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        在推理中深度理解數(shù)學(xué)模型
        ——“植樹問題”教學(xué)紀(jì)實與反思

        2020-12-13 13:22:08山東省臨沂市蘭山區(qū)教研室臧曉梅
        黑龍江教育(教育與教學(xué)) 2020年12期
        關(guān)鍵詞:植樹問題植樹數(shù)學(xué)模型

        山東省臨沂市蘭山區(qū)教研室 臧曉梅

        教學(xué)內(nèi)容:人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”。

        課前思考:教材通過對現(xiàn)實生活中植樹問題的研究,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)的規(guī)律,進而抽象出這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型。在平時的教學(xué)中,我們常??吹剑趯θN植樹情況(兩端都栽、只栽一端、兩端不栽)進行分析,建立起棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系后教學(xué)就止步了。上課教師之所以這樣處理,有一定的原因:從知識難易上看,植樹問題的難度比較大,在編入教材之前屬于經(jīng)典的奧數(shù)知識,在一節(jié)課上能學(xué)完三種類型已經(jīng)是大容量教學(xué)了;從承載的思想方法上看,化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型、推理等都是要體現(xiàn)的思想,不易做好有機整合?;谏鲜隹紤],筆者重新進行了設(shè)計,力求體現(xiàn)對數(shù)學(xué)模型的有效建構(gòu),在具體的教學(xué)實踐中也取得了很好的教學(xué)效果。

        教學(xué)過程:

        一、情境導(dǎo)入,初步感知三種類型

        1.聯(lián)系實際,理解間隔

        師:(讓前后兩位學(xué)生起立)大家看,這兩位同學(xué)之間產(chǎn)生了一個……

        生:間隔、空。

        師:我們一般說成一個間隔。

        (師依次讓學(xué)生說出這樣站立的4 人、100 人分別有幾個間隔。)

        師:如果產(chǎn)生了這樣的101 個間隔,你知道有多少名學(xué)生嗎?

        生:有102 名學(xué)生。

        2.引出課題,感知三種植樹方式的存在

        師:這節(jié)課,我們要研究和間隔有關(guān)的問題,數(shù)學(xué)上稱為植樹問題。(師板書,出示下圖。)

        師:植樹節(jié)到了,少先隊員在公園內(nèi)通往涼亭的小路一側(cè)義務(wù)植樹,小路全長45 米,每隔5 米栽一棵,由五年級三個班完成,按班級順序每班各栽15 米,請你算一算每班各栽了多少棵?

        【意圖】借助“三個班級各栽了多少棵”這個大問題引出了在直線上植樹的三種類型,讓學(xué)生初步感知到解決植樹問題的現(xiàn)實意義。和單一地呈現(xiàn)一種植樹類型相比,這樣更便于學(xué)生在后續(xù)的探究中進行分析、比較,讓學(xué)生能從整體上理解把握。

        二、主動探究,感悟模型

        1.學(xué)生嘗試解決

        師:三個班各栽了多少棵呢?大家可以想一想、畫一畫。

        (學(xué)生在線段圖上用畫點或畫小樹的方式表示出要栽的棵數(shù),師選擇有代表性的作品投影。)

        師:你能看懂這些方法嗎?

        (學(xué)生對15 米處、30 米處栽的樹歸哪個班產(chǎn)生了爭執(zhí),對45 米處栽不栽有疑問,師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意和圖去理解,統(tǒng)一認識。)

        2.命名三種植樹類型

        師:為了便于我們進一步研究,老師把三個班級的植樹情況單獨列了出來,請看屏幕。

        師:請你觀察,這三幅圖有什么不同?

        生:栽的棵樹不同。

        生:栽的方法不同。

        師:那你能給它們起個名字嗎?

        (根據(jù)學(xué)生發(fā)言,師總結(jié)出兩端都栽、只栽一端、兩端不栽,并在圖上顯示出來。)

        3.猜測棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系

        師:觀察這三種植樹方式,相同點在哪里?

        生:間隔數(shù)都是3,每班都栽了15 米。

        師:(指著圖)3 個間隔 4 棵樹,3 個間隔 3 棵樹,3 個間隔2 棵樹,看來,棵數(shù)和什么有關(guān)?

