李崇洋，吳紫澗+，甘 屹，楊麗紅，曹衍龍，楊將新

(1.上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

0 引言

切削因加工過程十分復(fù)雜且受眾多因素影響而具有不確定性，切削用量數(shù)值選擇是否合理，極大地影響著加工的生產(chǎn)成本、工件質(zhì)量、生產(chǎn)效率和加工的功耗等多項生產(chǎn)指標(biāo)。生產(chǎn)中通過查閱切削用量手冊或憑借經(jīng)驗、必要時通過試切來選擇切削用量[1]，用這種傳統(tǒng)方法選擇的切削用量一般是實用可行的，但是這種方法具有一定的主觀性和隨機(jī)性，導(dǎo)致所選結(jié)果不為最佳，因此需要探索一種合理有效的方法來優(yōu)化切削用量。

對于切削用量的優(yōu)化問題，國內(nèi)外已有多位學(xué)者進(jìn)行了大量研究，李建廣等[2]以加工工時最小和加工成本最低為優(yōu)化目標(biāo)，建立了基于遺傳算法的車削用量優(yōu)化系統(tǒng)框架結(jié)構(gòu)，研究了車削用量優(yōu)化問題；周志恒等[3]建立了數(shù)控車削的能耗功率和加工效率數(shù)學(xué)模型，以加工過程中能量消耗最低和加工效率最高為目標(biāo)，設(shè)計了一種基于多目標(biāo)教與學(xué)的優(yōu)化算法求解能耗效率優(yōu)化模型，客觀地得到優(yōu)化后的車削用量，并通過實例驗證了所提算法的有效性；李聰波等[4]考慮加工過程對環(huán)境的影響，以碳排放量最低和效率最高為優(yōu)化目標(biāo)，通過對各目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)將多目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化模型，并利用復(fù)合形法求解優(yōu)化模型，對車削用量的優(yōu)化問題進(jìn)行了研究；謝書童等[5]提出采用車削次數(shù)枚舉方法和分布估計方法相結(jié)合的優(yōu)化算法，利用懲罰函數(shù)法，以最小化加工成本為優(yōu)化目標(biāo)，研究了數(shù)控車削中車削用量的優(yōu)化方法，并通過計算機(jī)模擬驗證了算法的高效性；鄭丞等[6]考慮實際裝配過程中產(chǎn)品的公差分配問題，以產(chǎn)品的質(zhì)量和成本為優(yōu)化目標(biāo)，采用非合作博弈的方法進(jìn)行公差分配優(yōu)化，解決了不同公差分配方案下產(chǎn)品質(zhì)量與成本設(shè)計相互沖突的問題，保證了質(zhì)量與成本兩方面綜合收益的最大化；陳加明等[7]將多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計與合作競爭博弈理論相結(jié)合，提出一種多目標(biāo)優(yōu)化方法，并將該方法應(yīng)用于減速器的優(yōu)化設(shè)計，驗證了方法的可行性與有效性；Yan等[8]利用曲面響應(yīng)法和灰色關(guān)聯(lián)法，以能耗最低、效率最高和質(zhì)量最好為目標(biāo)對銑削用量進(jìn)行了尋優(yōu)；Saravanan等[9]將模擬退火算法和遺傳算法相結(jié)合，以生產(chǎn)成本最小化為目標(biāo)，研究了車削中的車削用量優(yōu)化問題；Srinivas等[10]提出一種慣性系數(shù)隨迭代線性遞減的粒子群算法來選擇多走刀加工中的最佳車削用量；Li 等[11]在考慮機(jī)械加工對環(huán)境影響的同時，從降低能耗的角度出發(fā)研究了銑削用量的優(yōu)化選擇問題；Zhou等[12]在加工過程中考慮碳排放、切削時間和切削成本等生產(chǎn)指標(biāo)，建立了基于加工過程的多目標(biāo)切削參數(shù)優(yōu)化模型，并設(shè)計一種非合作博弈理論集成第二代非支配排序遺傳算法(Non-cooperative Game integrate Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ， NG-NSGA-Ⅱ)來求解模型，最終得到加工所需的最優(yōu)車削用量?？梢姡邢饔昧康膬?yōu)化研究已經(jīng)成為眾多國內(nèi)外學(xué)者們關(guān)注的熱點。上述研究成果基本以質(zhì)量、利潤、效率、成本、能耗等為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，或通過構(gòu)造加權(quán)評價函數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。然而，如果只考慮單目標(biāo)優(yōu)化，則不能適應(yīng)實際加工中多項生產(chǎn)指標(biāo)相互矛盾和沖突的情況；如果通過經(jīng)驗賦權(quán)和構(gòu)造評價函數(shù)來表征多個優(yōu)化目標(biāo)間的相互耦合關(guān)系，則可能使設(shè)計方案帶有某種主觀性和不穩(wěn)定性。因此，本文采用可客觀處理帶有沖突因素問題的博弈決策分析方法進(jìn)行車削用量的優(yōu)化研究。

