梁佳歡

在阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競賽頒獎典禮上發(fā)言（從左到右依次為：吳杰、劉建亞、包剛、章志飛）

人類對宇宙的探索刺激了幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，通過與天文學(xué)、力學(xué)、物理等領(lǐng)域及數(shù)學(xué)其他分支，如分析與代數(shù)的交叉應(yīng)用，代數(shù)拓?fù)湟呀?jīng)成為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，幾乎應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域，愛因斯坦相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是拓?fù)鋵W(xué)，2016年的諾貝爾物理與化學(xué)獎也與拓?fù)溲芯肯⑾⑾嚓P(guān)。

國際著名拓?fù)鋵W(xué)專家、河北師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院全職特聘教授吳杰，從一個?？粕霭l(fā)，打開了拓?fù)鋽?shù)學(xué)研究的大門，30多年逐夢前行，最終澆灌出拓?fù)漕I(lǐng)域的夢想之花。他在代數(shù)拓?fù)浜蛻?yīng)用拓?fù)溲芯?，尤其是同倫群組合刻畫、非穩(wěn)定同倫論及構(gòu)型空間等方面，獲得了一系列突破性研究成果。

“或許，我與數(shù)學(xué)天生有緣”，回望走過的路，吳杰給出了這樣一個答案。

隨著大數(shù)據(jù)、人工智能、生物制藥等領(lǐng)域的迅猛發(fā)展，作為核心數(shù)學(xué)工具的代數(shù)拓?fù)?，亟須?shí)現(xiàn)更加前沿的突破。2019年全職回國后的吳杰，冀望于推動國內(nèi)代數(shù)拓?fù)鋸幕A(chǔ)理論到未來技術(shù)的研究網(wǎng)絡(luò)，建立產(chǎn)學(xué)研一體的團(tuán)隊(duì)，加快培養(yǎng)出一批拓?fù)漕I(lǐng)域的年輕人才。

“數(shù)學(xué)文章，也許可以關(guān)起門自己寫。但數(shù)學(xué)要做到真正的應(yīng)用，僅僅靠數(shù)學(xué)家做夢是做不出來的?！眳墙苷f。

讓拓?fù)渥兊谩翱裳钥伤恪?/h2>

一直以來，拓?fù)涠际且粋€“妙不可言”的概念，如幾何形狀的變化更具有可視化的特性，人類對于拓?fù)涞恼J(rèn)知多停留在“只可意會”的層面。而現(xiàn)代數(shù)學(xué)則竭盡全力要將抽象晦澀的理念用明晰確切的語言進(jìn)行表述，設(shè)計(jì)出通用普適的算法，使得一切理論結(jié)果都可以在計(jì)算機(jī)上操作、復(fù)制。

代數(shù)通過制定特定的運(yùn)算規(guī)則和一系列的算法程序，通過計(jì)算來得到結(jié)果。用代數(shù)的方法來研究拓?fù)?，就是要將妙不可言的拓?fù)溆么鷶?shù)來進(jìn)行分析，讓拓?fù)渥兊谩翱裳浴庇帧翱伤恪薄?/p>

代數(shù)拓?fù)?，又稱同倫論，主要以代數(shù)方法研究幾何對象，作為幾何與拓?fù)涞囊粋€特殊方向，同倫論是一個古老且重要的數(shù)學(xué)研究方向。除了在數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，同倫論的方法與結(jié)果也大量地應(yīng)用于理論物理、弦理論、量子群、數(shù)學(xué)物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域。

吳杰數(shù)十年來致力于同倫論本身的研究及其與低維拓?fù)浜腿罕硎菊摰慕徊嫜芯?，在幾何與拓?fù)溲芯繋缀误w的形狀及其變換的數(shù)學(xué)領(lǐng)域建樹頗多。

辮子群、鏈環(huán)群及其同倫群的組合刻畫，是同倫論中的經(jīng)典難題，也是代數(shù)拓?fù)涞暮诵恼n題。早在20世紀(jì)50年代初，同倫群的研究就涌現(xiàn)出一系列成果。國外科學(xué)家通過建立單純?nèi)鹤鳛榛芈房臻g的組合模型，可以對一個拓?fù)淇臻g的同倫群給出理論性的組合描述；20世紀(jì)90年代，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了三維球面的一般同倫群的具體組合描述，通過單純?nèi)旱姆椒记?，又意外地挖掘出三維球面同倫群與經(jīng)典辮子群的重要聯(lián)系，推動了同倫論與低維拓?fù)涞慕徊嫜芯俊?/p>

