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        顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度模型的新思考

        2020-12-11 02:40:44
        關(guān)鍵詞:色卡讀數(shù)殘差

        王 雁

        (四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 四川廣元 637000)

        比色法是目前常用的一種檢測(cè)物質(zhì)濃度的方法, 即把待測(cè)物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙上, 等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙, 再把該顏色試紙與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比色卡進(jìn)行對(duì)比, 就可以確定待測(cè)物質(zhì)的濃度了. 由于每個(gè)人對(duì)顏色的視覺(jué)差異和觀測(cè)誤差, 使得這一方法在精度上受到很大影響. 隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高, 希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系, 即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測(cè)物質(zhì)的濃度. 本文以溴酸鉀為例, 確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系, 并建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型.

        1 問(wèn)題分析和模型假設(shè)

        由于比色法存在主觀上的視覺(jué)差異, 導(dǎo)致每一種物質(zhì)在同濃度下, 有一組或多組的顏色讀數(shù). 為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度間的關(guān)系, 對(duì)同濃度下所測(cè)得的讀數(shù)取均值, 用均值進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和模型建立.

        首先討論B、 R、 G、 H、 S這五種色卡顏色的讀數(shù)與物質(zhì)濃度間是否存在相關(guān)性, 剔除其中相關(guān)性較弱的色卡, 選擇相關(guān)系數(shù)大的色卡進(jìn)行建模. 其次, 由于觀察可知數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的遞增趨勢(shì), 所以考慮建立一元線性回歸模型. 但是建模數(shù)據(jù)較少, 考慮建立灰色模型.

        2 模型選擇和建立

        實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自2017年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽C題附件1(表1).

        表1 同濃度的溴酸鉀在比色卡上的讀數(shù)

        2.1 顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度相關(guān)性分析

        圖1說(shuō)明溴酸鉀在不同濃度下, 五種顯色卡讀數(shù)的變化情況.

        圖1 色卡隨濃度變化情況

        從折線圖可以看出, 色卡S隨著濃度逐漸增大而讀數(shù)也增大, 而色卡B、 G隨著濃度逐漸增大而讀數(shù)減小, H、 R色卡變化并不明顯. 為了增強(qiáng)觀察的可靠性, 進(jìn)一步做相關(guān)性檢驗(yàn).

        由表2可知, 除R色卡讀數(shù)不能確定物質(zhì)濃度之外, 其余色卡讀數(shù)均可確定物質(zhì)濃度, 選取相關(guān)系數(shù)較大的前三列B、 G、 S色卡作為建模數(shù)據(jù).

        表2 濃度與色卡讀數(shù)的相關(guān)性分析

        2.2 顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度的模型建立

        2.2.1 一元線性回歸模型

        經(jīng)過(guò)以上初步分析, 物質(zhì)濃度與顏色讀數(shù)存在線性關(guān)系, 因此考慮做一元線性回歸.

        B色卡:Y=97.418-0.857X,R2=0.915

        計(jì)算誤差可得表3結(jié)果.

        表3 B色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

        G色卡:

        Y=1385.395-9.882X,R2=0.761

        計(jì)算誤差可得表4結(jié)果.

        表4 G色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

        S色卡:

        Y=-26.131+0.487X,R2=0.908

        計(jì)算誤差可得表5結(jié)果.

        表5 S色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

        由上述分析可知B、 S色卡擬合效果較好, 相關(guān)系數(shù)的平方和均達(dá)到了0.9以上. 其中B、 G、 S三種色卡所建立的模型標(biāo)準(zhǔn)誤差中, B色卡模型13.3361

        2.2.2 灰色線性回歸模型

        灰色線性回歸模型彌補(bǔ)了原線性回歸模型不能描述指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)和GM(1,1)模型不能描述變量間的線性關(guān)系的不足, 因此該組合模型更適用于既有線性趨勢(shì)又有指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)的序列.

        事實(shí)上, 若有序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2), …,x(0)(n)) ,X(0)的一次累加序列為

        X(1)=(x(1)(1),x(1)(2), …,x(1)(n)), 則稱

        為灰色線性回歸組合模型. 針對(duì)B、 G、 H建立灰色線性回歸模型.

        B色卡:

        表6 B色卡灰色線性回歸模型與原始值間的殘差

        G色卡:

        表7 G色卡灰色線性回歸模型與原始值間的誤差

        圖3 G色卡濃度變化情況

        S色卡:

        表8 S色卡灰色線性回歸模型與原始值間的殘差

        圖4 S色卡濃度變化情況

        通過(guò)對(duì)B、 G、 S色卡建立灰色線性回歸模型, 由圖2, 3, 4可直觀地看到, 預(yù)測(cè)值和原始值擬合效果非常好. 再由誤差分析可以得出, 利用灰色線性回歸建立的模型, 其殘差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一元線性回歸模型. 其中B、 G、 S三種色卡所建立的模型標(biāo)準(zhǔn)誤差中, G色卡模型0.2511< B色卡模型1.4032

        圖2 B色卡濃度變化情況

        3 結(jié) 論

        本文先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了相關(guān)性分析, 發(fā)現(xiàn)并不是所有的比色卡讀數(shù)都和濃度有相關(guān)關(guān)系, 特別是R色卡, 在不同濃度下沒(méi)有明顯差異, 基于此選擇相關(guān)性較大的三種比色卡進(jìn)行建模分析. 首先嘗試建立了一元線性回歸模型, 在殘差分析中, 此模型精度差, 擬合效果不好. 而數(shù)據(jù)既有線性趨勢(shì)又有指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì), 因此考慮建立灰色線性回歸模型來(lái)優(yōu)化擬合效果, 通過(guò)建立灰色線性回歸模型, 發(fā)現(xiàn)擬合效果優(yōu)于一元線性回歸模型.

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