博弈論(game theory)也稱對策論，由馮·諾依曼和奧斯卡·摩根斯坦恩兩位大師提出，上世紀(jì)50年代博弈論得到飛速發(fā)展，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家約翰·福布斯·納什采用不動點定理證明了均衡點的存在，從而將博弈論一般化。博弈論是一種數(shù)學(xué)方法，是處理各類帶有沖突因素問題的決策理論，主要用于分析相互競爭的個體之間的行為。多目標(biāo)優(yōu)化問題中，各優(yōu)化目標(biāo)之間互相矛盾、相互沖突，通過各種方法尋找的優(yōu)化解難以滿足各個目標(biāo)的需求，研究多目標(biāo)優(yōu)化問題的意義在于尋求一個或多個解，使得決策者能夠接受所有目標(biāo)值，而博弈論主要是分析面向沖突和矛盾環(huán)境下相互競爭的個體之間的行為，研究它們之間的優(yōu)化策略，因此多目標(biāo)優(yōu)化問題的本質(zhì)與博弈決策問題很相似。切削加工中各項生產(chǎn)指標(biāo)之間往往相互沖突和矛盾，通過分析它們之間的沖突關(guān)系發(fā)現(xiàn)切削用量的優(yōu)化選擇問題可完全視為多目標(biāo)沖突情況下的博弈決策問題?；诓┺恼撜{(diào)和沖突與矛盾的內(nèi)在本質(zhì)，以及工程中廣泛存在的多目標(biāo)優(yōu)化問題的相似性，本文采用非合作博弈理論，面向車削用量選擇中生產(chǎn)效率最高和加工功率損耗最低兩個優(yōu)化目標(biāo)沖突問題，提出一種基于非合作博弈模型的車削用量優(yōu)化選擇方法。該方法以生產(chǎn)效率和加工功耗為博弈決策方，以設(shè)計變量集合為博弈雙方的策略空間，以生產(chǎn)效率和加工功耗多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為博弈雙方的收益函數(shù)，建立車削用量優(yōu)化選擇非合作博弈決策模型。最后通過設(shè)計相應(yīng)的算法對模型算例進(jìn)行了求解。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題與博弈理論

博弈論是研究沖突環(huán)境下的決策理論，作為數(shù)學(xué)的一個分支，博弈理論被廣泛應(yīng)用于軍事學(xué)、政治學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，近年來在機(jī)構(gòu)設(shè)計[13]、水利水運[14]、系統(tǒng)分析[15]、智能電網(wǎng)[16]等工程領(lǐng)域中的應(yīng)用也越來越普遍。博弈論在不同具體問題的應(yīng)用具上有相似性，其應(yīng)用研究基本遵循從建模、分析到求解的過程。博弈論方法的每一個目標(biāo)的權(quán)重都相同，不需要對目標(biāo)進(jìn)行人為賦權(quán)，也不用構(gòu)造特定的評價函數(shù)，因此對問題的處理更加客觀。在博弈過程中，博弈的Nash均衡點由各組成環(huán)節(jié)的均衡法則通過自然引導(dǎo)各博弈方進(jìn)行競爭與合作得到，這種均衡具有穩(wěn)定性和自我強制性[17]。非合作博弈是一種重要的博弈類型，近年來采用非合作博弈方法優(yōu)化各類工程問題已成為研究熱點。

