江蘇南京市溧水區(qū)狀元坊小學 程 婭
一個偶然的契機,筆者受命執(zhí)教蘇教版數(shù)學五年級下冊《圓的面積》。這一課時安排了3個例題,容量大,難度高,既要有活動操作的體驗,又要邏輯推理的發(fā)展,是大家公認的“硬骨頭”。筆者開始思考:教材為什么這樣安排?這樣的安排跟學生的素養(yǎng)發(fā)展之間有怎樣的聯(lián)系?學生的起點在哪里?怎樣引導學生經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”?
(1)關(guān)于例7
幾個版本的數(shù)學教材都相繼取消了數(shù)方格,那數(shù)方格在這里的作用是什么?回顧長方形、平行四邊形的面積公式推導過程,都是要先數(shù)方格。那數(shù)方格的作用僅僅是比較、估算嗎?繼續(xù)回顧數(shù)方格是緣于面積的比較,面積單位的產(chǎn)生,就知道教材堅持數(shù)方格傳遞的思想:數(shù)方格是為了度量。面積是度量幾何學的重要組成部分,任意一個新圖形的面積,都可以“以面度面”。量出面積,再探究與相關(guān)量的關(guān)系,因此數(shù)方格是度量思想的體現(xiàn)。例7的作用是什么?筆者以為:是要讓兒童經(jīng)歷合情推理的過程。要讓學生重新經(jīng)歷人類對圓周率探索漫長過程中的關(guān)鍵性步子,就必須發(fā)掘例7在數(shù)學知識“再創(chuàng)造”過程中的重要作用:創(chuàng)設(shè)“區(qū)間精確”的路徑,親歷以面度面的測量驗證過程,也為猜測提供依據(jù),合情推理也應(yīng)是一種證據(jù)推理。
(2)關(guān)于例8
小學生以感性思維為主,動手實踐是探究新知的主要方式之一,安排幾個操作合適呢?“轉(zhuǎn)化為長方形、三角形、梯形”這個問題對學生來說有難度, 但它的價值在于能讓學生養(yǎng)成多角度思考的習慣, 能有意識地尋求不同的方法解決問題, 能綜合已學知識來思考新問題。鑒于一節(jié)課時間有限,教師可以將“轉(zhuǎn)化為長方形”作為本課的基礎(chǔ)研究,而“轉(zhuǎn)化為三角形、梯形”作為課后拓展研究。例8的作用是什么呢?除了動手操作,轉(zhuǎn)化前后的對接里還有思辨,有空間想象、幾何推理、視覺空間推理。例7合情推理有助于探索解決問題的思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論。而例8則是“把實際操作與幾何推理結(jié)合起來,發(fā)揮實際操作在幾何思維中的重要作用”。
(3)關(guān)于例9
例9不僅僅是一個簡單的公式代入練習,必須要考慮到:學生是首次計算關(guān)于一個數(shù)的平方與另一個數(shù)的積,會出現(xiàn)計算順序的差異。因此,計算時先算r2也是需要教師引導學生對比發(fā)現(xiàn)的地方。此外,學生嘗試用π×102+100π這樣的代數(shù)式表示運算的結(jié)果,也為后續(xù)代數(shù)的運算奠定基礎(chǔ)。
所以這3個例題都很重要,對學生思維的發(fā)展有深刻的影響。
(1)學生有過多次用數(shù)方格來研究面積的經(jīng)驗:研究長方形、正方形、平行四邊形及不規(guī)則圖形的面積。
(2)學生有用轉(zhuǎn)化法來探究面積的經(jīng)驗:研究平行四邊形面積時,轉(zhuǎn)化成長方形;研究三角形面積、梯形面積等時都用到了轉(zhuǎn)化的方法。
(3)學生有較多數(shù)學研究的經(jīng)驗:很多研究都是先大膽猜測,再實驗求證,最后推理驗證。例如圓的周長的探究,也是先猜測和什么有關(guān),估計是什么樣的關(guān)系,實驗驗證關(guān)系。
(1)經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程,體會極限、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,增強空間觀念,發(fā)展數(shù)學思考。
(2)經(jīng)歷數(shù)學研究的過程,經(jīng)歷猜想、操作、驗證、討論和歸納等數(shù)學活動的過程。
(3)經(jīng)歷數(shù)學歷史發(fā)展過程,感受面積測量發(fā)展的歷史,感受數(shù)學知識內(nèi)在聯(lián)系的邏輯之美。
師:今天老師帶來了我們學校狀元娃的一些剪紙作品。剪這張剪紙圖案,至少需要多大的圓形紙片?(PPT出示圖1①)
師:求圓形紙片的大小,就是要求什么?(板書課題)
師:這個圓形紙片的面積指的是什么?
師:猜一猜,圓的面積與它的什么有關(guān)?(半徑、直徑、周長、π)
師:是這樣嗎?(PPT演示長短兩條半徑各旋轉(zhuǎn)一周畫出圓的過程)
師:圓面積的大小與半徑是什么關(guān)系呢?我們可以借助一個和半徑有關(guān)的圖形——正方形來研究。(PPT出示例7,隱去方格,如圖1②)
師:正方形和圓有什么關(guān)系?
