亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一類平方立方非線性耦合系統(tǒng)主共振解析近似解的研究

        2020-12-23 05:56:40
        河南建材 2020年1期

        李 潔

        宿遷學院建筑工程學院(223800)

        0 引言

        式中 α1和 α2不必限制為小參數(shù),(′)=d()/dτ,(′′)=d2()/dτ2系統(tǒng)參數(shù)均為無量綱參數(shù)。令,

        于是方程式(1)變成

        大多數(shù)非線性微分方程都沒有準確解析解的經典的攝動技術如多尺度法[1]、平均法[2]等,通常僅限于小參數(shù)非線性方程組的分析,難以適用于強非線性振動系統(tǒng)。

        廖世俊提出的同倫分析法通過引入輔助參數(shù)和輔助函數(shù)來調節(jié)和控制級數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度[3]。工程技術中的許多非線性問題應用該方法已經成功解決,如求解非線性動力系統(tǒng)極限環(huán)[4]、非牛頓流體的磁流體動力學[5]等。李永強等人應用同倫方法研究了單自由度和多自由度系統(tǒng)的立方非線性受迫振動系統(tǒng)主共振問題[6-10]這些成功應用的例子表明,同倫分析方法可以有效地解決許多非線性問題,但該方法在平方和立方非線性耦合系統(tǒng)主共振方面的應用卻未見報道。

        文章應用同倫分析法研究了如下一單自由度平方立方非線性耦合系統(tǒng)的主共振問題[11]。

        式中(′)=d()/dτ,(′′)=d2()/dτ2(下同)。

        1 同倫分析法的基本原理

        同倫分析法的基本思想[4]是來自于代數(shù)拓撲中的連續(xù)映射,希望構造一個聯(lián)接方程式(3)的解u(τ)和一個給定函數(shù) u0(τ)之間的同倫 Φ(τ;q),q[0,1],使得 Φ(τ;0)=u0(τ),Φ(τ;1)=u(τ)。 首先,需要確定一組基函數(shù),顯然,單自由度系統(tǒng)主共振可由

        為此解表達式可選為

        式中Ak是未知的復函數(shù),Ak是Ak的共軛。令Ω0為頻Ω率之初始猜測值,選取

        作為 u(τ)的初始猜測值,根據(jù)解表達式(5),選取

        為輔助線性算子, 其中 λ[ Ce x p(iτ)]=0,C∈R.根據(jù)方程(3),定義如下非線性算子[15]。

        式中,Φ(τ;q)為依賴于 τ和 q 之函數(shù),(q)為 q之函數(shù)。令?表示非零輔助參數(shù),構造如下零階形變方程

        這樣,當q=0時,由式(9)可以得到

        當 q=1時,由于 ?≠0,式(9)等同于原方程式(3),從而

        因此,當 q從 0增大到 1時,Φ(τ;q)從初始猜測解 u0(τ)變化到精確解 u(τ),同時 λ(q)從初始猜測解Ω0變化到物理頻率Ω。利用式(10)和泰勒展開定理,將 Φ(τ;q)和 λ(q)展開成如下 q 之冪級數(shù)。

        式中

        由于零階形變方程式(9)中包含輔助參數(shù)?,因此只要選擇適當?shù)?值,就可保證級數(shù)(12)和(13)在q=1時收斂,從而有級數(shù)解

        將級數(shù)(12)和(13)代入到零階形變方程式(9)中,令q相同次冪之系數(shù)為零,就可得到高階形變方程

        式中cc表示前面各項的共軛,消去式(21)中的長期項,令式(21)中 exp(±iτ)的系數(shù)為零,從而得到方程

        由于 A0不為 0,因此由式(22)可得

        根據(jù)式(17)可得一階形變方程

        方程(25)的解為

        為了避免高階形變方程解表達式中出現(xiàn)長期項,必須強迫式(27)中 exp(±iτ)的系數(shù)為零,從而得到方程

        式中α和β是實函數(shù),將式(29)代入到式(28)并將結果分成實部和虛部,得到

        由式(30)和式(31)可得

        由式(30)就可確定出Ω1和a的關系,消除高階形變方程式(27)中的長期項,再根據(jù)式(17)可求得u2(τ)。 根據(jù)式(6),(23),(26)和式(29)可得 u(τ)的一階近似解為

