（宿遷學(xué)院，江蘇宿遷 223800）

0 引言

轉(zhuǎn)子泵是一種利用泵內(nèi)容積的變化來輸送介質(zhì)的容積泵，其中齒輪泵和羅茨泵是最典型的轉(zhuǎn)子泵，應(yīng)用極其廣泛［1-2］。由于泵內(nèi)容積的變化是通過轉(zhuǎn)子副的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)的，為此，轉(zhuǎn)子的輪廓特征決定了泵內(nèi)容積的變化特性，即轉(zhuǎn)子輪廓直接決定了泵的性能［3］，其輕量化設(shè)計(jì)業(yè)已成為一種趨勢?，F(xiàn)有研究結(jié)果表明轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)越大，泵整體性能尤其輕量化性能越好［4-5］，這其中勢必涉及到形狀系數(shù)的上限問題。目前，雖然由“角點(diǎn)”狀態(tài)下的幾何分析給出了常見圓弧轉(zhuǎn)子的上限形狀系數(shù)［6］，由漸開線終端點(diǎn)位于基圓上的幾何分析，給出了常見漸開線轉(zhuǎn)子的上限形狀系數(shù)［7］，但這一針對具體型線下的個(gè)案方法，不具普適性，且所涉理論廣，既不利于一般工程技術(shù)人員的直接采用，也不利于轉(zhuǎn)子創(chuàng)新型線的上限形狀系數(shù)預(yù)測，雖然由“角點(diǎn)”處曲率半徑等于0的狀態(tài)，給出了最大形狀系數(shù)的計(jì)算方法［8］，但也存在最小曲率半徑不等于0的狀況［9］。為此，旨在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，通過形狀系數(shù)上限取得條件的進(jìn)一步研究，以期獲得轉(zhuǎn)子上限形狀系數(shù)的統(tǒng)一計(jì)算模型。

1 轉(zhuǎn)子輪廓與工作輪廓

圖1 工作輪廓及共軛關(guān)系

記 ∠1o13=∠3o15=φ=0.5π/N，∠162= α0、的長度=ρ0為工作輪廓的起始法角、起始法長。則，轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù) ε 為：

圖1中，設(shè)主（中心為o1）、從（中心為o2）轉(zhuǎn)子在主轉(zhuǎn)子上的點(diǎn)n2（x2，y2）處共軛。由于主、從輪廓完全一致，則從輪廓上的點(diǎn)n2對應(yīng)于主輪廓上的點(diǎn)為n1（x1，y1）。此時(shí)，過n2的法線與節(jié)圓的交點(diǎn)為瞬心p2，過n1的法線與節(jié)圓和y軸的交點(diǎn)分別為瞬心p1和點(diǎn)8。由主、從輪廓間的共軛關(guān)系［6］，得∠p2o17= ∠p1o16= θ；∠8p1o1=∠n2p2o1=α（θ）為θ位置下的瞬心傳動角（簡稱為瞬角）；n2p2=n1p1=ρ（θ）為θ位置下的瞬心半徑（簡稱為瞬徑）。

在圖1所示的xo1y坐標(biāo)系下，以θ∈［0，φ］為瞬變量，由o1p2、n2p2與－y軸（或葉軸）間的夾角分別為2φ－θ和π－α－（2φ－θ），得n2，n1的坐標(biāo)，即節(jié)圓內(nèi)、外工作輪廓的統(tǒng)一坐標(biāo)方程為：

式中，dy1/dx1、dρ/dθ、dα /dθ為y1對x1，ρ對θ，α對θ的一階導(dǎo)數(shù)，均由工作輪廓的定義確定。

2 工作輪廓的極限條件

設(shè)n1，n2處的曲徑為ρ1（θ），ρ2（θ），如ρ2（θ）＜0，則會出現(xiàn)“角點(diǎn)”一類的的幾何干涉［6-8］。故，ρ2（θ）≥0并取得極小值為極限狀態(tài)，對應(yīng)的θ=θ*，ρ2（θ*）=min［ρ2（θ）］≥ 0。記n1（ρ2（θ*）＞0）、n2（（ρ2（θ*）＞0）為頂、谷工作極限點(diǎn)；n1（ρ2（θ*）=0）、n2（ρ2（θ*）=0）為頂、谷的 0 工作極限點(diǎn)。