1.1 非合作博弈理論

非合作博弈理論中有兩個非常重要的概念，即非合作博弈決策模型和純策略Nash均衡。

(1)非合作博弈決策模型 博弈過程中各博弈參與者之間沒有具有約束力的協(xié)議，在相互制約、相互作用的關(guān)系下，每個參與者都自私地希望最大化自身收益，這種博弈稱為非合作博弈。非合作博弈決策模型由最基本的三要素構(gòu)成，即博弈決策者Ni(指各博弈方，又稱博弈參與者或局中人)、隸屬于各博弈方Ni的策略集Si和相應(yīng)的收益函數(shù)ui(又稱支付函數(shù))；在一個博弈中，如果每個博弈的參與者選定自己的策略si，則所有參與者各自選定的策略構(gòu)成一個策略組合s={s1,s2,…，sm}，在該策略組合下，每個博弈方的收益ui(s)都是策略組合的函數(shù)，一般用-i表示除了某特定的博弈決策方i以外其余的博弈決策方。博弈過程中，每個參與者選擇的策略在一定程度上都會依賴于其他參與者選擇的策略。非合作博弈決策模型可表示為G={Ni;Si;ui(i=1,2,…，m)}。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化問題的博弈模型

十九世紀(jì)末法國數(shù)學(xué)家V.Pareto首次從數(shù)學(xué)角度提出多目標(biāo)最優(yōu)決策問題，時至今日多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究在國內(nèi)外已經(jīng)相當(dāng)多。多目標(biāo)優(yōu)化問題在工程應(yīng)用等領(lǐng)域廣泛存在，可描述為：由設(shè)計變量參數(shù)集合X、目標(biāo)函數(shù)F(X)和約束條件H(X)組成的優(yōu)化問題，其中設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)與約束條件之間是函數(shù)關(guān)系。

多目標(biāo)優(yōu)化問題與博弈決策問題在本質(zhì)上具有相似性，若用現(xiàn)有方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，則會使求解結(jié)果缺乏客觀性并具有不穩(wěn)定性，但可以將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為博弈決策問題進(jìn)行分析來避免上述缺陷問題。為了將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為博弈決策問題，需要將多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為非合作博弈決策模型。因此，將待優(yōu)化的設(shè)計目標(biāo)映射為博弈中的決策者，將設(shè)計變量集合X視為所有博弈方的策略空間S,設(shè)計變量的可行域視為策略組合的可行空間，將相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)視為各博弈方的收益函數(shù)，約束條件作為博弈優(yōu)化模型中的約束條件，從而得到一種由博弈決策者、收益函數(shù)和策略空間構(gòu)成的非合作博弈決策模型。例如兩目標(biāo)博弈的兩方博弈模型可表示為G={Ni;Si;ui(i=1,2)}。

在博弈決策模型中，因為博弈的策略對于各博弈方來說是獨立的，而多目標(biāo)優(yōu)化問題的設(shè)計變量對于每個目標(biāo)函數(shù)來說是共有的，所以需要采用一定的數(shù)學(xué)手段將設(shè)計變量集合X劃分為隸屬于各博弈方所擁有的策略集S1,S2,…，Sm，即X={S1,S2,…，Sm}，且滿足S=S1∪S2∪…∪Sm=X,Sa∩Sb=0(a,b=1,2,…,m,a≠b)[11]。模糊聚類分析是一種常見的聚類方法，其因自然、直觀、結(jié)論形式簡明等特點而被廣泛應(yīng)用于機(jī)械工程、人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域，本文采用模糊聚類分析方法對設(shè)計變量進(jìn)行歸屬分類。

