江蘇無錫市尚賢融創(chuàng)小學(xué) 郭 靜

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在小學(xué)階段，模型思想的主要教學(xué)形式是滲透。教師需綜合考慮，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，采用“教者有意、學(xué)者無心”的方式，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里地認(rèn)識數(shù)學(xué)模型，感悟模型思想。本文以《認(rèn)識射線、直線和角》一課的教學(xué)為例，淺談如何在概念教學(xué)中滲透模型思想。

一、舊知找準(zhǔn)起點，初識概念模型

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識經(jīng)驗生成意義、建構(gòu)理解的過程。教學(xué)中，教師需要關(guān)注學(xué)生的“前概念”，找到新知與學(xué)生已有經(jīng)驗中的契合點，把它作為起點，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的構(gòu)建，建立起符合學(xué)生自己經(jīng)驗的概念模型。

【片段】

師：想一想：線段有什么特征？畫一條線段，并量一量有多長。

師（小結(jié)）：線段有長有短，但無論畫得有多長，我們都能用尺把它的長度量出來，在數(shù)學(xué)上叫作“有限長”。也就是說，線段是可測量、有限長的。

【評析】

在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生一起復(fù)習(xí)了之前學(xué)過的有關(guān)線段的概念，通過看一看、畫一畫、說一說幫助學(xué)生抽象出線段是可測量、有限長的本質(zhì)特征。為后面讓學(xué)生體會把線段的一端無限延長得到一條射線，把線段的兩端都無限延長得到一條直線，抽象出射線和直線區(qū)別于之前學(xué)的線段，是不可測量、無限長的這一概念模型做好鋪墊。

二、經(jīng)驗突破障礙點，辨識概念模型

認(rèn)知心理理論認(rèn)為，一切新的學(xué)習(xí)都是在原有學(xué)習(xí)的根基上產(chǎn)生的，新知總是通過與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識相互聯(lián)系、相互作用后獲得意義。學(xué)習(xí)和生活的所有活動都使得學(xué)生獲得了幾何圖形的最初步的概念，但有時這些概念都是模糊的，學(xué)生理解起來會有一定障礙，我們有必要把這些經(jīng)驗進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以形成新的經(jīng)驗，從而實現(xiàn)經(jīng)驗提升或重組。教學(xué)中，教師需準(zhǔn)確把握學(xué)生在構(gòu)建模型概念時的障礙所在，并通過一定的教學(xué)手段進(jìn)行突破，從而引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地辨別概念模型。

【片段】（出示夜景圖）

師：這些燈射出的光線有什么共同的特點？

師：這些燈光都是從某一個光源射出去，而且都是沿著直的線往前，前面沒有遮擋的話一直會向無限的遠(yuǎn)處射去，沒有終點。這些燈射出的光線，我們都可以看作是射線。（板書：射線）

【評析】

讓學(xué)生初步建立“無限”的概念是本課教學(xué)難點，也是學(xué)生概念構(gòu)建中的一大障礙。在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從實際生活原型（光線）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運用觀察、比較、分析、抽象概括等數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生有意識地去掉數(shù)學(xué)問題中非本質(zhì)的東西，從而辨識出射線這一概念模型。除此之外，教師還嘗試引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來表述數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象過程中不僅突破了障礙，而且還培養(yǎng)了數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，一舉多得。

三、外顯生長點，共識概念模型

一般來說，學(xué)生對概念的理解都是個性化的，是學(xué)生思維過程的產(chǎn)物。在概念教學(xué)中，教師應(yīng)該充分引導(dǎo)學(xué)生將抽象的思維過程轉(zhuǎn)化成看得見的直觀模型，把思維的空間留給學(xué)生,以學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程為主導(dǎo),使思維外顯,從而抽象出概念的本質(zhì)特征，形成共識，有效構(gòu)建概念模型。

【片段】

師：你能憑著對射線的感覺，自己來畫一條線段嗎？（投影展示）

師：這幾位同學(xué)畫的線方向不同，看似有長有短，有什么相同的地方？

師（引導(dǎo)）：直；只有一個端點；表示一端無限長。

師（追問）：為什么只在一端畫端點，而另一端不畫？

師（說明）：數(shù)學(xué)上，在有限的紙上要表達(dá)無限長的概念，就是通過不畫端點來表示的。

【評析】

動手操作實踐是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑和方法，它能把抽象的數(shù)學(xué)知識變得看得明、說得清。學(xué)生通過動手、動腦、動口參與學(xué)習(xí)過程，使操作、思維、語言等有機(jī)結(jié)合，從而建立清晰的數(shù)學(xué)模型。在本環(huán)節(jié)中,教師先讓學(xué)生利用剛才看到的有關(guān)射線的實體模型，根據(jù)初步建立的表象，嘗試自己來畫一條射線。再通過投影展示、觀察、交流發(fā)現(xiàn)：射線是無限長的，在有限的紙上表達(dá)無限長的概念，就是通過不畫端點來表示的，從而達(dá)成共識，成功構(gòu)建“射線有一個端點、無限長”這一概念模型。