        由于u(τ)中含有輔助參數(shù)?,在同倫分析法中起著控制和調整收斂范圍的作用,可以通過一些相關級數(shù)(如 u′(0),u′′(0)等)的函數(shù)曲線來確定合適的?值,因為只要取合適的?值使級數(shù)解收斂,那么所得到的級數(shù)解就必是原方程的一個解,從而在u′(0)、u′′(0)等函數(shù)和 ? 的曲線中存在一條水平線段,其對應的?取值區(qū)域就是?的有效區(qū)域。

        2 數(shù)值計算

        采用上述同倫分析法對式(1)進行計算,取μ=0.01,ω0=1.0,F(xiàn)=1.0,Ω=1.0。 非線性系數(shù)分別為 α1=α2=1.0 和 α1=α2=5.0 時級數(shù) u(τ)給出的 u′(0),u″(0)和 u?(0)之 ? 曲線如圖 1 所示,很明顯 α1=α2=1.0時級數(shù) u′(0),u″(0) 和 u?(0) 在-1.5≤?≤-1.0 時收斂;α1=α2=5.0時在-1.6≤?≤-1.4時收斂。通過計算發(fā)現(xiàn),若級數(shù) u′(0),u″(0)和 u?(0)收斂,級數(shù) u(τ)在整個區(qū)域τ∈[0,+∞)上收斂,因此在下面的計算中 α1=α2=1.0 時取 ?=-1.0,α1=α2=5.0 時取 ?=-1.5,當非線性系數(shù) α1和 α2為其他值時可通過 u′(0),u″(0)和 u?(0)和 ?的關系曲線確定出適合的值。

        圖 1 u′(0),u″(0)和 u?(0)~? 關系曲線(2階近似)

        圖2 為系統(tǒng)在不同a1和a2下的主共振頻率響應曲線,曲線中的空心圓為相應的數(shù)值解.數(shù)值解采用四階Runge-Kutta算法。由圖2可知,應用同倫分析法得到的解析近似解與數(shù)值法求得的解是相當吻合的,但由于數(shù)值解只能計算穩(wěn)態(tài)解,而同倫分析法不僅適用于強非線性而且也能計算非穩(wěn)態(tài)解。

        圖2 主共振時的頻率響應曲線(2階近似)

        3 結論

        文中應用同倫分析方法獲得了單自由度平方和立方非線性耦合系統(tǒng)主共振的解析近似解。同倫分析方法通過引入輔助參數(shù)可以調節(jié)和控制級數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度,這是同倫分析方法和其他方法的根本性區(qū)別。從同倫分析法與四階龍格庫塔法的比較表明,同倫分析法不僅能求解穩(wěn)態(tài)解而且也能計算非穩(wěn)態(tài)解并且具有較好的計算精度。

        又污又黄又无遮挡的网站| 亚洲中文字幕人妻av在线| 无码孕妇孕交在线观看| 亚洲人成人77777网站| 无码av一区在线观看| 亚洲熟妇色xxxxx欧美老妇| 91久久综合精品国产丝袜长腿| 国产盗摄一区二区三区av| 天堂av网手机线上天堂| 国产精品毛片一区二区三区| 综合三区后入内射国产馆| 99久久精品久久久| 不卡视频在线观看网站| 国产精品沙发午睡系列| 亚洲欧美aⅴ在线资源| 两个黑人大战嫩白金发美女| 国产精品美女AV免费观看| 国产91成人自拍视频| 男吃奶玩乳尖高潮视频| 777精品久无码人妻蜜桃| 亚洲综合一区二区三区四区五区| 人妻少妇久久精品一区二区 | 亚洲av无码电影在线播放| 天天爽天天爽天天爽| 一区二区三区婷婷中文字幕| 美女被强吻并脱下胸罩内裤视频| 成人无码av免费网站| 在线亚洲人成电影网站色www | 自拍偷自拍亚洲精品播放| 国产人妖在线免费观看| 日本一级片一区二区三区| 亚洲av永久无码精品网站| 中文字幕无码av激情不卡| 国产精品爆乳在线播放| 青青草久热手机在线视频观看| 日本a级特级黄色免费| 国产午夜无码片在线观看影院| 色婷婷六月天| 视频一区二区不中文字幕| 中文字幕av长濑麻美| 性欧美老人牲交xxxxx视频|