2 車削用量優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化設(shè)計變量

在車削加工過程中，當(dāng)工件、刀具、機(jī)床參數(shù)都確定后，切削速度vc、進(jìn)給量f和背吃刀量ap三要素便成為影響生產(chǎn)效率和加工功耗等生產(chǎn)指標(biāo)的主要因素，可通過改變vc，f，ap達(dá)到優(yōu)化車削加工的目的，因此這三要素是主要的優(yōu)化變量。實際加工過程中背吃刀量ap往往受到加工余量的限制，為了減少走刀次數(shù)應(yīng)盡可能一次切除全部加工余量，即假定優(yōu)化模型是一個單走刀模型，優(yōu)化時通常將切削速度vc和進(jìn)給量f作為設(shè)計變量，而將背吃刀量ap作為常量。然而，車削加工一般需要多次走刀，因此為了使切削加工的優(yōu)化更加準(zhǔn)確實用，本文以vc，f，ap作為優(yōu)化設(shè)計變量，故設(shè)計變量的矢量為X=[vc,f,ap]T。

2.2 生產(chǎn)效率時間目標(biāo)函數(shù)

生產(chǎn)效率通過加工工時體現(xiàn)，最短加工時間與最高生產(chǎn)效率一致[19]。一個工件的加工工時由實際切削時間、工序輔助時間和換刀時間3部分組成，加工時間的數(shù)學(xué)模型可表示為[3,20]

(1)

式中：tw為總的加工時間；tm為實際切削時間；tct為一次換刀所消耗的時間；T為刀具壽命，可以通過查表獲取；t0為除換刀時間外的其他工序輔助時間。以上時間變量的單位均為min。

對于車削加工，設(shè)工件被車削部分的長度為l(單位：mm)，主軸轉(zhuǎn)速為n(單位：r/min)，工件直徑為d(單位：mm)，切削速度為vc(單位：m/min)，進(jìn)給量為f(單位：mm/r)，背吃刀量為ap(單位：mm)，半徑方向加工余量為Δ(單位：mm)，則有

(2)

按照最大的生產(chǎn)效率目標(biāo)，根據(jù)式(2)，目標(biāo)函數(shù)為

g1(vc,f,ap)=mintw

(3)

2.3 加工功率消耗目標(biāo)函數(shù)

劉飛等[21]的研究表明,當(dāng)機(jī)床系統(tǒng)處于切削狀態(tài)時會產(chǎn)生附加載荷損耗功率Pa，此時機(jī)床的總功率損耗Pi主要由空載功率損耗Pu、切削功率損耗Pc和附加載荷功率損耗Pa3部分組成[22-25]。則加工功率消耗的數(shù)學(xué)模型可表示為[3-4]

Pi=Pu+Pc+Pa。

(4)

在實際加工過程中，機(jī)床的空載功率對機(jī)床的功率損耗有很大影響，劉飛等[21]指出，機(jī)床的空載功率Pu與主軸轉(zhuǎn)速n之間近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，表示為

Pu=PU0+k1n+k2n2。

(5)

式中：PU0為機(jī)床的最低空載功率；k1，k2為機(jī)床的主軸轉(zhuǎn)速系數(shù)。PU0，k1，k2的選取方法可參閱文獻(xiàn)[26]。

切削功率Pc指主運動消耗的功率(單位：kW),表示為[1]

(6)

式中：Fc為切削力；CFc，KFc，xFc，yFc，nFc為與加工條件和工件材料相關(guān)的系數(shù)，可通過查找切削用量簡明手冊獲取[27]。

一般很難通過理論計算準(zhǔn)確得到附加載荷損耗功率Pa的數(shù)學(xué)模型，劉飛等[21]指出Pa與Pc的近似呈線性關(guān)系為

Pa=?Pc。

(7)

在實際工程應(yīng)用中，系數(shù)α的取值范圍一般為0.15～0.25，通常取0.2。

綜上所述，結(jié)合式(4)～式(7)，整理可得加工功耗的數(shù)學(xué)模型為

(8)

按照最少加工功耗的目標(biāo)，根據(jù)式(8)，目標(biāo)函數(shù)為

g2(vc,f,ap)=minPi。

(9)