生1:正方形的邊長就是圓的半徑。
生2:圓面積大約是正方形面積的4倍……比4倍少一些。
(師板書≤4r2)
生4:四個三角形合起來就是兩個正方形,圓面積比兩個正方形大一些。也就是說, 圓面積比2r2多一些(如圖1③)。
生5:圓的面積比4r2少一些,比2r2多一些。
師:那圓的面積到底是r2的幾倍呢?讓我們來數(shù)一數(shù)。
生1:圓的面積是52cm2,正方形面積是16cm2,所以圓的面積大約是正方形面積的3倍多一些。
師:所有這樣的圓和正方形都有這種關(guān)系嗎?
生:不確定,還需要進一步舉例驗證。
(小組合作:數(shù)一數(shù)、算一算、填一填)
師:仔細觀察(指向表格),你有什么發(fā)現(xiàn)?
生2:圓的面積都是正方形面積的3倍多一些,也是半徑平方的3倍多一些。
師:要想更準確地知道圓的面積,你有什么好辦法?
生:以前把平行四邊形面積剪拼為長方形面積;把三角形、梯形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積。圓的面積是不是也可以轉(zhuǎn)化成一個學過的圖形呢?
師:怎么轉(zhuǎn)化呢?轉(zhuǎn)化成學過的什么圖形呢?(出示圖2①)
師:借助材料袋里的材料,我們先把圓剪拼成一個平行四邊形看看有什么發(fā)現(xiàn)。
(展示交流:黑板有序展示學生成果)
師:仔細觀察,發(fā)現(xiàn)了什么?
生:拼成的圖形越來越接近平行四邊形。
師:繼續(xù)分下去呢?
生:平行四邊形斜邊會豎起來!
師:那就是?
生:長方形。
師:是的,就是這樣,我們把圓轉(zhuǎn)化成了長方形。
(師板書:轉(zhuǎn)化)
師:觀察轉(zhuǎn)化前后的圖形,思考:拼成的長方形和原來的圓有什么關(guān)系?
生(小結(jié)):圓的面積可以用公式S+πr2來計算。
師:看來圓的面積和圓的半徑確實有著密不可分的聯(lián)系。回顧今天的研究過程,我們是怎樣做的?
生:先猜測和什么有關(guān),然后估計是怎樣的關(guān)系。通過不斷地觀察比較,逐步縮小范圍,再數(shù)方格進一步縮小范圍,最后通過轉(zhuǎn)化推導出完善的面積公式。
師(小結(jié)):是的,其實我們做任何研究都需要這樣大膽猜想,實驗求證,推理驗證。讓我們來看看前人是如何研究圓的面積的吧。
播放微課視頻:(逐步出現(xiàn)圖2②)數(shù)學始于需要,早在幾千年前,我們的祖先由于田地、湖泊的測量需要,開始了對面積的探究。他們先是用手掌、腳印及同樣大小的小正方形比較面積的大小,后來,人們應(yīng)用出入相補的原理,將圓的面積轉(zhuǎn)化為它內(nèi)接十二邊形的面積,因此有了“周三徑一”的說法。隨著數(shù)學的發(fā)展,我國數(shù)學家劉徽指出有限次的分割、拼補是有局限的,進而想到無限分割,把圓的面積轉(zhuǎn)化為求無數(shù)個小三角形的面積。
師:前人怎樣用手掌、腳印比較面積啊?“周三徑一”是什么意思?劉徽為什么要無限分割呢?回顧我們今天的研究,是不是和前人有驚人的相似之處?
生:是的,我們也是有研究圓形紙片面積的需要,先估一估,然后想到用數(shù)方格來測量,不過這種方法有很大的誤差,最后想到通過無限分割把圓面積轉(zhuǎn)化成為長方形的面積,問題才得以解決。
師:現(xiàn)在要解決之前的這個問題,你需要什么條件?
師:剛才我們是把圓轉(zhuǎn)化成長方形來研究的,其實也可以把圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形。那三角形、梯形和圓又有什么聯(lián)系呢?讓我們帶著這個問題走進課后的研究。
教學不能只關(guān)注知識,還應(yīng)關(guān)注情境背后的能力、知識背后的文化和精神、技巧背后的思想和方法、邏輯背后的直觀和猜想。因此在推理過程中還要關(guān)注兒童親歷怎樣的歷程。
主要通過一條主線(如圖3),這個過程是從區(qū)間到精確的過程。
引導學生經(jīng)歷猜想、估計、操作、驗證、討論和歸納等數(shù)學活動的過程,感受數(shù)學研究的過程:大膽猜想→實驗求證→推理驗證。類比科學研究的過程,有一個共同點:有探究的需要→猜測(大膽提出一些假設(shè))→實驗求證(用已掌握的測量方法測量幾個圓片的面積)→推理驗證(化曲為直和假設(shè)對接)→解決問題。
回顧面積發(fā)展歷史,人類對面積的研究是始于度量的需要,在沒有面積測量方法以前,只能借助一些現(xiàn)有的面積比較面積的大小。從“周三徑一”到準確地測量出圓的面積,前人想到了利用無限分割轉(zhuǎn)化成無數(shù)多個三角形的和。這節(jié)課的研究也是如此,始于解決問題的需要,借助有關(guān)圖形估一估,為了更精確,想到用小方格度量;為了消除誤差,進而想到剪拼轉(zhuǎn)化成長方形。