梁佳歡

在阿里巴巴全球數學競賽頒獎典禮上發(fā)言（從左到右依次為：吳杰、劉建亞、包剛、章志飛）

人類對宇宙的探索刺激了幾何學與拓撲學的發(fā)展，通過與天文學、力學、物理等領域及數學其他分支，如分析與代數的交叉應用，代數拓撲已經成為一個獨立的數學領域，幾乎應用于科學技術的各個領域，愛因斯坦相對論的數學基礎是拓撲學，2016年的諾貝爾物理與化學獎也與拓撲研究息息相關。

國際著名拓撲學專家、河北師范大學數信學院全職特聘教授吳杰，從一個?？粕霭l(fā)，打開了拓撲數學研究的大門，30多年逐夢前行，最終澆灌出拓撲領域的夢想之花。他在代數拓撲和應用拓撲研究，尤其是同倫群組合刻畫、非穩(wěn)定同倫論及構型空間等方面，獲得了一系列突破性研究成果。

“或許，我與數學天生有緣”，回望走過的路，吳杰給出了這樣一個答案。

隨著大數據、人工智能、生物制藥等領域的迅猛發(fā)展，作為核心數學工具的代數拓撲，亟須實現更加前沿的突破。2019年全職回國后的吳杰，冀望于推動國內代數拓撲從基礎理論到未來技術的研究網絡，建立產學研一體的團隊，加快培養(yǎng)出一批拓撲領域的年輕人才。

“數學文章，也許可以關起門自己寫。但數學要做到真正的應用，僅僅靠數學家做夢是做不出來的?！眳墙苷f。

讓拓撲變得“可言可算”

一直以來，拓撲都是一個“妙不可言”的概念，如幾何形狀的變化更具有可視化的特性，人類對于拓撲的認知多停留在“只可意會”的層面。而現代數學則竭盡全力要將抽象晦澀的理念用明晰確切的語言進行表述，設計出通用普適的算法，使得一切理論結果都可以在計算機上操作、復制。

代數通過制定特定的運算規(guī)則和一系列的算法程序，通過計算來得到結果。用代數的方法來研究拓撲，就是要將妙不可言的拓撲用代數來進行分析，讓拓撲變得“可言”又“可算”。

代數拓撲，又稱同倫論，主要以代數方法研究幾何對象，作為幾何與拓撲的一個特殊方向，同倫論是一個古老且重要的數學研究方向。除了在數學各個領域中的廣泛應用，同倫論的方法與結果也大量地應用于理論物理、弦理論、量子群、數學物理、計算機科學等科學領域。

吳杰數十年來致力于同倫論本身的研究及其與低維拓撲和群表示論的交叉研究，在幾何與拓撲研究幾何體的形狀及其變換的數學領域建樹頗多。

辮子群、鏈環(huán)群及其同倫群的組合刻畫，是同倫論中的經典難題，也是代數拓撲的核心課題。早在20世紀50年代初，同倫群的研究就涌現出一系列成果。國外科學家通過建立單純群作為回路空間的組合模型，可以對一個拓撲空間的同倫群給出理論性的組合描述；20世紀90年代，科學家發(fā)現了三維球面的一般同倫群的具體組合描述，通過單純群的方法技巧，又意外地挖掘出三維球面同倫群與經典辮子群的重要聯系，推動了同倫論與低維拓撲的交叉研究。

吳杰在美國羅切斯特大學數學系研究期間意外發(fā)現，三維球面的一般同倫群同構于一個精確給定生成元與關系組的組合群的中心，這一成果證明了三維球面同倫群同構于純辮子群在一個精確的組合群上的作用的不動點，首次建立了辮子群與同倫群的直接聯系，系統(tǒng)性地建立了Brunnian辮子群與同倫群的一系列令人吃驚的本質性關系。

經過不斷深入研究，吳杰在這一方面的成果論文先后發(fā)表于國際頂級期刊，受到國際科學界的高度評價，并因這一突破獲得了2007年新加坡國家科學獎。

不止于此，在此基礎上，吳杰通過論證給出了任意維球面一般同倫群的精確組合描述，將三維球面同倫群的組合描述大幅推廣到任意維的球面，解答了同倫論已故領袖之一M.Mahowald于1994提出的同倫論經典難題。

