(2)可知，因?yàn)樾盘?hào)項(xiàng)引入了新的時(shí)間變量tn，消除了時(shí)間變量t和時(shí)延變量τ的耦合。再分別沿尺度時(shí)間tn和時(shí)延變量τ的方向做FFT 運(yùn)算可得:

各LFM 信號(hào)分量在CFCR 域聚焦為峰值，根據(jù)峰值下標(biāo)可獲得對(duì)各分量的參數(shù)估計(jì)，圖1 為包含3 個(gè)分量的LFM 信號(hào)的LVD 譜。

圖1 多分量LFM 信號(hào)的LVD

LVD 的核心步驟是尺度變換。為了快速地完成離散的尺度變換過(guò)程，需要借助尺度傅里葉-快速傅里葉反變換(scaling Fourier transform-inverse f ast Fourier transform，SFT-IFFT)來(lái)進(jìn)行。設(shè)多分量LFM 信號(hào)采樣間隔為T(mén)s，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則式(1)中信號(hào)項(xiàng)分量的離散形式為

尺度傅里葉變換(SFT)可以表示為SFT 能夠通過(guò)chirp 變換快速實(shí)現(xiàn)[4]，如圖2所示。

圖2 基于chirp 變換快速實(shí)現(xiàn)SFT

基于SFT-IFFT 的尺度變換離散流程如圖3所示。

圖3 基于SFT-IFFT 的尺度變換實(shí)現(xiàn)框圖

圖3 中，n=[-N/2],[-N/2+1],…,[(N-1)/2]，m=[-N/2], [-N/2+1],…,[(N-1)/2]，[·]表示取整運(yùn)算，η=(2mT+a)h/N，(n′,m)是(n,m)經(jīng)過(guò)尺度變換操作s后的結(jié)果。

1.2 Zoom-FRFT 原理

Zoom-FRFT[11]是一種FRFT 的高分辨計(jì)算方法，它解決了FRFT 的固定分辨率問(wèn)題，可以提供分?jǐn)?shù)階域上的任意段局部譜的細(xì)節(jié)。

假定要計(jì)算FRFT 在局部譜區(qū)間[u1,u2]上的M點(diǎn)等間隔取樣值(u1、u2和M的取值任意)，將分?jǐn)?shù)階傅里葉域變量離散化為

式中:-M/2≤m≤M/2；u0=(u2-u1)/2 為區(qū)間中點(diǎn)；ΔI=(u2-u1)/(M-1)為采樣間隔。然后將式(3)代入FRFT離散化公式中，得到

將恒等式-2mn=(m-n)2-m2-n2代入式(3)，替換得到

式(4)的計(jì)算需要直接確定u0和ΔI這2 個(gè)參數(shù)的取值，為此引入了2 個(gè)相對(duì)因子，一個(gè)是“平移因子”λ=u0/x，-0.5≤λ≤0.5，它表示局部譜中心u0在整個(gè)譜范圍[-Δx/2，Δx/2]中的相對(duì)位置；另一個(gè)是“變焦因子”P(pán)=1/(2ΔIΔx)，它表示局部譜的分辨率ΔI相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)分辨率(1/2Δx)的放大倍數(shù)，一般取P為大于1 的自然數(shù)。將關(guān)系式u0=λΔx和ΔI=1/(2PΔx)代入到式(4)得到

圖4 為高分辨局部譜對(duì)比曲線。由2 條譜線對(duì)比可見(jiàn)，Zoom-FRFT 彌補(bǔ)了離散計(jì)算過(guò)程中損失的信息，能夠更好地將細(xì)節(jié)信息展現(xiàn)出來(lái)。

圖4 高分辨局部譜對(duì)比

2 FRFT 對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響因素

基于FRFT 的信號(hào)二維搜索檢測(cè)法的基本思路可敘述為:令變換階次p遍歷，對(duì)觀測(cè)信號(hào)連續(xù)進(jìn)行FRFT，形成信號(hào)能量在參數(shù)空間(p,u)平面上的二維分布Xp(u)。在此平面上搜尋最大峰值點(diǎn)的坐標(biāo)由此可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)。該過(guò)程可描述為

3 LVD 與Zoom-FRFT 聯(lián)合的參數(shù)估計(jì)方法

針對(duì)FRFT 中搜索步長(zhǎng)所導(dǎo)致的計(jì)算量激增問(wèn)題，本文借助LVD 能夠有效地展現(xiàn)LFM 信號(hào)中多個(gè)分量的優(yōu)點(diǎn)。首先采用LVD 對(duì)多分量信號(hào)的參數(shù)進(jìn)行粗略估計(jì)，然后采用FRFT 與Zoom-FRFT 對(duì)各分量進(jìn)行精估計(jì)，在保證估計(jì)精度的前提下，提高估計(jì)效率。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 估計(jì)精度分析

