王海東

【摘要】我們從偶數(shù)、奇數(shù)和質(zhì)數(shù)的定義可以得知：大于四的偶數(shù)不僅可以寫成兩個奇數(shù)之和，而且可以產(chǎn)生兩種不同寫法.其中一種寫法就是與哥德巴赫猜想有關(guān)的寫法.只要證明了這兩種寫法的存在，就為證明哥德巴赫猜想提供了一個十分重要的理論依據(jù).

【關(guān)鍵詞】偶數(shù);奇數(shù);質(zhì)數(shù);哥德巴赫猜想

有人曾經(jīng)斷言：哥德巴赫猜想只能用高等數(shù)學(xué)方法來證明，不能用初等數(shù)學(xué)方法來證明.這是一種毫無根據(jù)的錯誤看法.數(shù)學(xué)證明的檢驗標(biāo)準(zhǔn)是證明結(jié)果而不是證明方法.證明方法是否正確取決于證明結(jié)果是否正確.不管證明者使用了什么樣的證明方法，只要由此產(chǎn)生的證明結(jié)果是正確的，這種證明方法就肯定是正確的.

哥德巴赫猜想問世兩百多年一直沒有得到證明.究其原因，也許就與這種錯誤看法的廣泛存在有著密切關(guān)系.人們從這種錯誤看法出發(fā)，不僅會把哥德巴赫猜想的證明方法限制在某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域之中，而且也無法找到證明哥德巴赫猜想的正確方法.

那么，怎樣才能找到證明哥德巴赫猜想的正確方法呢？顯然，人們要想找到證明哥德巴赫猜想的正確方法，就必須撇開高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的門戶之見，將偶數(shù)、奇數(shù)和質(zhì)數(shù)的數(shù)學(xué)定義視為三個不需要證明的數(shù)學(xué)公理，從這三個數(shù)學(xué)公理中推出一組相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)定理，并將這組數(shù)學(xué)定理視為證明哥德巴赫猜想的所有理論依據(jù).這種證明方法就是哥德巴赫猜想的定義證明法.

下面，我們就通過偶數(shù)、奇數(shù)和質(zhì)數(shù)的數(shù)學(xué)定義來表述哥德巴赫猜想的定義證明法.

定義一：

可以被二整除的整數(shù)為偶數(shù).

定義二：

不能被二整除的整數(shù)為奇數(shù).

定義三：

只能被一和自身整除的整數(shù)為質(zhì)數(shù).

從定義一可以得知：

偶數(shù)與偶數(shù)相加等于偶數(shù).

從定義二可以得知：

兩個偶數(shù)相互加減一等于兩個奇數(shù).

從定義一和定義二可以推出定理一：

任何偶數(shù)都可以寫成兩個奇數(shù)之和.

從定理一可以推出定理二：

大于四的偶數(shù)不僅可以寫成兩個奇數(shù)之和，而且可以產(chǎn)生兩種不同寫法.一種寫法包括一和可以被大于一的其他奇數(shù)整除的奇數(shù).另一種寫法不包括一和可以被大于一的其他奇數(shù)整除的奇數(shù).

從加法運算的數(shù)學(xué)規(guī)則來看，只要兩個奇數(shù)相加等于某個大于四的偶數(shù)，不管兩者是否包括一和可以被大于一的其他奇數(shù)整除的奇數(shù)，都可以在和不變的條件下化為這個偶數(shù)的兩個半數(shù).

如果這個偶數(shù)的兩個半數(shù)是兩個偶數(shù)，就可以通過相互加減某個相同奇數(shù)的方法，使之化為既不是一又不能被大于一的其他奇數(shù)整除的奇數(shù).如果這個偶數(shù)的兩個半數(shù)是兩個奇數(shù)，就可以通過相互加減某個相同偶數(shù)的方法，使之化為既不是一又不能被大于一的其他奇數(shù)整除的奇數(shù).

所以，只要存在定理一，就肯定會存在定理二.

令a1和a2代表兩個任意奇數(shù)，b1和b2代表兩個既不是一又不能被大于一的其他奇數(shù)整除的奇數(shù)，m代表大于四的偶數(shù)，n代表大于或者等于零的整數(shù)，我們可以推出一組數(shù)學(xué)公式，并用這組數(shù)學(xué)公式來表述定理二：

已知

a1+a2=m

又知

m=b1+b2

b1=m2+n

b2=m2-n

n>0，b1>b2;n=0，b1=b2

因此

a1+a2=b1+b2

顯然，這組數(shù)學(xué)公式隱含著一個問題.這個問題就是：b1和b2之間是否存在一個合適的n？如果b1和b2之間存在一個合適的n，這組數(shù)學(xué)公式就是成立的.如果b1和b2之間不存在一個合適的n，這組數(shù)學(xué)公式就是不成立的.

根據(jù)b1和b2的定義，我們可以用以下方法來回答這個問題：

已知

b1≥b2

又知

b1-b2=2n

（b1>b2，n>0;b1=b2，n=0）

因此

n=12（b1-b2）

這個結(jié)論表明：

只要存在著b1和b2，b1和b2之間就肯定會存在一個合適的n.這個合適的n就是b1和b2的差的半數(shù).由于b1和b2是兩個奇數(shù)，所以b1和b2的差肯定是一個偶數(shù).這個偶數(shù)的半數(shù)可能是一個偶數(shù)，也可能是一個奇數(shù).