通過后續(xù)研究，他與團隊還進一步建立了鏈環(huán)群與單純群的關系，關于同倫論與低維拓撲的交叉研究也幫助其獲得三維流形Heegaard分解的新的信息。其在同倫群組合刻畫的研究方法不同于傳統(tǒng)方法，越來越多地吸收了來自低維拓撲及群表示論的一些方法。

對于數學對象的分類性研究，一般將對象進行分解，同時探索其不可約或不可分解的性質。針對co-H-空間回路自然分解的研究，是吳杰在代數拓撲領域的又一突破。在同倫論中，大量的關于同倫群的信息正是通過研究回路空間的分解得到的。

在該研究方向上，吳杰與國外學者Paul Selick突破了傳統(tǒng)方法對給定空間回路空間的分解，首次對一個空間X的雙角錐的回路空間ΩΣX作為空間到空間的函子進行研究，將Ω Σ的自然分解轉化為置換群Σn的模Lie(n)的模表示論問題，并由此解決了Cohen猜想，揭示了同倫論與置換群的模表示論之間的本質性關聯。

在非穩(wěn)定同倫論領域，模2Moore空間的研究是所有Moore空間中最難的一類空間，有別于其他Moore空間，大量的情況到了mod 2 Moore空間的情況屬于未知。在這一領域，吳杰與國外學者合作，構造出無限多個mod 2 Moore空間的同倫群中的指數為8的元素，并證明了三維球面的高階同倫群是射影平面的雙角錐的同倫群的直和因子。其關于mod 2 Moore空間的同倫論的系統(tǒng)性研究引入了一些群表示論方法，成功解決了諸多經典問題。

吳杰用組合方法研究同倫群的指數問題，建立了同倫群指數問題與辮子群的重要聯系，并首次建立構型空間的單純結構，由此建立了同倫論與辮子群的本質性聯系。

近年來，吳杰致力于推動代數拓撲的應用，在拓撲數據分析及其在生物應用中、超圖同調等領域中，指導學生進行創(chuàng)新，目前已經在相關領域成功應用。在超圖同調的創(chuàng)新中，對于擁有打分機制的圖數據引入了超持續(xù)同調概念，給出了同時適用于云數據與圖數據的統(tǒng)一的拓撲數據分析方法，未來將適用于“圖的高維拓撲與幾何結構、復雜工業(yè)互聯網數據分析、腦科學數據分析、神經科學數據分析”等不同領域。

團隊合影

對數學天生有種“饑餓感”

早在中學時期，吳杰就是一個嚴重偏科的學生，卻也因此小有名氣，從教育局領導到學校的老師和同學，幾乎都知道他有著數學上的天賦。

1980年，吳杰考入麗水師專數學專業(yè)，盡管只是一個3年制的?？茖W校，吳杰卻在那里打開了數學研究的大門。

在麗水師專，他開始系統(tǒng)學習數學理論，科主任耿如明給了他很大幫助，把自己收藏的菲赫金哥爾茨《微積分學教程》借給他，吳杰視若珍寶，苦心鉆研。直到畢業(yè)后在中學教書的三年時間里，他都醉心于數學理論體系的學習和研究。

1986年，由陳省身先生創(chuàng)辦的南開數學所第一次向社會公開招13名研究生，吳杰毅然報考，他的英語剛好達到錄取線，但總分卻位列前五名，如愿被南開大學數學所錄取為理學研究生。

導師周學光先生是國內同倫論的權威學者，研究Adams譜序列與同論群，這是同倫論中最難的一個領域。這正中吳杰“下懷”，那時候的他就喜歡鉆研難題，無論是哪個細分研究方向，總想著要選擇最難的來學。那個時候的吳杰對數學仿佛總有種“饑餓感”，總是覺得“吃不飽”，他本能地吸收著同倫論領域的知識。

周學光有著老一代學者的風骨情懷，他言傳身教，不僅在學業(yè)上給予吳杰悉心指導，生活上也對他和同學們諸多照顧。周學光的夫人也把他們當成自己的孩子一樣關懷備至，吳杰畢業(yè)后擔任南開大學數學系教師的一段時間里，他的戶口就先落在了周先生家里。

