孫乾乾，陳斌杰，趙健博

1. 哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001 2. 北京遙感設備研究所，北京 100854

正交頻分復用技術憑借抗多徑效應的能力強、頻譜利用高、易于其他多種接入方法相結合等特性在許多領域中得到應用，如3GPP 的長期演進(long term evolution，LTE)標準，以及即將推出的5G 通信系統(tǒng)。OFDM 系統(tǒng)的主要缺點之一是信號峰值功率與平均功率的比值偏高[1]。目前提出的降低OFDM 系統(tǒng)的PAPR 的方法共分為3 類:信號預畸變方法、編碼類方法、概率類方法。其中，信號預畸變方法會導致信號失真[2-3]，編碼方法適用于子載波數(shù)目較少的系統(tǒng)，在子載波數(shù)目過多時其算法復雜度過高，所以概率類技術成為降低PAPR 的主要方法?，F(xiàn)有的概率類技術包括選擇性映射算法(selected mapping，SLM)[4-5]、部分傳輸序列算法[6]等。

本文將針對PTS 和WHT 進行研究，提出一種聯(lián)合算法提高PAPR 抑制性能，同時不過多增加算法的計算量，達到算法復雜度和算法性能的折中。

1 OFDM 系統(tǒng)及峰值均值功率比

OFDM 系統(tǒng)是一種多載波數(shù)字調(diào)制方案。其信號是由調(diào)制后的多個子載波疊加而成的。假設OFDM 系統(tǒng)有N個子載波，其周期為T，每個子載波承載的數(shù)據(jù)為Aj(i=0,1,···,N-1)，第0 個子載波頻率為fc，第i個子載波的頻率為則OFDM符號可以表示為

通常采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)來實現(xiàn)OFDM 的調(diào)制。設Xk表示OFDM的頻域信號，經(jīng)過IFFT 變換后得到時域信號xn，其中xn與Xk的關系如下

信號峰值功率與均值功率的比值稱為峰值均值功率比簡稱峰均比，這里PAPR 的值可用公式表示為[7]

由峰均比定義可知OFDM 子載波的同相疊加是一個隨機過程。為了直觀地表述OFDM 信號的峰均比，可以使用互補累計分布函數(shù)(complementary cumulative distribution function，CCDF)在統(tǒng)計學的角度上表示信號的PAPR。互補累計分布函數(shù)表示OFDM 信號的PAPR 大于所設定的PAPR 值門限z的概率[8]:

2 部分傳輸序列算法

部分傳輸序列算法是降低OFDM 信號PAPR的一種常用方法，PTS 算法的基本原理是將原始序列分割成V個不同的子塊，每個子塊分別乘以不同的相位旋轉因子后進行相加合并，通過改變各個子塊所乘的相位旋轉因子使PAPR 盡可能小。PTS 的原理框圖如圖1 所示。

圖1 PTS 原理框圖

輸入的OFDM 原始信號X=[X0,X1,···,XN-1]首先被分割為V個子塊，對每一個子塊進行相位加權并合并，得到

式中bv=ejφv為相位加權因子，稱為邊帶信息，其中v=1,2,···,V為子塊序號。經(jīng)過N點IFFT 后得到時域OFDM 符號:

式中bv的選擇應滿足:

從式(2)來看，bv的值可以在[0,2π)之間任取，以得到PAPR 抑制的最佳性能。但當集合中包含的相位加權因子U很大時，bv共有UV種可能取值，每個符號需要VUV次IFFT 才能最終確定加權系數(shù)，這樣的計算量過于巨大，不適合實際OFDM通信系統(tǒng)中的應用。因此需要將bv限制在合適的取值范圍內(nèi)，文獻[9]提出了一種次優(yōu)PTS 算法，該算法使用一種二進制相位因子{1,-1}，以降低系統(tǒng)的計算復雜度。

次優(yōu)PTS 算法的峰均比抑制性能與分塊數(shù)相關，分塊數(shù)越多次優(yōu)PTS 算法的峰均比抑制性能越好。次優(yōu)PTS 算法的性能與分塊數(shù)的關系如圖2 所示。

圖2 不同子塊數(shù)PTS 算法峰均比抑制性能

3 沃爾什哈達瑪變換

沃爾什哈達瑪變換(WHT)是沃爾什(Walsh)變換和哈達瑪(Hadamard)變換的統(tǒng)稱，WHT 的構成十分簡單，是一個只由1 和-1 組成的有序序列[10]。WHT 只需要進行簡單的加減運算就可以得到，不需要進行大量的復數(shù)乘法運算，這樣使得WHT具有較低的運算量。

WHT 是以Walsh 函數(shù)為基本函數(shù)的一種正交變換。Walsh 函數(shù)由拉德梅克(Rademacher)函數(shù)得到，拉德梅克函數(shù)R(n,t)的定義為[11-13]