乍一看，這個結(jié)論似有循環(huán)論證之嫌.先用n論證b1和b2的存在，再用b1和b2論證n的存在.

但是，第一個n與`第二個n有所不同.前者是指任意n，后者是指特定n.第一對b1和b2與第二對b1和b2也有所不同.前者是指任意b1和b2，后者是指特定b1和b2.

由于存在這兩個區(qū)別，所以這個結(jié)論看似循環(huán)論證，實則并非循環(huán)論證.

從定義三可以得知：

質(zhì)數(shù)既不包括大于二的偶數(shù)和小于三的奇數(shù)，也不包括可以被大于一的其他奇數(shù)整除的奇數(shù).

從定義三可以推出定理三：

質(zhì)數(shù)包括等于二和大于二的質(zhì)數(shù).前者代表具有質(zhì)數(shù)性質(zhì)的唯一偶數(shù)，后者代表具有質(zhì)數(shù)性質(zhì)的所有奇數(shù).

從定理二和定理三可以推出定理四：

大于二的偶數(shù)包括等于四和大于四的偶數(shù).前者可以寫成兩個等于二的質(zhì)數(shù)之和，后者可以寫成兩個大于二的質(zhì)數(shù)之和.

從定理四可以推出定理五：

任何大于二的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和.

定理五即哥德巴赫猜想.

證畢.

上述證明過程告訴我們：

由于質(zhì)數(shù)既包括偶數(shù)又包括奇數(shù)，所以哥德巴赫猜想既包括偶數(shù)猜想又包括奇數(shù)猜想.偶數(shù)猜想就是與具有質(zhì)數(shù)性質(zhì)的唯一偶數(shù)有關(guān)的哥德巴赫猜想.奇數(shù)猜想就是與具有質(zhì)數(shù)性質(zhì)的所有奇數(shù)有關(guān)的哥德巴赫猜想.

由于偶數(shù)猜想可以通過定義三及定義一和定義二得到證明，所以證明偶數(shù)猜想不是證明哥德巴赫猜想的難點.由于奇數(shù)猜想不能通過定義三及定義一和定義二得到證明，所以證明奇數(shù)猜想才是證明哥德巴赫猜想的難點.

要想消除證明哥德巴赫猜想的難點，不僅必須從定義一和定義二推出定理一，而且必須從定理一推出定理二.要想從定理一推出定理二，不僅必須知道任何偶數(shù)都可以寫成兩個奇數(shù)之和，而且必須在大于四的偶數(shù)中找到兩個奇數(shù)之和的兩種不同寫法.

因此，定理二是一個非常重要的定理，其重要性遠遠超過其他定理.只有定理一沒有定理二，就無法發(fā)現(xiàn)定理一與定理五的內(nèi)在聯(lián)系.只有定理三沒有定理二，就無法通過定理四使偶數(shù)猜想和奇數(shù)猜想同時得到證明.

由于定理二是一個非常重要的定理，所以證明哥德巴赫猜想的關(guān)鍵在于證明定理二.雖然證明了定理二不等于證明了哥德巴赫猜想，但是證明不了定理二就證明不了哥德巴赫猜想.

上述證明過程還告訴我們：

哥德巴赫猜想是一個初等數(shù)學(xué)問題，而不是一個高等數(shù)學(xué)問題.這個數(shù)學(xué)問題完全可以用初等數(shù)學(xué)方法來解決，沒有必要用高等數(shù)學(xué)方法來解決.用高等數(shù)學(xué)方法來解決這個數(shù)學(xué)問題，純屬舍近求遠徒勞無功之舉.

例如，篩法是一種從自然數(shù)中篩出所有質(zhì)數(shù)的、可以通過指數(shù)和估計對其進行分析的、涉及解析幾何方法的高等數(shù)學(xué)方法.這種高等數(shù)學(xué)方法既沒有區(qū)分包含在質(zhì)數(shù)之中的偶數(shù)和奇數(shù)，也沒有區(qū)分包含在哥德巴赫猜想之中的偶數(shù)猜想和奇數(shù)猜想.把篩法當(dāng)作哥德巴赫猜想的證明方法，意味著試圖用一種方法證明兩種不同猜想.

由于包含在質(zhì)數(shù)之中的偶數(shù)只有一個，所以用篩法證明偶數(shù)猜想是十分容易的.由于包含在質(zhì)數(shù)之中的奇數(shù)有無數(shù)個，所以用篩法證明奇數(shù)猜想則是非常困難的.其困難主要在于：篩法只能把證明重點放在與奇數(shù)猜想有關(guān)的所有奇數(shù)上，而不能把證明重點放在與奇數(shù)猜想有關(guān)的偶數(shù)寫法上.這就使我們無法通過定理二找到證明奇數(shù)猜想的正確途徑.

由于篩法只能證明偶數(shù)猜想不能證明奇數(shù)猜想，因此用篩法證明哥德巴赫猜想是行不通的.這不是一條越走越近的證明道路，而是一條越走越遠的證明道路.沿著這條證明道路向前走下去，即使可以走到1+2，也永遠無法走到1+1.

1+2中的2代表兩個質(zhì)數(shù)的積.兩個質(zhì)數(shù)的積顯然不是一個質(zhì)數(shù).這個答案不僅沒有接近1+1，而且完全偏離了1+1.用這個答案來回答問題等于所答非所問.

【參考文獻】

[1]王元，文蘭，陳木法.數(shù)學(xué)大辭典：第二版[M].北京：科學(xué)出版社，2017.