盡管從未想過出國，但在南開大學工作3年后，吳杰卻意外地得到了前往美國深造的機會。原因是，他在數學研究中解決了美國羅切斯特大學Fred Cohen教授在同倫論研究中的一個猜想。Fred Cohen教授迅速向他發(fā)來了offer，希望他到羅切斯特大學攻讀博士，為此還免掉了他的英語考試，提供全額獎學金，讓他在美國有基本的生活保障。

那時，羅切斯特大學是同倫論的“世界中心”，在數學系20多名教授中，就有6人是世界一流的拓撲學專家，其中包括從普林斯頓大學退休之后到羅切斯特大學任教的拓撲學元老級人物John Moore，非穩(wěn)定同倫論和穩(wěn)定同倫論的明星級拓撲學專家Fred Cohen及Doug Ravenel。

在美國讀博時，吳杰在同倫論領域的研究逐漸精深，博士生導師Fred Cohen同樣給了他很大的幫助。到了第三年時，吳杰幾乎每周都要給Fred Cohen與John Moore兩人匯報數學研究上的進展。

那個時候，他在臺上講，兩位明星級專家就在下面聽著，一邊聽，一邊予以指導，這讓他進步飛速，幾乎每周都有新的研究進展。而在20世紀90年代之前，美國華人中做同倫論的人很少，在很多同倫論學術會議上，吳杰幾乎是唯一的一個華人學者。

令他備感溫暖的是，盡管國籍不同，甚至年齡相差極大，但每位同倫論的前輩大師都對他非常友好，有的甚至把他當成自己家的孩子一樣。

1999年，拿到美國自然科學基金課題資助的吳杰卻放棄了在美國的研究事業(yè)，接受了拓撲學專家Jon Berrick的邀請，赴新加坡國立大學從事數學研究工作。“他當時跟我說，新加坡計劃將新加坡國立大學建設為亞洲的哈佛，將南洋理工大學建設為亞洲的MIT。這個說法對我有非常大的吸引力，我喜歡去追求挑戰(zhàn)性的目標。”

從麗水?？瞥霭l(fā)，逐漸在數學界站穩(wěn)腳跟并小有名氣，吳杰感受到了創(chuàng)造精彩和奇跡的成就感。如果能夠實現將當時教學型的新加坡國立大學建設成為亞洲的哈佛這一目標，這將是一個更令他向往的奮斗和創(chuàng)業(yè)的過程。

此后近20 年時間，吳杰見證了新加坡國立大學逐漸走向世界名校，他和合作者們在Journal of the American Mathematical Society（美國數學學會雜志）的工作也為新加坡國立大學數學系首次沖進了數學頂級期刊。

2007年，他還與Jon Berrick拿到了新加坡國家科學獎，這也是基礎數學首次獲得新加坡的最高科學獎項。獲獎證書上這樣評價他們的工作：For their fundamental work on the deep connections between algebraic topology and the theory of braids（他們建立了代數拓撲與辮子群理論深層關系的基礎性工作）。而這些都是吳杰多年來創(chuàng)新探索的科學結晶。

經過近20年來在拓撲學上的研究，在同倫論基礎上，吳杰的研究興趣開始延拓，往學科交叉方向發(fā)展；除了保持同倫論本身的研究，也獲得了與低維拓撲、群表示論、組合群等其他領域交叉的眾多結果。

推動國內代數拓撲創(chuàng)新發(fā)展

自1992年出國，2004年拿到新加坡終身職位，長達28年在國外埋頭做研究的吳杰，卻一直保持著中國公民身份，回國的愿望和念頭事實上一直縈繞在他的心頭。

2006年以后，隨著國內代數拓撲界的發(fā)展，吳杰與國內同行的交流也日益增加，并在國內組織過大量的學術活動。2011年，吳杰與國內大連理工大學的雷逢春教授聯合拿下了海外合作基金（杰青B類）前期項目，推動了同倫論與低維拓撲的交叉研究，并取得了大量成果，2014年又獲得了海外合作基金的正式項目。