        生:和間隔數(shù)有關(guān)。

        師:在不同的植樹類型下,棵數(shù)和間隔數(shù)又會有怎樣的關(guān)系呢?我們進一步來研究。

        【意圖】學(xué)生對 15 米、30 米、45 米處的“爭執(zhí)”,是學(xué)生在初步感知后對三種植樹類型的進一步理解。在學(xué)生統(tǒng)一認識后,教師又把三種類型分開呈現(xiàn),讓學(xué)生結(jié)合自己的理解給予命名,并引發(fā)學(xué)生進一步思考:為什么同樣的15米,三個班栽的棵數(shù)卻不一樣呢?不同植樹方式下棵數(shù)和間隔數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢?核心問題就此啟動了起來,學(xué)生的探究由表面轉(zhuǎn)向深入。

        三、對比分析,建立模型

        1.任選一種小組內(nèi)研究

        師:小組內(nèi)任選一種類型解決,看看棵數(shù)和間隔數(shù)到底有怎樣的關(guān)系。(出示合作要求:(1)任選一種類型,解決后也可以想想其他類型如何解決。(2)畫出線段圖并列出算式。)

        2.匯報交流,深化理解

        師:老師先調(diào)查一下,你選擇了哪種植樹情況來解決的?(研究兩端都栽的有2 個小組,只栽一端的有9 個小組,兩端不栽的有1 個小組。)

        師:那就先請研究只栽一端的這個小組前來匯報。

        生1:大家好,我們小組研究的是只栽一端的情況。先用15 米除以5 米得到3 個間隔,要栽3 棵,發(fā)現(xiàn)了間隔數(shù)等于棵數(shù)的關(guān)系,同學(xué)們有什么疑問嗎?

        生2:15 米除以5 米得到的是3 個間隔,怎么是3 棵樹呢?

        師:(匯報學(xué)生剛要解釋,師示意先等等)這個問題問得好啊,明明是3 個間隔嗎?怎么成了3 棵樹呢?(全班學(xué)生思考后指名學(xué)生發(fā)言。)

        師:(對著生1)他們的回答說出了你的意思了嗎?還是你來說說吧!

        生1:這里雖然是3 個間隔,從圖上看也是3 棵數(shù)。(還有部分學(xué)生不明就理。)

        師:給你個建議,如果你能在圖上畫一畫、指一指大家就更明白了。

        (生1 畫出箭頭,并說明了間隔數(shù)和棵數(shù)存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。)

        師:大家明白了嗎?根據(jù)一一對應(yīng),這里的單位“個”可以改成什么了?

        (生 1 把“個”改成“棵”。)

        【意圖】為什么絕大多數(shù)小組都選擇了只栽一端的方式?這并非意外,而是教師意料之中的事情。因為上課的班級是5 年級2 班,學(xué)生對自己班級的認同度比較高,才會做出這種選擇。更重要的是,通過對這種植樹方式的深度探究,積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,為學(xué)生用這個發(fā)現(xiàn)由此及彼、推理出其他方式做了鋪墊。

        把3 個間隔改成3 棵樹的過程是學(xué)生由表面理解深入到知識本質(zhì)的過程。在部分學(xué)生對生1 的發(fā)言提出質(zhì)疑后,教師制止了生1 的回答,這樣就把問題拋給了全體學(xué)生,給了全體學(xué)生思考的機會。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“一一對應(yīng)”的思想,生動地建立起3 個間隔和3 棵樹的關(guān)系,有效地生成了數(shù)學(xué)知識。

        四、溝通推理,深化模型

        1.用只栽一端推理出其他類型

        師:同學(xué)們大多數(shù)都研究了只栽一端的情況,結(jié)合你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,你能不能推理出另外兩種情況?

        生:只栽一端時,棵數(shù)等于間隔數(shù),兩端都栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再加一棵,所以棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

        生:兩端不栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再減一棵,所以兩端不栽時,棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

        師:大家同意嗎?(同意)這兩位同學(xué)發(fā)言好在哪?

        生:根據(jù)一種情況就推出了另兩種情況。

        生:沒用線段圖也解決了問題。

        生:只要知道間隔數(shù)是幾,就能推理出所有情況。

        師:推理確實是好方法,它不僅能讓我們脫離具體的直觀圖來解決問題,還讓我們了解了這三種植樹類型的聯(lián)系,掌聲送給這些同學(xué)。

        2.分析三種類型,概括數(shù)學(xué)本質(zhì)

        師:大家再觀察這三種類型,它們有什么相同點嗎?