吳杰在美國羅切斯特大學(xué)數(shù)學(xué)系研究期間意外發(fā)現(xiàn)，三維球面的一般同倫群同構(gòu)于一個精確給定生成元與關(guān)系組的組合群的中心，這一成果證明了三維球面同倫群同構(gòu)于純辮子群在一個精確的組合群上的作用的不動點(diǎn)，首次建立了辮子群與同倫群的直接聯(lián)系，系統(tǒng)性地建立了Brunnian辮子群與同倫群的一系列令人吃驚的本質(zhì)性關(guān)系。

經(jīng)過不斷深入研究，吳杰在這一方面的成果論文先后發(fā)表于國際頂級期刊，受到國際科學(xué)界的高度評價，并因這一突破獲得了2007年新加坡國家科學(xué)獎。

不止于此，在此基礎(chǔ)上，吳杰通過論證給出了任意維球面一般同倫群的精確組合描述，將三維球面同倫群的組合描述大幅推廣到任意維的球面，解答了同倫論已故領(lǐng)袖之一M.Mahowald于1994提出的同倫論經(jīng)典難題。

通過后續(xù)研究，他與團(tuán)隊(duì)還進(jìn)一步建立了鏈環(huán)群與單純?nèi)旱年P(guān)系，關(guān)于同倫論與低維拓?fù)涞慕徊嫜芯恳矌椭浍@得三維流形Heegaard分解的新的信息。其在同倫群組合刻畫的研究方法不同于傳統(tǒng)方法，越來越多地吸收了來自低維拓?fù)浼叭罕硎菊摰囊恍┓椒ā?/p>

對于數(shù)學(xué)對象的分類性研究，一般將對象進(jìn)行分解，同時探索其不可約或不可分解的性質(zhì)。針對co-H-空間回路自然分解的研究，是吳杰在代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域的又一突破。在同倫論中，大量的關(guān)于同倫群的信息正是通過研究回路空間的分解得到的。

在該研究方向上，吳杰與國外學(xué)者Paul Selick突破了傳統(tǒng)方法對給定空間回路空間的分解，首次對一個空間X的雙角錐的回路空間ΩΣX作為空間到空間的函子進(jìn)行研究，將Ω Σ的自然分解轉(zhuǎn)化為置換群Σn的模Lie(n)的模表示論問題，并由此解決了Cohen猜想，揭示了同倫論與置換群的模表示論之間的本質(zhì)性關(guān)聯(lián)。

在非穩(wěn)定同倫論領(lǐng)域，模2Moore空間的研究是所有Moore空間中最難的一類空間，有別于其他Moore空間，大量的情況到了mod 2 Moore空間的情況屬于未知。在這一領(lǐng)域，吳杰與國外學(xué)者合作，構(gòu)造出無限多個mod 2 Moore空間的同倫群中的指數(shù)為8的元素，并證明了三維球面的高階同倫群是射影平面的雙角錐的同倫群的直和因子。其關(guān)于mod 2 Moore空間的同倫論的系統(tǒng)性研究引入了一些群表示論方法，成功解決了諸多經(jīng)典問題。

吳杰用組合方法研究同倫群的指數(shù)問題，建立了同倫群指數(shù)問題與辮子群的重要聯(lián)系，并首次建立構(gòu)型空間的單純結(jié)構(gòu)，由此建立了同倫論與辮子群的本質(zhì)性聯(lián)系。

近年來，吳杰致力于推動代數(shù)拓?fù)涞膽?yīng)用，在拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析及其在生物應(yīng)用中、超圖同調(diào)等領(lǐng)域中，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新，目前已經(jīng)在相關(guān)領(lǐng)域成功應(yīng)用。在超圖同調(diào)的創(chuàng)新中，對于擁有打分機(jī)制的圖數(shù)據(jù)引入了超持續(xù)同調(diào)概念，給出了同時適用于云數(shù)據(jù)與圖數(shù)據(jù)的統(tǒng)一的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法，未來將適用于“圖的高維拓?fù)渑c幾何結(jié)構(gòu)、復(fù)雜工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)分析、腦科學(xué)數(shù)據(jù)分析、神經(jīng)科學(xué)數(shù)據(jù)分析”等不同領(lǐng)域。