從基礎數學到應用，路途遙遠，要先開展基礎數學內部的學科交叉，積累經驗再逐步向應用領域發(fā)展。為了在拓撲學科上實現戰(zhàn)略發(fā)展，吳杰與雷逢春教授聯合其他代數拓撲界同行，進行了無數次的討論，也組織了大量的學術活動。一系列的項目，不僅推動著國內應用拓撲領域研究不斷深入，也為他自己回到國內埋下了伏筆。

在國內，有代數拓撲學界形成學科的大學屈指可數，河北師范大學自1950年代創(chuàng)立代數拓撲學科以來，一直是該領域的重要研究基地之一。巧合的是，該校拓撲學科的兩位副教授曾經到新加坡國立大學長期訪問，并在吳杰的指導下做課題研究。

既有時代的契機，也有來自身邊的影響，河北師范大學拓撲學科與吳杰建立了深入的學術交往和深厚情誼，并于2018年向吳杰發(fā)出了熱忱邀請。2019年，吳杰全職回國，任職河北師范大學數信學院教授。

代數拓撲學并不是關起門來做數學游戲的自娛自樂的學科，在科學與技術的應用上有著巨大推動作用，無論是愛因斯坦的相對論還是2016年的諾貝爾物理、化學獎，都與拓撲息息相關。拓撲學的發(fā)展甚至已經成為現代科學與技術的靈魂之一，價值不言而喻。

值得關注的是，代數拓撲的研究已經在交叉學科的領域越來越深入，吳杰不僅建立了低維拓撲與同倫論的基礎性聯系，可以用辮子群或鏈環(huán)群等幾何群去描述球面同論群，打通兩大領域的管道，還打通了同倫論與模表示論的管道。他認為，這一系列研究成果對于我國來說，不僅可以強化數學領域的發(fā)展，更可以應用于推動科技網絡的建設。

近年來，代數拓撲在國際上已經走向更加前沿的問題——代數拓撲在人工智能發(fā)展中的應用。吳杰說，新興科技領域會需要離散化的數學去研究，組合拓撲就是其中最重要的數學工具之一。拓撲在機器人學中的應用，是除了拓撲數據分析外，應用拓撲的另一個熱點領域，可以實現機器人運動規(guī)劃的拓撲復雜度，必將推動人工智能快速迭代發(fā)展。

如今，吳杰在河北師范大學成立了拓撲與幾何技術創(chuàng)新中心，全身心致力于推動國內代數拓撲領域的創(chuàng)新發(fā)展和人才梯隊的培養(yǎng)。

在人才培養(yǎng)上，他有著自己的一套方式。吳杰認為，數學創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，不能靠喂奶式、填鴨式的教育，本科高年級及以上的學生要有自己的定理、自己的觀點、自己的例子，學生要發(fā)現自我、剖析自我、建設自我，而要迅速培養(yǎng)起一支拓撲學研究的年輕隊伍，就要讓他們與國際接軌，加強合作與交流。

他正調度來自復旦大學、南開大學、大連理工大學、浙江大學、山東大學及河北師范大學等院校的數十名碩士與博士研究生，在數學、計算機科學、數據科學、分子生物、腦科學等領域專家們的共同指導下，通過學科交叉與知識融通的培育方式，開展拓撲方法在數據科學與人工智能領域的應用研究。

“通過全國范圍內的視角，大家協調起來，共同推動拓撲的應用，希望在比較短的時間內，國內能夠涌現出一批年輕人才?！眳墙苷f。

他正在開展河北省高端人才項目“代數拓撲及其在前沿科技的應用”，通過這一項目，致力于促進代數拓撲的基礎理論研究，拓展拓撲學在數據科學的應用以及加快在技術領域應用的基礎研究，希望能夠建立從基礎理論到未來技術的研究管道與網絡，建立一個新型的產學研創(chuàng)新中心。

“好的數學想法，需要好的算法去落實，好的算法需要好的技術去落地。每一步都是非常艱難，每一步都要求知識融通、強強合作?！眳墙苷f，他希望通過推動基礎理論與理論應用雙向互動的模式，催化新的理論，推動更前沿的技術應用。