王 雁

(四川信息職業(yè)技術學院， 四川廣元 637000)

比色法是目前常用的一種檢測物質(zhì)濃度的方法， 即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙上， 等其充分反應以后獲得一張有顏色的試紙， 再把該顏色試紙與一個標準比色卡進行對比， 就可以確定待測物質(zhì)的濃度了. 由于每個人對顏色的視覺差異和觀測誤差， 使得這一方法在精度上受到很大影響. 隨著照相技術和顏色分辨率的提高， 希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關系， 即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測物質(zhì)的濃度. 本文以溴酸鉀為例， 確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關系， 并建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學模型.

1 問題分析和模型假設

由于比色法存在主觀上的視覺差異， 導致每一種物質(zhì)在同濃度下， 有一組或多組的顏色讀數(shù). 為了準確預測顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度間的關系， 對同濃度下所測得的讀數(shù)取均值， 用均值進行數(shù)據(jù)分析和模型建立.

首先討論B、 R、 G、 H、 S這五種色卡顏色的讀數(shù)與物質(zhì)濃度間是否存在相關性， 剔除其中相關性較弱的色卡， 選擇相關系數(shù)大的色卡進行建模. 其次， 由于觀察可知數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的遞增趨勢， 所以考慮建立一元線性回歸模型. 但是建模數(shù)據(jù)較少， 考慮建立灰色模型.

2 模型選擇和建立

實驗數(shù)據(jù)來自2017年全國大學生數(shù)學建模比賽C題附件1(表1).

表1 同濃度的溴酸鉀在比色卡上的讀數(shù)

2.1 顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度相關性分析

圖1說明溴酸鉀在不同濃度下， 五種顯色卡讀數(shù)的變化情況.

圖1 色卡隨濃度變化情況

從折線圖可以看出， 色卡S隨著濃度逐漸增大而讀數(shù)也增大， 而色卡B、 G隨著濃度逐漸增大而讀數(shù)減小， H、 R色卡變化并不明顯. 為了增強觀察的可靠性， 進一步做相關性檢驗.

由表2可知， 除R色卡讀數(shù)不能確定物質(zhì)濃度之外， 其余色卡讀數(shù)均可確定物質(zhì)濃度， 選取相關系數(shù)較大的前三列B、 G、 S色卡作為建模數(shù)據(jù).

表2 濃度與色卡讀數(shù)的相關性分析

2.2 顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度的模型建立

2.2.1 一元線性回歸模型

經(jīng)過以上初步分析， 物質(zhì)濃度與顏色讀數(shù)存在線性關系， 因此考慮做一元線性回歸.

B色卡：Y=97.418-0.857X，R2=0.915

計算誤差可得表3結果.

表3 B色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

G色卡：

Y=1385.395-9.882X，R2=0.761

計算誤差可得表4結果.

表4 G色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

S色卡：

Y=-26.131+0.487X,R2=0.908

計算誤差可得表5結果.

表5 S色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

由上述分析可知B、 S色卡擬合效果較好， 相關系數(shù)的平方和均達到了0.9以上. 其中B、 G、 S三種色卡所建立的模型標準誤差中， B色卡模型13.3361

2.2.2 灰色線性回歸模型

灰色線性回歸模型彌補了原線性回歸模型不能描述指數(shù)增長趨勢和GM(1,1)模型不能描述變量間的線性關系的不足， 因此該組合模型更適用于既有線性趨勢又有指數(shù)增長趨勢的序列.

事實上， 若有序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2), …,x(0)(n)) ，X(0)的一次累加序列為

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2), …,x(1)(n))， 則稱

為灰色線性回歸組合模型. 針對B、 G、 H建立灰色線性回歸模型.

B色卡：

表6 B色卡灰色線性回歸模型與原始值間的殘差

G色卡：

表7 G色卡灰色線性回歸模型與原始值間的誤差

圖3 G色卡濃度變化情況

S色卡：

表8 S色卡灰色線性回歸模型與原始值間的殘差

圖4 S色卡濃度變化情況

通過對B、 G、 S色卡建立灰色線性回歸模型， 由圖2， 3， 4可直觀地看到， 預測值和原始值擬合效果非常好. 再由誤差分析可以得出， 利用灰色線性回歸建立的模型， 其殘差遠遠小于一元線性回歸模型. 其中B、 G、 S三種色卡所建立的模型標準誤差中， G色卡模型0.2511< B色卡模型1.4032

圖2 B色卡濃度變化情況

3 結 論

本文先對數(shù)據(jù)進行了相關性分析， 發(fā)現(xiàn)并不是所有的比色卡讀數(shù)都和濃度有相關關系， 特別是R色卡， 在不同濃度下沒有明顯差異， 基于此選擇相關性較大的三種比色卡進行建模分析. 首先嘗試建立了一元線性回歸模型， 在殘差分析中， 此模型精度差， 擬合效果不好. 而數(shù)據(jù)既有線性趨勢又有指數(shù)增長趨勢， 因此考慮建立灰色線性回歸模型來優(yōu)化擬合效果， 通過建立灰色線性回歸模型， 發(fā)現(xiàn)擬合效果優(yōu)于一元線性回歸模型.