        生:都是先算出間隔數(shù)。

        生:都用到了除法算出間隔數(shù)。

        師:(圈出三種類型中的除法算式)是的,都是先計算15÷5=3(個),那你覺得植樹問題就是哪一類計算?

        生:用除法解決的一類問題。

        師:都是先算出間隔數(shù),再用一一對應(yīng)的方法確定棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。植樹問題并不神秘,它就是用除法解決的一類問題。

        【意圖】重點理解只栽一端的作用就是讓學(xué)生用它來推理,通過推理溝通三種植樹類型的聯(lián)系,實現(xiàn)對植樹問題的整體感悟,并最終抽象出植樹問題的本質(zhì)——研究棵數(shù)與間隔數(shù)之間數(shù)量關(guān)系的除法計算。當(dāng)然,用任何一種植樹類型都可推理出另外類型,選用只栽一端做為基本模型,是因為在這種類型下棵數(shù)恰好等于間隔數(shù),而且和另外兩種類型存在著間隔數(shù)加一、間隔數(shù)減一的簡單關(guān)系,便于學(xué)生理解掌握。

        五、回歸生活,運用模型

        1.解決生活中的實際問題(略)

        2.引發(fā)思考,將探究拓展到課外

        師:這節(jié)課我們研究的是在直直小路上的植樹問題,還會有什么樣的植樹問題?(曲線)假如在60 米長的圓形花壇四周植樹,也是每隔5 米栽一樣,能栽幾棵呢?留給大家課后解決。

        【意圖】解決曲線上的植樹問題需要將曲線問題轉(zhuǎn)化成直線問題,這道題不僅要求學(xué)生靈活地運用本課所學(xué)知識,還將學(xué)生的探究由課內(nèi)引向了課外。

        反思:

        模型思想是數(shù)學(xué)三大基本思想之一,又位列十大核心概念之中,其在教學(xué)中的重要性不言而喻。植樹問題不僅蘊含著典型的模型思想,更有一一對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等思想,有效地整合這些思想方法,更好地凸顯模型思想才是教學(xué)的出發(fā)點和歸宿。模型思想的建立不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷模型的建立過程,更要實現(xiàn)對模型的深度理解和本質(zhì)把握。

        1.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是一個生動深刻的過程

        學(xué)生對模型思想的感悟需要學(xué)生經(jīng)歷建模的過程,這就要先從現(xiàn)實世界中找到原型,逐漸剝離現(xiàn)實問題中的非數(shù)學(xué)本質(zhì),最終抽象出數(shù)學(xué)模型。本課由“三個班各栽了多少棵”這一現(xiàn)實情境引發(fā)思考,讓學(xué)生初步感知到植樹類型的存在和不同,學(xué)生用畫線段圖的方式把現(xiàn)實中的“樹”和“間隔”抽象成了“點”和“段”。再用一一對應(yīng)等思想方法得出了簡潔的數(shù)學(xué)關(guān)系式,初步建立了數(shù)學(xué)模型。但教學(xué)并未就此止步,而是進一步讓學(xué)生對比、分析三種關(guān)系式,由此及彼,實現(xiàn)了三種關(guān)系的有效溝通,深化了學(xué)生的理解,并最終抽象出植樹問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)模型的深度理解。

        2.數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是簡潔的、便于理解運用的

        植樹問題的數(shù)學(xué)模型不是留在黑板上的學(xué)生總是混淆的三個關(guān)系式,更不是把這三個關(guān)系式又變式成更多的公式,這不僅不利于學(xué)生理解,更會增加學(xué)習(xí)的難度,無助于模型思想的建立。對學(xué)生來說,這個模型應(yīng)該是理解起來簡單,運用起來方便的。在本課中,絕大多數(shù)小組選擇“只栽一端”并非偶然,而是教師的“有意為之”,學(xué)生用“只栽一端”這個基本模型就能推理出另外兩種情況,這不僅不會弱化模型思想的感悟,反而能更加凸顯出這個基本模型的優(yōu)勢一一用除法算出間隔數(shù),棵數(shù)就等于間隔數(shù),再用間隔數(shù)加1、減1 就算出了另外兩種植樹情況。學(xué)生只需要用除法算出間隔數(shù),再根據(jù)實際情況就可推理解決所有類型的植樹問題。

        可見,給學(xué)生一個清晰的數(shù)學(xué)模型不僅是能否建立起模型思想的關(guān)鍵,更應(yīng)是教學(xué)的不懈追求。

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