團(tuán)隊(duì)合影

對數(shù)學(xué)天生有種“饑餓感”

早在中學(xué)時期，吳杰就是一個嚴(yán)重偏科的學(xué)生，卻也因此小有名氣，從教育局領(lǐng)導(dǎo)到學(xué)校的老師和同學(xué)，幾乎都知道他有著數(shù)學(xué)上的天賦。

1980年，吳杰考入麗水師專數(shù)學(xué)專業(yè)，盡管只是一個3年制的專科學(xué)校，吳杰卻在那里打開了數(shù)學(xué)研究的大門。

在麗水師專，他開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論，科主任耿如明給了他很大幫助，把自己收藏的菲赫金哥爾茨《微積分學(xué)教程》借給他，吳杰視若珍寶，苦心鉆研。直到畢業(yè)后在中學(xué)教書的三年時間里，他都醉心于數(shù)學(xué)理論體系的學(xué)習(xí)和研究。

1986年，由陳省身先生創(chuàng)辦的南開數(shù)學(xué)所第一次向社會公開招13名研究生，吳杰毅然報(bào)考，他的英語剛好達(dá)到錄取線，但總分卻位列前五名，如愿被南開大學(xué)數(shù)學(xué)所錄取為理學(xué)研究生。

導(dǎo)師周學(xué)光先生是國內(nèi)同倫論的權(quán)威學(xué)者，研究Adams譜序列與同論群，這是同倫論中最難的一個領(lǐng)域。這正中吳杰“下懷”，那時候的他就喜歡鉆研難題，無論是哪個細(xì)分研究方向，總想著要選擇最難的來學(xué)。那個時候的吳杰對數(shù)學(xué)仿佛總有種“饑餓感”，總是覺得“吃不飽”，他本能地吸收著同倫論領(lǐng)域的知識。

周學(xué)光有著老一代學(xué)者的風(fēng)骨情懷，他言傳身教，不僅在學(xué)業(yè)上給予吳杰悉心指導(dǎo)，生活上也對他和同學(xué)們諸多照顧。周學(xué)光的夫人也把他們當(dāng)成自己的孩子一樣關(guān)懷備至，吳杰畢業(yè)后擔(dān)任南開大學(xué)數(shù)學(xué)系教師的一段時間里，他的戶口就先落在了周先生家里。

盡管從未想過出國，但在南開大學(xué)工作3年后，吳杰卻意外地得到了前往美國深造的機(jī)會。原因是，他在數(shù)學(xué)研究中解決了美國羅切斯特大學(xué)Fred Cohen教授在同倫論研究中的一個猜想。Fred Cohen教授迅速向他發(fā)來了offer，希望他到羅切斯特大學(xué)攻讀博士，為此還免掉了他的英語考試，提供全額獎學(xué)金，讓他在美國有基本的生活保障。

那時，羅切斯特大學(xué)是同倫論的“世界中心”，在數(shù)學(xué)系20多名教授中，就有6人是世界一流的拓?fù)鋵W(xué)專家，其中包括從普林斯頓大學(xué)退休之后到羅切斯特大學(xué)任教的拓?fù)鋵W(xué)元老級人物John Moore，非穩(wěn)定同倫論和穩(wěn)定同倫論的明星級拓?fù)鋵W(xué)專家Fred Cohen及Doug Ravenel。

在美國讀博時，吳杰在同倫論領(lǐng)域的研究逐漸精深，博士生導(dǎo)師Fred Cohen同樣給了他很大的幫助。到了第三年時，吳杰幾乎每周都要給Fred Cohen與John Moore兩人匯報(bào)數(shù)學(xué)研究上的進(jìn)展。

那個時候，他在臺上講，兩位明星級專家就在下面聽著，一邊聽，一邊予以指導(dǎo)，這讓他進(jìn)步飛速，幾乎每周都有新的研究進(jìn)展。而在20世紀(jì)90年代之前，美國華人中做同倫論的人很少，在很多同倫論學(xué)術(shù)會議上，吳杰幾乎是唯一的一個華人學(xué)者。