2.4 約束條件

通常切削用量的選擇主要受機(jī)床設(shè)備的性能、切削用量自身范圍和加工質(zhì)量等限制，因此切削用量的優(yōu)化也必須滿足以上約束條件。

(1)切削速度的約束

因為切削速度和主軸轉(zhuǎn)速可以相互轉(zhuǎn)換，所以切削速度約束即為主軸轉(zhuǎn)速約束，切削速度的取值需滿足主軸轉(zhuǎn)速約束，并在最低切削速度和最高切削速度之間選擇，即

(10)

(2)機(jī)床進(jìn)給量的約束

主軸轉(zhuǎn)速和進(jìn)給量共同決定進(jìn)給速度，進(jìn)給量的確定也必須限定在最小進(jìn)給量fmin和最大進(jìn)給量fmax之間，即

fmin≤f≤fmax。

(11)

(3)背吃刀量的約束

背吃刀量的選取與機(jī)床允許的最大切削力、刀具和工件的材料及加工工藝等都有關(guān)。粗加工時，選擇相對較大的背吃刀量；精加工時，因?qū)ぜ|(zhì)量有較高要求，往往選擇較小的背吃刀量，故背吃刀量的選擇也應(yīng)約束在合適的范圍內(nèi)取值，即

apmin≤ap≤apmax。

(12)

(4)切削力的約束

實際加工時需要對各切削分力進(jìn)行約束，其中進(jìn)給力不能大于機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)所允許的最大進(jìn)給力。對于車削加工，需要對其切削力進(jìn)行約束，約束表示為

(13)

式中：Fmax為最大切削力(單位:N)；CFf，KFf，xFf，yFf，nFf為與加工條件和工件材料相關(guān)的系數(shù)。

(5)切削功率的約束

切削功率必須小于機(jī)床系統(tǒng)提供的最大有效切削功率。因此切削功率約束可表示為

Pc≤ηPcmax。

(14)

式中：η為機(jī)床傳動效率，一般η=0.75～0.9；Pcmax為機(jī)床的最大有效切削功率。

(6)加工質(zhì)量的約束

工件的加工質(zhì)量通常用工件已加工表面的表面粗糙度Ra體現(xiàn)。切削用量的選擇是否合理直接影響工件的表面粗糙度，因此需要在滿足表面粗糙度約束的情況下對切削用量進(jìn)行優(yōu)化，其約束表示為

(15)

式中：rε為刀具刀尖圓弧半徑；Ramax為零件的最大表面粗糙度。

綜上所述，面向效率和功耗的切削參數(shù)優(yōu)化是個典型的約束優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型如下：

minF(vc,f,ap)=(mintw,minPi)。

s.t.

fmin≤f≤fmax；apmin≤ap≤apmax；

(16)

Pc≤ηPcmax；

3 車削用量的優(yōu)化選擇非合作博弈決策方法

3.1 基于模糊聚類方法的車削用量博弈策略選擇模型

建立面向效率和功耗的非合作博弈車削用量優(yōu)化選擇模型的關(guān)鍵在于確定各博弈決策方、確定各博弈方的策略歸屬和構(gòu)造各博弈方的收益函數(shù)。

針對車削用量的多目標(biāo)優(yōu)化問題，由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的本質(zhì)與博弈決策問題具有相似性，可將面向效率與功耗的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為博弈決策模型。車削用量選擇問題中的生產(chǎn)效率和加工功率損耗兩個設(shè)計目標(biāo)分別表示兩個博弈決策方N1和N2；設(shè)計變量集合X=[vc,f,ap]T映射為兩博弈方的策略集組合，設(shè)計變量的可行域視為策略集的可行空間，利用模糊聚類分析方法將設(shè)計變量集合X劃分為隸屬于各博弈方的策略集S1和S2；生產(chǎn)效率和加工功率損耗兩個目標(biāo)函數(shù)可視為相應(yīng)的博弈方N1和N2的收益函數(shù)u1和u2；車削用量優(yōu)化問題中的各約束條件映射為博弈決策問題的約束條件，從而將效率與功耗的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為車削用量優(yōu)化選擇非合作博弈決策模型。因此，基于效率和功耗的多目標(biāo)優(yōu)化問題的博弈模型為G={N1,N2;S1,S2;u1,u2}，且滿足S1∪S2=X,S1∩S2=0。