從式(3)可以看出拉德梅克函數(shù)是一個由1 和-1 組成的周期函數(shù)。Hadamard 排列的walsh變換如下

式中:R(k+1,t)是拉德梅克函數(shù)，是倒序的二進制碼的第k位，k=1,2, ···,p。一維WHT 及其逆變換的定義為

Walsh-Hadamard 矩陣是正交矩陣的一種，可以通過遞推的方法生成。以N階Walsh-Hadamard矩陣為例，其生成方式如下:

式中矩陣前的系數(shù)為歸一化系數(shù)。

根據(jù)式(1)中所假設的信號，離散時間信號的功率可由式(4)得出:

其中:

是序列X的非周期自相關函數(shù)序列S。

假設OFDM 信號xn的平均功率為1，則該信號的PAPR 的最大值為

由式(5)可知，一個信號的PAPR 值和該信號的自相關函數(shù)值有關。并且自相關函數(shù)值越小，該信號的PAPR 越小。

假設S為矩陣H與輸入序列X相乘得到的序列， ρS、 ρX分別為序列S和序列X的自相關函數(shù)。我們可以得到

根據(jù)式(5)可得

由式(6)可得，經(jīng)過WHT 后信號的自相關函數(shù)的均值減小了，進而推斷出進行變換后的序列的PAPR 減小。

4 次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法

聯(lián)合算法的主要思想是先對數(shù)據(jù)進行低峰均比值的WHT，再利用PTS 算法進一步優(yōu)化。PTS算法使用搜索次數(shù)低的次優(yōu)算法，從而達到復雜度低、性能好的效果。

4.1 次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法

圖3 為次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法框圖。

圖3 次優(yōu)PTS-WHT 編碼算法框圖

該方法的主要步驟如下:

1)將輸入的OFDM 的串行數(shù)據(jù)進行串并變換，并進行數(shù)字映射，得到N個已映射的數(shù)據(jù)；

2)生成一個N×N的WHT 矩陣，并與輸入數(shù)據(jù)相乘，生成已編碼的數(shù)據(jù)；

3)采用相鄰分割的方式將輸入OFDM 信號分成V個子塊；

4)對V的子塊數(shù)據(jù)進行IFFT 變換；

5)設置所有的相位因子bv=1，進行運算之后得到信號的PAPR 值，將其設為Pmin；

6)設置v=2，在bv=-1的情況下，找到其中的PAPR；

7)如果PAPR 值大于Pmin，那么bv=1；否則，更新PAPR 值為Pmin；

8)如果v＜V，那么v加1，然后回到步驟7)，否則得到最優(yōu)的相位因子b?；

9)將得到的最優(yōu)相位因子b?與傅里葉變換之后的數(shù)據(jù)相乘，作為最優(yōu)的序列發(fā)送。

4.2 聯(lián)合算法仿真分析

對次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法進行Matlab 仿真分析。本次仿真實驗的基本參數(shù)設置如下:OFDM符號數(shù)為3 000，調(diào)制方式為QPSK，子載波數(shù)為256，IFFT 取256 點，CP 長度為36，實驗中可選擇的相位因子為b=[1,-1]，子塊數(shù)目為4 塊，次優(yōu)PTS 算法采用隨機交織。圖4 為OFDM 原始信號通過次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法和次優(yōu)PTS 算法的CCDF 分布圖。圖中可以看出相比于次優(yōu)PTS算法，本文提出的聯(lián)合算法的PAPR 值降低了0.5 dB 左 右，OFDM 系統(tǒng)的PAPR 得到了較大的優(yōu)化。

圖4 PAPR 的CCDF 分布

改變次優(yōu)PTS 算法的子塊數(shù)為8，次優(yōu)PTSWHT 算法子塊數(shù)不變，其余仿真參數(shù)同上。圖5為OFDM 原始信號、分塊數(shù)為8 的次優(yōu)PTS 算法和分塊數(shù)為4 的次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法CCDF分布圖。

圖5 8 子塊PTS 與PTS-WHT 的CCDF 分布

從圖5 中可以看出，在次優(yōu)PTS 算法分塊數(shù)增加一倍時，其峰均比抑制性能與次優(yōu)PTS-WHT聯(lián)合算法相近。但是此時的次優(yōu)PTS 算法增加了1 024 次IFFT 運算，而次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法僅僅增加了1 024 次乘法運算。由此可見在PAPR抑制性能近似時，次優(yōu)PTS-WHT 算法運算量遠遠低于次優(yōu)PTS 算法。

5 結論

本文提出了一種基于次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法，并對現(xiàn)有的次優(yōu)PTS 算法進行了仿真并進行對比。仿真結果表明:

1)在分塊數(shù)相同的的情況下，聯(lián)合算法的PAPR 抑制性能相比次優(yōu)PTS 算法提升了0.6 dB。

2)在實現(xiàn)相同的PAPR 抑制性能的條件下，次優(yōu)PTS-WHT 聯(lián)合算法運算量則遠低于次優(yōu)PTS 算法。

因此聯(lián)合算法可以在不過多增加運算量的條件下實現(xiàn)良好的PAPR 抑制效果。