令他備感溫暖的是，盡管國籍不同，甚至年齡相差極大，但每位同倫論的前輩大師都對他非常友好，有的甚至把他當(dāng)成自己家的孩子一樣。

1999年，拿到美國自然科學(xué)基金課題資助的吳杰卻放棄了在美國的研究事業(yè)，接受了拓?fù)鋵W(xué)專家Jon Berrick的邀請，赴新加坡國立大學(xué)從事數(shù)學(xué)研究工作?！八?dāng)時跟我說，新加坡計(jì)劃將新加坡國立大學(xué)建設(shè)為亞洲的哈佛，將南洋理工大學(xué)建設(shè)為亞洲的MIT。這個說法對我有非常大的吸引力，我喜歡去追求挑戰(zhàn)性的目標(biāo)?！?/p>

從麗水專科出發(fā)，逐漸在數(shù)學(xué)界站穩(wěn)腳跟并小有名氣，吳杰感受到了創(chuàng)造精彩和奇跡的成就感。如果能夠?qū)崿F(xiàn)將當(dāng)時教學(xué)型的新加坡國立大學(xué)建設(shè)成為亞洲的哈佛這一目標(biāo)，這將是一個更令他向往的奮斗和創(chuàng)業(yè)的過程。

此后近20 年時間，吳杰見證了新加坡國立大學(xué)逐漸走向世界名校，他和合作者們在Journal of the American Mathematical Society（美國數(shù)學(xué)學(xué)會雜志）的工作也為新加坡國立大學(xué)數(shù)學(xué)系首次沖進(jìn)了數(shù)學(xué)頂級期刊。

2007年，他還與Jon Berrick拿到了新加坡國家科學(xué)獎，這也是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)首次獲得新加坡的最高科學(xué)獎項(xiàng)。獲獎證書上這樣評價他們的工作：For their fundamental work on the deep connections between algebraic topology and the theory of braids（他們建立了代數(shù)拓?fù)渑c辮子群理論深層關(guān)系的基礎(chǔ)性工作）。而這些都是吳杰多年來創(chuàng)新探索的科學(xué)結(jié)晶。

經(jīng)過近20年來在拓?fù)鋵W(xué)上的研究，在同倫論基礎(chǔ)上，吳杰的研究興趣開始延拓，往學(xué)科交叉方向發(fā)展；除了保持同倫論本身的研究，也獲得了與低維拓?fù)?、群表示論、組合群等其他領(lǐng)域交叉的眾多結(jié)果。

推動國內(nèi)代數(shù)拓?fù)鋭?chuàng)新發(fā)展

自1992年出國，2004年拿到新加坡終身職位，長達(dá)28年在國外埋頭做研究的吳杰，卻一直保持著中國公民身份，回國的愿望和念頭事實(shí)上一直縈繞在他的心頭。

2006年以后，隨著國內(nèi)代數(shù)拓?fù)浣绲陌l(fā)展，吳杰與國內(nèi)同行的交流也日益增加，并在國內(nèi)組織過大量的學(xué)術(shù)活動。2011年，吳杰與國內(nèi)大連理工大學(xué)的雷逢春教授聯(lián)合拿下了海外合作基金（杰青B類）前期項(xiàng)目，推動了同倫論與低維拓?fù)涞慕徊嫜芯浚⑷〉昧舜罅砍晒?014年又獲得了海外合作基金的正式項(xiàng)目。

從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)到應(yīng)用，路途遙遠(yuǎn)，要先開展基礎(chǔ)數(shù)學(xué)內(nèi)部的學(xué)科交叉，積累經(jīng)驗(yàn)再逐步向應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)展。為了在拓?fù)鋵W(xué)科上實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)略發(fā)展，吳杰與雷逢春教授聯(lián)合其他代數(shù)拓?fù)浣缤?，進(jìn)行了無數(shù)次的討論，也組織了大量的學(xué)術(shù)活動。一系列的項(xiàng)目，不僅推動著國內(nèi)應(yīng)用拓?fù)漕I(lǐng)域研究不斷深入，也為他自己回到國內(nèi)埋下了伏筆。

在國內(nèi)，有代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)界形成學(xué)科的大學(xué)屈指可數(shù)，河北師范大學(xué)自1950年代創(chuàng)立代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)科以來，一直是該領(lǐng)域的重要研究基地之一。巧合的是，該校拓?fù)鋵W(xué)科的兩位副教授曾經(jīng)到新加坡國立大學(xué)長期訪問，并在吳杰的指導(dǎo)下做課題研究。

既有時代的契機(jī)，也有來自身邊的影響，河北師范大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)科與吳杰建立了深入的學(xué)術(shù)交往和深厚情誼，并于2018年向吳杰發(fā)出了熱忱邀請。2019年，吳杰全職回國，任職河北師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院教授。