將設(shè)計變量集合X劃分為隸屬于各博弈方所擁有的策略集S1,S2,…,Sm，是將多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為博弈模型進(jìn)行分析時最重要的一步。本文通過計算每個設(shè)計變量對各博弈方收益的影響因子指標(biāo)，并對該影響因子指標(biāo)進(jìn)行模糊聚類[28]，得到隸屬于各博弈方的策略集S1,S2,…,Sm。其分類的具體計算步驟如下：

(2)對于任意設(shè)計變量xj，在可行區(qū)間內(nèi)按步長δxj將其等分為K段，第j個設(shè)計變量xj對第i個博弈方Fi的影響因子指標(biāo)為[13]

(17)

(3)令聚類對象為δj={δj1,δj2,…,δji,…,δjm}(j=1,2,…,n)，δj表示第j個設(shè)計變量對所有m個目標(biāo)函數(shù)的影響因子指標(biāo)的集合。全體聚類對象表示為δ={δ1,δ2,…,δj,…,δn}，對其進(jìn)行模糊聚類。

(4)標(biāo)定建立模糊相似矩陣R=(rkl)n×n，0≤rkl≤1(k,l=1,2,…,n)，rkl表示分類對象(設(shè)計變量xk和xl即聚類對象δk和δl)的關(guān)聯(lián)相似程度。計算rkl的方法有很多，通常采用絕對值減數(shù)法，即

(18)

式中M是為使0≤rkl≤1而選取的合適的系數(shù)。

3.2 車削用量優(yōu)化選擇非合作博弈決策模型Nash均衡策略的求解

通過建立關(guān)于車削用量選擇問題的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，確定了優(yōu)化設(shè)計變量X、目標(biāo)函數(shù)F(X)和約束條件H(X)。設(shè)待優(yōu)化的設(shè)計目標(biāo)為參與博弈的各方，設(shè)計變量的集合組成所有博弈方的策略空間，各目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)值視為相應(yīng)博弈方的收益，建立車削用量優(yōu)化選擇的非合作博弈決策模型。非合作博弈決策模型Nash均衡策略的求解算法步驟如下：

步驟1給定設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件和迭代精度ε。

步驟2計算設(shè)計變量對博弈參與方收益的影響因子指標(biāo)并進(jìn)行模糊聚類，得到隸屬于各博弈方的策略集S1,S2，…,Si,…,Sm。

算法的程序框圖如圖1所示。

4 算例論證

如圖2所示，以車床上的外圓車削加工棒料工件為例，驗證上述博弈優(yōu)化模型的有效性。其中工件材料為45#鋼，加工質(zhì)量要求Ra不超過6.4 μm；刀具材料為硬質(zhì)合金車刀，車刀的主偏角為45°，刀具的刀尖圓弧半徑rε=0.8 mm。

4.1 模型參數(shù)設(shè)置

車床規(guī)格參數(shù)、刀具壽命、切削力系數(shù)，以及其他計算相關(guān)參數(shù)和系數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)設(shè)置表

續(xù)表1

4.2 博弈策略的劃分

(1)單目標(biāo)優(yōu)化及影響因子指標(biāo)的計算

單目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果為：

=[96.215 0,3.500 0,1.729 7]T,

=[94.200 0,0.411 8,5.000 0]T,

根據(jù)式(17)計算得到影響因子指標(biāo)為：

(2)影響因子指標(biāo)的聚類

取M=0.1,根據(jù)式(18)計算得模糊相似矩陣

由傳遞閉包法得其模糊等價矩陣

取置信水平λ=0.9，則模糊聚類矩陣

因此3個設(shè)計變量可以聚類為[vc,ap]，[f]。對影響因子指標(biāo)的大小和聚類進(jìn)行分析，得效率博弈方N1的策略集S1=[f]，功率博弈方N2的策略集S2=[vc,ap]。