4.1.1 調(diào)頻率

以2 個(gè)分量的情況進(jìn)行分析，采樣率fs=128 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)Tp=2 s。分量1 的參數(shù)為A1=1，fc=4 Hz，K1=16 Hz/s；分量2 的參數(shù)為A1=1，fc=8 Hz，K1=8 Hz/s。加入高斯白噪聲，信噪比20 dB，取搜索精度范圍[10-2,10-7]，遞減10 倍，分別進(jìn)行100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)調(diào)頻率相對(duì)誤差，如圖5 所示。

圖5 不同搜索精度對(duì)調(diào)頻率估計(jì)的影響

由5 可知，當(dāng)搜索精度達(dá)到10-4時(shí)，搜索精度對(duì)調(diào)頻率產(chǎn)生的影響趨于平穩(wěn)。在該條件下，搜索精度對(duì)中心頻率估計(jì)的影響同樣趨于平穩(wěn)，需要對(duì)FRFT 域進(jìn)行細(xì)化。

4.1.2 中心頻率

采用本文估計(jì)步驟，信號(hào)分量條件與4.1.1 節(jié)相同，加入高斯白噪聲，信噪比20 dB，固定搜索精度為10-4，Zoom-FRFT 細(xì)化倍數(shù)為[10:80]，遞進(jìn)10，分別進(jìn)行100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)中心頻率相對(duì)誤差，如圖6 所示，Zoom-FRFT 對(duì)FRFT域的細(xì)化使相對(duì)誤差得到改善。

圖6 不同細(xì)化倍數(shù)對(duì)中心頻率估計(jì)的影響

4.2 抗噪性能分析

采樣率fs=256 Hz、采樣時(shí)長(zhǎng)Tp=1 s，信號(hào)分量條件與4.1.1 節(jié)相同，加入高斯白噪聲，取信噪比范圍[-15 dB,20 dB]，遞進(jìn)1 dB，分別進(jìn)行300 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)分量估計(jì)參數(shù)的均方誤差。

采用參考文獻(xiàn)[3]中算法與本文算法進(jìn)行比較，由圖7 可見(jiàn)，在本文實(shí)驗(yàn)條件下，所提算法的信噪比門(mén)限為-11 dB，當(dāng)信噪比大于-11 dB 時(shí)，對(duì)參數(shù)的估計(jì)性能遠(yuǎn)高于文獻(xiàn)[3]中算法。

4.3 計(jì)算量分析

本文方法的計(jì)算量主要源于LVD、FRFT 和Zoom-FRFT，對(duì)信號(hào)做LVD 的計(jì)算次數(shù)為6N2logN，N為輸入點(diǎn)數(shù)。對(duì)信號(hào)做FRFT 的計(jì)算量為L(zhǎng)(2N+NlogN)，L為變換階次離散點(diǎn)數(shù)，N為輸入點(diǎn)數(shù)。對(duì)信號(hào)做N點(diǎn)輸入M點(diǎn)輸出的Zoom-FRFT 的計(jì)算次數(shù)為3(2N+M)log(4N+8M)+8M，文中取M=N，計(jì)算次數(shù)為9Nlog(12N)+8N。

圖7 多分量LFM 信號(hào)抗噪性能分析

根據(jù)估計(jì)精度分析，搜索精度采用10-4時(shí)，對(duì)誤差的影響趨于平穩(wěn)，在該條件下，采用FRFT 的計(jì)算次數(shù)為20 000(2N+NlogN)。本文利用LVD 粗估計(jì)完成對(duì)FRFT 的搜索范圍限定，F(xiàn)RFT 的計(jì)算量縮減到200(2N+NlogN)，再進(jìn)行Zoom-FRFT，對(duì)FRFT 域進(jìn)行細(xì)化，計(jì)算量為9Nlog(12N)+8N。設(shè)分量個(gè)數(shù)K，本文算法總計(jì)算量為6N2logN+K(200×(2N+NlogN)+ 9Nlog(12N)+8N)，當(dāng)K≤3 時(shí)，信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)小于3 770，本文算法計(jì)算量小于FRFT 的計(jì)算量。

5 結(jié)論

通過(guò)在不同信噪比下進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)與計(jì)算量分析，驗(yàn)證了本文算法的有效性并得出結(jié)論:

1)在信噪比滿足的情況下，可以快速精準(zhǔn)地對(duì)多LFM 信號(hào)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2)通過(guò)LVD 算法的結(jié)合，減小了總運(yùn)算次數(shù)，提高FRFT 算法的運(yùn)算效率。