代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并不是關(guān)起門來做數(shù)學(xué)游戲的自娛自樂的學(xué)科，在科學(xué)與技術(shù)的應(yīng)用上有著巨大推動作用，無論是愛因斯坦的相對論還是2016年的諾貝爾物理、化學(xué)獎，都與拓?fù)湎⑾⑾嚓P(guān)。拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展甚至已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)的靈魂之一，價值不言而喻。

值得關(guān)注的是，代數(shù)拓?fù)涞难芯恳呀?jīng)在交叉學(xué)科的領(lǐng)域越來越深入，吳杰不僅建立了低維拓?fù)渑c同倫論的基礎(chǔ)性聯(lián)系，可以用辮子群或鏈環(huán)群等幾何群去描述球面同論群，打通兩大領(lǐng)域的管道，還打通了同倫論與模表示論的管道。他認(rèn)為，這一系列研究成果對于我國來說，不僅可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，更可以應(yīng)用于推動科技網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)。

近年來，代數(shù)拓?fù)湓趪H上已經(jīng)走向更加前沿的問題——代數(shù)拓?fù)湓谌斯ぶ悄馨l(fā)展中的應(yīng)用。吳杰說，新興科技領(lǐng)域會需要離散化的數(shù)學(xué)去研究，組合拓?fù)渚褪瞧渲凶钪匾臄?shù)學(xué)工具之一。拓?fù)湓跈C(jī)器人學(xué)中的應(yīng)用，是除了拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析外，應(yīng)用拓?fù)涞牧硪粋€熱點(diǎn)領(lǐng)域，可以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃的拓?fù)鋸?fù)雜度，必將推動人工智能快速迭代發(fā)展。

如今，吳杰在河北師范大學(xué)成立了拓?fù)渑c幾何技術(shù)創(chuàng)新中心，全身心致力于推動國內(nèi)代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域的創(chuàng)新發(fā)展和人才梯隊(duì)的培養(yǎng)。

在人才培養(yǎng)上，他有著自己的一套方式。吳杰認(rèn)為，數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，不能靠喂奶式、填鴨式的教育，本科高年級及以上的學(xué)生要有自己的定理、自己的觀點(diǎn)、自己的例子，學(xué)生要發(fā)現(xiàn)自我、剖析自我、建設(shè)自我，而要迅速培養(yǎng)起一支拓?fù)鋵W(xué)研究的年輕隊(duì)伍，就要讓他們與國際接軌，加強(qiáng)合作與交流。

他正調(diào)度來自復(fù)旦大學(xué)、南開大學(xué)、大連理工大學(xué)、浙江大學(xué)、山東大學(xué)及河北師范大學(xué)等院校的數(shù)十名碩士與博士研究生，在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)、分子生物、腦科學(xué)等領(lǐng)域?qū)＜覀兊墓餐笇?dǎo)下，通過學(xué)科交叉與知識融通的培育方式，開展拓?fù)浞椒ㄔ跀?shù)據(jù)科學(xué)與人工智能領(lǐng)域的應(yīng)用研究。

“通過全國范圍內(nèi)的視角，大家協(xié)調(diào)起來，共同推動拓?fù)涞膽?yīng)用，希望在比較短的時間內(nèi)，國內(nèi)能夠涌現(xiàn)出一批年輕人才?！眳墙苷f。

他正在開展河北省高端人才項(xiàng)目“代數(shù)拓?fù)浼捌湓谇把乜萍嫉膽?yīng)用”，通過這一項(xiàng)目，致力于促進(jìn)代數(shù)拓?fù)涞幕A(chǔ)理論研究，拓展拓?fù)鋵W(xué)在數(shù)據(jù)科學(xué)的應(yīng)用以及加快在技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用的基礎(chǔ)研究，希望能夠建立從基礎(chǔ)理論到未來技術(shù)的研究管道與網(wǎng)絡(luò)，建立一個新型的產(chǎn)學(xué)研創(chuàng)新中心。

“好的數(shù)學(xué)想法，需要好的算法去落實(shí)，好的算法需要好的技術(shù)去落地。每一步都是非常艱難，每一步都要求知識融通、強(qiáng)強(qiáng)合作。”吳杰說，他希望通過推動基礎(chǔ)理論與理論應(yīng)用雙向互動的模式，催化新的理論，推動更前沿的技術(shù)應(yīng)用。