文浦敘德（特級教師）

一、從宏觀到微觀，全面認識方程與不等式體系

從宏觀層面來認識初中數(shù)學，可以將其分為“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐”四大板塊。其中“綜合與實踐”屬于數(shù)學知識的應用，不涉及新知識，所以，嚴格來說，初中數(shù)學就是“代數(shù)板塊、幾何板塊、統(tǒng)計板塊、概率板塊”四大部分。其中的代數(shù)板塊又分成“數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)”五部分內(nèi)容，顯然，方程和不等式處在初中代數(shù)的中間部分，其重要性可想而知。兩者可以看成是前面“數(shù)、式”知識的應用，也可以看成是后面“函數(shù)”知識的基礎，所以，方程與不等式在初中代數(shù)中起著承前啟后的橋梁作用。

從中觀層面來認識方程，初中方程涉及七（上）“一元一次方程”、七（下）“二元一次方程組”、八（下）“分式方程”、九（上）“一元二次方程”共四章內(nèi)容。其中，一元一次方程是最基礎的，二元一次方程（組）是它在“元”（未知數(shù)個數(shù)）上的推廣，一元二次方程是它在“次”（未知數(shù)次數(shù)）上的推廣。按照特殊到一般的規(guī)律，我們還了解了“三元一次方程（組）”，當然還可以繼續(xù)推廣了解“一元三次方程”等知識。上述四章方程內(nèi)容，我們可以把它看成是同類單元，這樣我們可以把方程部分作為一個整體來加以認識。從中觀層面來認識不等式，初中不等式涉及七（下）“一元一次不等式”，包括一元一次不等式與一元一次不等式組兩部分，如果與方程知識加以比較，還可以進一步研究“一元二次不等式”等知識。

從微觀層面來認識方程（不等式），他們都是從生活問題中兩個量之間的“相等關系”（不相等關系）開始進行抽象，根據(jù)“元”“次”不同各自得出方程（不等式）的定義，再根據(jù)等式（不等式）的性質(zhì)對方程（不等式）進行變形，然后解方程（不等式）得出解（解集），最后利用方程（不等式）的知識解決生活中的實際問題，完成數(shù)學到生活的回歸。上述微觀認識體現(xiàn)了生活與數(shù)學兩個過程，一個是“生活問題——抽象——數(shù)學方程（不等式）——建模——生活問題”的生活數(shù)學關聯(lián)過程，另一個是“定義——方程（不等式）解（解集）——等式（不等式）性質(zhì)——解方程（不等式）”的數(shù)學自身發(fā)展過程。

二、從知識到方法，全面深化方程與不等式認識

從上面的知識產(chǎn)生過程可以看出，“數(shù)學抽象”是方程與不等式中非常重要的思想方法。數(shù)學抽象是指通過生活問題或數(shù)學問題對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)。顯然，問題中如果得到兩個量之間是“相等關系”，并且含有未知數(shù)，那么就可以得到數(shù)學中的“方程”；問題中如果得到兩個量之間是“不相等關系”，那么就可以得到數(shù)學中的“不等式”。因為這一思想方法主要是用于新知的產(chǎn)生過程，所以，此處不再展開。

從方程與不等式自身發(fā)展過程可以看出，“數(shù)學推理”是方程與不等式中又一個非常重要的思想方法。數(shù)學推理包括很多種思想方法，“轉(zhuǎn)換與化歸”就是其中之一。解一元一次方程（不等式）的基本步驟是“去分母——去括號——移項——合并同類項——系數(shù)化為1”，這其實就是利用等式性質(zhì)（不等式性質(zhì)）一步一步轉(zhuǎn)換化歸的過程，最后求出解（解集）。把二元一次方程組與一元一次方程放在一起進行比較，你會發(fā)現(xiàn)，它多了一個元，所以，“消元”是我們的目標，我們正是通過“代入消元法（加減消元法）”把“二元一次方程組”變成“一元一次方程”，完成了轉(zhuǎn)化的目的；把一元二次方程與一元一次方程放在一起進行比較，你會發(fā)現(xiàn)，它高了一次，所以，“降次”是我們的目標，我們正是通過“直接開平方法”“因式分解法”“配方法”“公式法”等“降次”手段，把“一元二次方程”變成“一元一次方程”，完成了轉(zhuǎn)化的目的。由此可以看出，在數(shù)學學習上，我們都是盡量把所學的新知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的同類舊知識來解決問題。所以，不管方程在元和次上如何不斷推廣，其解決的根本方法都是“消元”和“降次”，把復雜的方程（組）最后轉(zhuǎn)化成一元一次方程。

從學習了數(shù)學知識后有什么用的數(shù)學應用過程可以看出，“數(shù)學建?！笔欠匠膛c不等式中另一個非常重要的思想方法。利用方程與不等式的知識解決生活中的實際問題是學習的根本目的。它需要經(jīng)過這樣一個規(guī)范的建模過程，即“生活中的實際問題——數(shù)學抽象出相等關系或不等關系——變成數(shù)學中的方程或不等式——解方程或不等式——得到方程或不等式的解（解集）——把解（解集）放到生活問題中去檢驗——得到實際問題的解”。很顯然，教材中“用一元一次方程解決實際問題”“用二元一次方程組解決實際問題”“用一元一次不等式（組）解決實際問題”“用分式方程解決實際問題”“用一元二次方程解決實際問題”都可以借助上面的“方程建模（不等式建模）”的過程達成解決問題的目標。