4.3 博弈優(yōu)化結(jié)果

以MATLAB軟件為計算平臺，將算法編程，設(shè)置迭代精度，然后運行該程序，經(jīng)過較少次計算后迭代終止，博弈結(jié)束，得到優(yōu)化后的設(shè)計變量為vc=94.200 0，f=2.333 0，ap=2.100 5。3個設(shè)計變量vc，f，ap的博弈迭代過程如圖3所示，兩目標(biāo)函數(shù)g1，g2的博弈迭代過程如圖4所示。

由圖3可知，3個設(shè)計變量經(jīng)過較少次迭代后結(jié)果趨于收斂，得到每個設(shè)計變量的Nash均衡解；圖4中的每個點都表示博弈雙方的一個博弈回合，橫坐標(biāo)表示功耗博弈方的收益，縱坐標(biāo)表示效率博弈方的收益，由圖可見兩個目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過十幾個博弈回合之后終止，博弈雙方達(dá)到某種均衡狀態(tài)，因為本例的兩個博弈方為純策略博弈，所以僅需較少的博弈回合即可達(dá)到Nash均衡。

4.4 線性加權(quán)和法與遺傳算法的優(yōu)化求解及3種優(yōu)化方法的比較分析

4.4.1 線性加權(quán)和法優(yōu)化求解

加權(quán)和法是處理多目標(biāo)優(yōu)化問題較常用且簡便的一種方法，用工程中通常采用的線性加權(quán)和法求解本例，將上述多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，構(gòu)造評價函數(shù)

minF(vc,f,ap)=min(ω1tw+ω2Pi)。

式中ω1和ω2為加權(quán)因子，且ω1+ω2=1。確定權(quán)重可采用容限法、模糊評價法、群體決策法、層次分析法等[30]。

由于效率時間目標(biāo)函數(shù)tw與功率消耗目標(biāo)函數(shù)Pi的量綱不同，不能直接進(jìn)行求和運算，需要對量綱進(jìn)行歸一化處理，可按如下方法處理[6]：

式中：tmin，tmax分別為效率函數(shù)tw的最小值和最大值；Pmin，Pmax分別為功率函數(shù)Pi的最小值和最大值。量綱歸一化處理后的評價函數(shù)為

本例取ω1=ω2=0.5，采用線性加權(quán)和法得到的優(yōu)化解為vc=94.200 1，f=1.087 2，ap=3.077 3。

4.4.2 遺傳算法優(yōu)化求解

遺傳算法是一種解決最優(yōu)化問題的搜索啟發(fā)式算法，其仿效生物界中的“物競天擇，適者生存”的演化原則，常被用來求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，自問世以來，因適應(yīng)性好、魯棒性強以及良好的搜索能力等特點而被廣泛應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域。遺傳算法的基本運算過程包括編碼、生成初始群體、評估適應(yīng)度、選擇、交叉、變異。

本例采用遺傳算法求解，種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為500；在確定優(yōu)化變量的取值范圍后，采用二進(jìn)制編碼方法對切削速度vc、進(jìn)給量f和背吃刀量ap進(jìn)行編碼，優(yōu)化變量轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制代碼段的位數(shù)也稱個體染色體的長度，其值一般取10～30，取值太大或太小都無法體現(xiàn)遺傳算法的優(yōu)點；通過初始化種群規(guī)模計算個體適應(yīng)度函數(shù)值，由于個體之間的特性差異較大，需要設(shè)置個體適應(yīng)值閾值，當(dāng)個體的目標(biāo)函數(shù)值超過閾值時淘汰該個體；使用輪盤賭方法進(jìn)行選擇操作；算法中交叉概率設(shè)置得太大容易破壞有利模式，錯失最優(yōu)個體，設(shè)置太小則不能有效更新種群，其經(jīng)驗值一般取0.4～0.99，本例取0.75；同樣，變異概率設(shè)置太大雖然可以保證種群的多樣性，但是有利模式被破壞的概率隨之增大，設(shè)置太小會使種群多樣性下降太快，容易丟失有效基因且不易修補，其經(jīng)驗值一般取0.000 1～0.1，本例取0.05。設(shè)置各參數(shù)，將算法編程并運行程序，經(jīng)過400次左右迭代后算法收斂，采用遺傳算法求解得到的優(yōu)化解為vc=94.200 0，f=1.113 5，ap=3.040 7。

