席進(jìn)華
(北部灣大學(xué) 理學(xué)院,廣西 欽州 535011)
針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革的研究成果比較多[1-4],可以將數(shù)學(xué)建模思想融入其中[5]。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,隨機(jī)現(xiàn)象在自然界隨處可見(jiàn)。
在隨機(jī)試驗(yàn)中,可直接觀察到的、最基本的、不能再分解的結(jié)果被稱(chēng)為基本結(jié)果(基本事件)。基本結(jié)果也被稱(chēng)為樣本點(diǎn),將所有樣本點(diǎn)放在一起構(gòu)成的集合被稱(chēng)為樣本空間,可以把隨機(jī)試驗(yàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合問(wèn)題和樣本空間子集問(wèn)題,將事件之間的關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題,這樣就第一次建立了隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。
概率論最先要研究的是隨機(jī)現(xiàn)象在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小問(wèn)題,即事件的概率,但直接定義不方便,于是就采用了公理化定義,將所有事件放在一起構(gòu)成事件域,將概率定義為從事件域到實(shí)數(shù)集的映射,并滿足相應(yīng)條件。
為了更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象,便引入了隨機(jī)變量的概念。隨機(jī)變量就是從樣本空間到實(shí)數(shù)集的一個(gè)映射,并滿足一定條件,把隨機(jī)事件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量的問(wèn)題,然后再定義分布函數(shù),這樣就完全把隨機(jī)試驗(yàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而可以通過(guò)數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象。
從局部來(lái)看,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中包含著很多小的數(shù)學(xué)模型,如古典概型、幾何概型、n重貝努利概型,還有好多習(xí)題也是小的數(shù)學(xué)模型。
例如[6]:根據(jù)記錄,某商店某商品的每月平均銷(xiāo)售量為5件,為了有95%以上的把握保證不脫銷(xiāo),問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件?
泊松分布刻畫(huà)的是一定時(shí)間段內(nèi)稀有事件出現(xiàn)的次數(shù),那么可以近似假設(shè)該商品銷(xiāo)售量服從泊松分布,其中λ=5,從而建立了該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,可以計(jì)算出結(jié)果。
在教學(xué)過(guò)程中,可以充分利用這些例子來(lái)幫助學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論知識(shí),并用其來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念都有其實(shí)際意義,應(yīng)講清楚這些概念的來(lái)龍去脈。
在教學(xué)中,不僅要讓學(xué)生會(huì)計(jì)算期望,更重要的是理解期望的統(tǒng)計(jì)意義,這就是對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模的基本方法就是將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)合理假設(shè)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后求解數(shù)學(xué)問(wèn)題,最后將求解結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中。應(yīng)用這一思維方式,能夠使學(xué)生更好地理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念及方法,可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使課程教學(xué)更具針對(duì)性和實(shí)用性。
教學(xué)過(guò)程中,要注重講解理論、方法的背景意義和內(nèi)涵,不需要將主要精力都放在繁瑣的推導(dǎo)和計(jì)算上。例如,對(duì)全概率公式和貝葉斯公式而言,應(yīng)講清楚這兩個(gè)公式的背景意義。
在講常用分布時(shí),要簡(jiǎn)單介紹幾種常用分布的背景來(lái)歷和分布所描述的試驗(yàn)背景。例如,二項(xiàng)分布是描述n重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件A(0