四、反思鏈接點，甄識概念模型

數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)概念的不同表示之間的聯(lián)系，才能透徹理解數(shù)學(xué)概念；概念學(xué)習(xí)實際上就是通過建立概念之間內(nèi)在的以及概念的不同表象之間的各種聯(lián)系，使之形成概念網(wǎng)絡(luò)。從數(shù)學(xué)建模的角度來說，“利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”這一步至關(guān)重要。正因為如此，重視引導(dǎo)學(xué)生在探索新知的過程中，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)年P(guān)系或結(jié)構(gòu)，不僅有利于提高學(xué)生的分析能力，而且能使學(xué)生逐步增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光、感受模型思想的應(yīng)用價值。

【片段】

師：射線也可以從我們之前學(xué)過的線段變化而來，想想看，可以怎樣變？

（生畫后交流）

師：我們把有限長的線段的一端無限延長變化成了射線。怎樣把線段延長，得到一條直線？

（生畫后交流）

【評析】

在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧反思把線段的一端無限延長可以得到一條射線，再次體會從有限長到無限長的聯(lián)系與區(qū)別，突出射線的本質(zhì)特征。在此基礎(chǔ)上，把線段的兩端都無限延長就得到一條直線。整個教學(xué)過程既溝通新舊知識之間的聯(lián)系，又注重引導(dǎo)區(qū)別，通過必要的手段幫助學(xué)生提升原有的認(rèn)識，從而更加便捷地得到更具可遷移性的數(shù)學(xué)模型。本環(huán)節(jié)板書設(shè)計體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性和概括性,還富有啟發(fā)性和示范性，一方面揭示知識的內(nèi)在規(guī)律,另一方面表明思路的來龍去脈，有利于學(xué)生理解線段、射線、直線這三個幾何概念的聯(lián)系與區(qū)別，有畫龍點睛的作用。

【板書】

五、溝通共同點，省識概念模型

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾說過：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實?！彼?，當(dāng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型以后，教師應(yīng)該幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實，尋找兩者共同點，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，及時引導(dǎo)學(xué)生在實際應(yīng)用中解決新問題、同化新知識、拓展新認(rèn)知，使數(shù)學(xué)模型成為溝通實際問題與數(shù)學(xué)知識的橋梁，從而幫助學(xué)生進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用水平，積累模型經(jīng)驗，形成初步的模型思想。

【片段】

師（出示踐踏草坪的圖片）：誰用數(shù)學(xué)知識解釋一下這種行為？

生：從圖上位置到公交站臺兩點之間連線，線段的距離最短。

（師根據(jù)學(xué)生的回答，出示圖片，如下圖）

【評析】

為了讓數(shù)學(xué)服務(wù)生活的觀念真正落到實處，模型思維的應(yīng)用更要重視生活的啟發(fā)，并與生活相關(guān)聯(lián)，達(dá)到相互指導(dǎo)的目的。有關(guān)踐踏草坪的此類問題在生活中十分常見，在學(xué)生的思維中構(gòu)建“連接兩點的線中，線段最短”這樣的模型就可以幫助學(xué)生在日常生活中解決類似問題，從而使學(xué)生獲得更直觀的思維感受，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科持續(xù)發(fā)展。

六、辨析共通點，洞識概念模型

布魯納認(rèn)知觀點認(rèn)為：學(xué)習(xí)過程是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識與新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用 ,形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，學(xué)生從事對數(shù)學(xué)知識的提煉和組織——通過對低層次活動本身的分析，把低層次的知識變?yōu)楦邔哟蔚某ＷR，再經(jīng)過提煉和組織而形成更高層次的知識，如此循環(huán)往復(fù)。在此過程中，學(xué)生通過反復(fù)建立和求解一系列模型，能夠更加透徹地理解數(shù)學(xué)知識并能自我生成數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展理性精神。

【片段】

師：大家回憶一下，角由哪幾部分組成？

師：角的兩條邊就是我們今天學(xué)的——射線，從一個點引出兩條射線可以組成角。

師：我們在畫角的時候，可以先畫出一個端點，也就是角的頂點，再從這個端點畫出兩條射線，也就是角的兩條邊，兩條射線所夾的部分組成一個角。（師示范畫角）

師：延長角的兩條邊，角的大小變了嗎？為什么？

師：角的兩條邊是兩條射線，而射線本來就是無限長的，角的大小與這兩條射線張開的大小有關(guān)。

【評析】

本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：從一個點引出兩條射線可以組成角，角的兩條邊就是兩條射線。延長角的兩條邊，角變大了嗎？學(xué)生之前已經(jīng)有“角的兩條邊張開得越大角越大，張開得越小角越小”這一直觀經(jīng)驗，運用新知射線的特征進(jìn)行解釋，整個過程，環(huán)環(huán)相扣，順利完成角的再認(rèn)識。

模型思想的建立是一個循序漸進(jìn)的過程，一方面需要教師在課堂教學(xué)中有意識地滲透，另一方面需要學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不斷反思、揣摩與領(lǐng)悟。教師只有基于自身對概念的深刻了解，在概念教學(xué)時才能從凸顯概念特征、溝通認(rèn)知結(jié)點等方面來幫助學(xué)生實現(xiàn)概念的自我建構(gòu)。只有這樣，學(xué)生對模型思想的認(rèn)識和對數(shù)學(xué)的理解才能從“量的積累”達(dá)到“質(zhì)的飛躍”。