4.4.3 3種優(yōu)化方法的比較分析

根據(jù)加工過程的能量消耗公式[4,31]Ei=Putw+Pctm+Patm分別計算3種優(yōu)化方法所得優(yōu)化解的能耗，將能耗作為效率與功耗兩方面的綜合收益進(jìn)行比較。博弈方法、遺傳算法和線性加權(quán)和法的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2 博弈方法、遺傳算法和線性加權(quán)和法優(yōu)化比較

由表2可見，博弈優(yōu)化方法的時間和能耗明顯低于遺傳算法和線性加權(quán)和法，綜合收益大于遺傳算法和線性加權(quán)和法，相比于線性加權(quán)和法，其研究成果改進(jìn)了憑借經(jīng)驗賦權(quán)和構(gòu)造特定評價函數(shù)的缺陷。線性加權(quán)和法是將多個需要最小化的函數(shù)定義為有關(guān)性質(zhì)的線性組合，該方法易懂、操作簡單，但是不能同時考慮多個優(yōu)化目標(biāo)，由于權(quán)重ωi的確定取決于決策者的經(jīng)驗知識或判斷，其主觀性較強，優(yōu)化結(jié)果存在個性化；另外，該方法無法反映某些評價指標(biāo)的突出影響，可能導(dǎo)致評價結(jié)果失真，設(shè)計方案缺乏可靠性。遺傳算法的編程比較復(fù)雜，相比之下，博弈優(yōu)化方法無須對問題進(jìn)行編碼和解碼，避免了遺傳算法的編程復(fù)雜性；同時，遺傳算法確定選擇、交叉和變異3個遺傳算子時需要設(shè)置許多參數(shù)(如交叉概率、變異概率等)，目前這些參數(shù)的選擇大都依靠經(jīng)驗，嚴(yán)重地影響了解的品質(zhì)，在一定程度上降低了設(shè)計方案的可信度。博弈優(yōu)化方法由于從理性的角度出發(fā)分析和解決問題，在博弈過程中自然引導(dǎo)各博弈方進(jìn)行競爭與合作，因此具有較強的客觀性，雖然需要確定各博弈方的策略歸屬并構(gòu)造收益模型，但是能夠同時優(yōu)化多個目標(biāo)，使不同目標(biāo)之間達(dá)到均衡狀態(tài)，同時博弈回合較少，迭代過程收斂較快，優(yōu)化結(jié)果具有較好的穩(wěn)健性，因此該優(yōu)化方法具有良好的工程應(yīng)用價值。

5 結(jié)束語

本文建立了與車削用量有關(guān)的、以最高生產(chǎn)效率和最低加工功率損耗為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；將車削用量三要素作為優(yōu)化設(shè)計變量，通過建立博弈決策主體、收益函數(shù)和各博弈方的策略歸屬分類，將多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為非合作博弈決策模型，并給出了求解模型的算法；最后通過對工件的外圓車削加工實例進(jìn)行優(yōu)化分析，將最終的能量消耗作為綜合收益，并與遺傳算法和線性加權(quán)和法進(jìn)行比較，驗證了所建博弈優(yōu)化模型的有效性。本文的研究成果為車削用量的選擇提供了一種新的有效的方法。

本文主要研究了兩目標(biāo)優(yōu)化的兩方博弈和單工序情形，實際上在產(chǎn)品加工過程中有更多的生產(chǎn)指標(biāo)相互沖突，而且產(chǎn)品加工一般均為多工序，即在實際生產(chǎn)中需要優(yōu)化更多的目標(biāo)；另外，一個機(jī)械零部件產(chǎn)品從毛坯到成品可能在多臺機(jī)器上加工，這就需要考慮不同加工機(jī)器的排序問題，因此建立多目標(biāo)、多工序的博弈決策優(yōu)化模型是下一步研究的重點。