根據(jù)n1，n2共軛上的歐拉 - 薩伐里方程［10］，由

第1 種情況：ρ1（θ*）≠∞，ρ2（θ*）≠∞。例如漸開線、圓弧、擺線、拋物線等工作輪廓。由式（10）可得到：

則，第1種情況的極限條件為：

式中，ρ2（θ*）=0，取“=”號。

第2種情況：ρ1（θ）=∞的直線段，例如斜頂線工作輪廓，則由式（8）得出：

得第2種情況的極限條件為：

第3種情況：ρ2（θ）=∞的直線段，例如直谷線工作輪廓，則由式（8）得出：

得第3種情況的極限條件為：

3 第1種情況的上限驗(yàn)證

以漸開線轉(zhuǎn)子為例，輪廓如圖2所示。此時(shí)，由漸開線輪廓成形原理可知［11］：

式中，rb=rsinα為基圓半徑，如圖2所示。將式（18）代入式（13），得：

顯然，θ*=0，ρ2（θ*）=0，ρ1（θ*）取得極大值，n2（θ*），n1（θ*）位于輪廓，的起始端點(diǎn)2，4處。

則：

上限形狀系數(shù)ε*為：

與文獻(xiàn)［7，11］結(jié)果完全一致。

圖2 漸開線轉(zhuǎn)子輪廓

4 第2種情況的上限驗(yàn)證

圖3 頂斜線轉(zhuǎn)子輪廓

由式（15）得出：

顯然，θ*=0，ρ2（θ*）取得不等于零的極小值；n2（θ*），n1（θ*）位于工作輪廓各自的起始端點(diǎn) 2和4處，拋物線轉(zhuǎn)子也存在這種現(xiàn)象［12-13］。得：

5 第3種情況的上限驗(yàn)證

以直谷線轉(zhuǎn)子為例，輪廓如圖4所示。此時(shí)，由

與文獻(xiàn)［9］完全一致，因是定值，則無需考慮極限。

圖4 直谷線轉(zhuǎn)子輪廓

6 0工作極限狀態(tài)的統(tǒng)一特征

當(dāng)處于0工作極限狀態(tài)時(shí)，表示谷工作輪廓上存在最小曲率半徑為0的點(diǎn)。此時(shí)，由式（13）可得：

在△o8p1中，由

知，∠o8p1=π/2。

結(jié)合式（29）、（30）和圖2，得0工作極限狀態(tài)的統(tǒng)一特征：頂工作極限點(diǎn)處的曲徑被其瞬心平分，且垂直于其曲心與輪心的連線［8］。

據(jù)此，谷工作極限點(diǎn)與輪心的連線垂直于該點(diǎn)法線，由此也知，漸開線、圓弧能取得0工作極限狀態(tài)，頂斜線等則不能。

7 結(jié)論

（1）由谷工作極限點(diǎn)的輪廓特征和共軛關(guān)系上的歐拉-薩伐里方程，直接推算出轉(zhuǎn)子上限形狀系數(shù)，避免曲徑常規(guī)計(jì)算上求解一、二導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性。

（2）谷工作輪廓存在0工作極限點(diǎn)時(shí)，頂工作極限點(diǎn)處的曲徑被瞬心平分，曲徑線垂直于曲心與輪心的連線；谷0工作極限點(diǎn)與輪心連線垂直于該點(diǎn)法線。

（3）谷工作輪廓不存在0工作極限點(diǎn)時(shí)，谷、頂工作極限點(diǎn)分別位于谷、頂工作輪廓的起始端點(diǎn)；谷工作極限點(diǎn)與輪心連線不垂直于該點(diǎn)法線。

（4）漸開線、圓弧、斜頂線、直谷線轉(zhuǎn)子輪廓的極限驗(yàn)證，說明由極限條件推算出的上限形狀系數(shù)模型正確。