文朱 萍

方程與不等式是刻畫數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，二者相互聯(lián)系，相互滲透。如何正確地用方程與不等式的知識(shí)解決問題，是中考的熱點(diǎn)。下面就將同學(xué)們?cè)诜匠膛c不等式學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤和容易混淆的地方進(jìn)行匯總，以幫助大家更好地掌握知識(shí)、用對(duì)方法。

一、對(duì)一元二次方程和方程解的定義不清晰

例1 已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+a2-1=0 有一個(gè)根為x=0，則a的值為（ ）。

A.0 B.±1 C.1 D.-1

【錯(cuò)解】B。

【錯(cuò)誤原因】把x=0 代入原方程得a2-1=0，解得a=±1，所以選B。解題時(shí)忽略了一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件，沒有把a(bǔ)=1舍去。

【正解】D。

【點(diǎn)撥】一元二次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程。遇到方程中有參數(shù)時(shí)，一定要仔細(xì)審題，注意題目中的隱含條件，把求出的值逐一驗(yàn)證。

二、對(duì)等式的性質(zhì)理解不徹底

【錯(cuò)解】去分母得3x=2x+1，解得x=1。

【錯(cuò)誤原因】解題時(shí)最后一項(xiàng)“1”漏乘了最簡(jiǎn)公分母3（x+1），最后也沒有檢驗(yàn)。

【正解】去分母得3x=2x+3（x+1），解得

【點(diǎn)撥】由于分式方程去分母變?yōu)檎椒匠虝r(shí)，未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了，有可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)一定要進(jìn)行檢驗(yàn)。去分母時(shí)用到了等式的基本性質(zhì)：在等式的兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為零的整式，等式仍然成立。使用該性質(zhì)時(shí)，方程的每一項(xiàng)都要乘最簡(jiǎn)公分母，不能漏乘。

三、不會(huì)靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)

例3 下列說法不一定成立的是（ ）。

A.若a＞b，則a+c＞b+c

B.若a+c＞b+c，則a＞b

C.若a＞b，則ac2＞bc2

D.若ac2＞bc2，則a＞b

【錯(cuò)解】D。

【錯(cuò)誤原因】對(duì)不等式的性質(zhì)機(jī)械背誦，不會(huì)靈活運(yùn)用。選項(xiàng)D 中隱含了c2≠0，所以是正確的；而選項(xiàng)C中，當(dāng)c2=0時(shí)不等式是不成立的。

【正解】C。

【點(diǎn)撥】在不等式的性質(zhì)中，如果不等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；同時(shí)乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。要仔細(xì)讀題，對(duì)不等式兩邊乘或除以的整式認(rèn)真辨別。

四、混淆分式方程有增根和無(wú)解的情況

【錯(cuò)解】去分母得：x-2=mx，

∵分式方程無(wú)解，

∴方程有增根x=-1，

把x=-1代入，得m=3。

【錯(cuò)誤原因】把分式方程的無(wú)解當(dāng)成了有增根。

【正解】去分母得：x-2=mx，即（m-1）x=-2，由分式方程無(wú)解，得到：

①方程有增根x=-1，把x=-1 代入，得m=3；

②當(dāng)m-1=0 即m=1 時(shí)，方程左邊=0，右邊=-2，∴左邊≠右邊，∴方程無(wú)解。

綜上所述：m=3或m=1。

【點(diǎn)撥】分式方程有增根和無(wú)解是兩個(gè)不同的概念。分式方程在去分母時(shí)把方程變成整式方程，未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了，所以有可能求出的未知數(shù)的值不適合原方程，我們把這個(gè)值叫做增根，此時(shí)原方程無(wú)解。但是分式方程無(wú)解，不一定就是方程有增根，還有可能是變形后的整式方程無(wú)解（關(guān)于x的一元一次方程ax=b，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)方程無(wú)解）。

五、遺漏分式方程分母不為0 的隱含條件

例5 已知關(guān)于x的分式方程

A.-2＜k＜0

B.k＞-2且k≠-1

C.k＞-2

D.k＜2且k≠1

【錯(cuò)解】C。

【錯(cuò)誤原因】只看到題目表面的條件“解為正數(shù)”，而忽略了分式方程本身的隱含條件：分母不為0。

【正解】解分式方程得x=2+k，

∵該分式方程有解，

∴x≠1，即2+k≠1，∴k≠-1。∵分式方程的解為正數(shù)，∴x=2+k＞0，∴k＞-2，

∴k＞-2且k≠-1。

故選：B。

【點(diǎn)撥】遇到分式方程的問題，一定要考慮到使原方程有意義的條件：分母不等于0。

以上是同學(xué)們?cè)诜匠膛c不等式的學(xué)習(xí)中常見的一些錯(cuò)誤，主要原因是概念和知識(shí)點(diǎn)理解得不透徹，甚至有的知識(shí)點(diǎn)混淆。所以，我們平時(shí)要做個(gè)有心人，學(xué)會(huì)及時(shí)進(jìn)行總結(jié)和反思，只有這樣，才能提升我們的數(shù)學(xué)思維和解題能力。