潘柏松，俞銘杰，項涌涌，羅路平，丁 煒

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進加工技術(shù)教育部重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引言

刀具磨損是銑削加工中普遍存在的客觀現(xiàn)象，特別是硬質(zhì)合金刀具在銑削難加工材料(鈦合金、高硬度淬火鋼、高溫合金等)時，存在刀具磨損嚴重、加工效率低、刀具壽命短等問題[1]。工程實際中常采用誤差補償方法修正刀具磨損引起的加工誤差來保證加工質(zhì)量，但該方法未能解決加工效率低與刀具壽命短的問題。加工過程中使用合理的工藝參數(shù)既能有效提高加工效率，又可滿足加工精度與刀具壽命要求，其中刀具磨損的準(zhǔn)確預(yù)測是合理選擇工藝參數(shù)的前提。因此，研究刀具磨損預(yù)測模型，開展?jié)M足期望加工精度可靠度和刀具壽命要求的銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計，從而獲得最佳工藝參數(shù)，對提高加工效率、降低生產(chǎn)成本具有重要意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對預(yù)測加工過程中的刀具磨損情況進行了大量研究。李常有等[2]以Gamma過程描述恒定工藝參數(shù)下的刀具磨損過程，并提出刀具可靠性靈敏度分析方法；李聰波等[3]通過響應(yīng)面法建立刀具磨損回歸模型用于在線監(jiān)測刀具磨損狀態(tài)；單忠德等[4]研究了聚晶金剛石(Polycrystalline Diamond，PCD)刀具的磨損機理，以支持向量機回歸算法構(gòu)建了刀具磨損模型；Binder等[5]提出USUI磨損模型與仿真軟件相結(jié)合的刀具磨損建模方法；Mikolajczyk等[6]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法建立刀具磨損模型，對刀具壽命進行預(yù)測。上述文獻從不同角度描述了刀具磨損建模方法，但是為構(gòu)建更貼合實際的預(yù)測模型，需要同時考慮刀具磨損量隨機分布特性與工藝參數(shù)變化對刀具磨損的影響。另外，通過優(yōu)化設(shè)計獲得合理的工藝參數(shù)是提高加工質(zhì)量和加工效率的重要手段。楊森等[7]綜合考慮加工效率和刀具磨損，利用響應(yīng)面法確定了最佳工藝參數(shù)值；胡瑞飛等[8]通過優(yōu)化銑削參數(shù)，在保證切削穩(wěn)定性的前提下提高了加工效率與刀具壽命；Bhushan[9]以最小刀具磨損量和最大材料切除率為優(yōu)化目標(biāo)獲得最佳工藝參數(shù)，從而保證了加工質(zhì)量；Bagaber等[10]以多目標(biāo)優(yōu)化方法對加工參數(shù)進行優(yōu)化，降低了加工能耗以及工件表面粗糙度和刀具磨損量；Shi等[11]在恒定材料切除量下分析切削參數(shù)與刀具磨損的關(guān)系，確定了最優(yōu)工藝參數(shù)。上述研究通過優(yōu)化設(shè)計得到的工藝參數(shù)有效地提高了刀具壽命和加工效率，保證了加工質(zhì)量。然而，加工過程中由于機床誤差、刀具誤差等不確定性因素影響，可能導(dǎo)致工藝參數(shù)的最優(yōu)解落入失效區(qū)域，無法滿足可靠性要求。

為此，本文綜合考慮刀具磨損動態(tài)誤差、刀具制造誤差和數(shù)控機床誤差等不確定性因素，對難加工材料銑削加工精度可靠性分析和加工工藝優(yōu)化設(shè)計展開研究。首先，根據(jù)刀具磨損試驗數(shù)據(jù)，采用高斯過程構(gòu)建刀具磨損預(yù)測模型，并建立考慮刀具磨損的銑削加工精度可靠性模型，利用基于單循環(huán)Kriging代理模型的時變可靠性分析方法求解加工過程中不同時刻的加工精度可靠度；其次，以加工效率最高為優(yōu)化目標(biāo)、期望加工精度可靠度和刀具壽命為約束條件建立銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計模型，以序列二次規(guī)劃法求解銑削加工工藝優(yōu)化過程，獲得最佳工藝參數(shù)。

1 考慮刀具磨損的五軸銑削加工精度可靠性模型

數(shù)控機床加工精度可靠性指數(shù)控機床在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內(nèi)，加工工件達到預(yù)期加工精度的能力[12]。本文綜合考慮加工過程中刀具磨損動態(tài)誤差、刀具制造誤差和數(shù)控機床運動誤差，建立銑削加工精度可靠性模型。

1.1 刀具磨損預(yù)測模型

(1)

(2)

式中：K為學(xué)習(xí)輸入樣本的協(xié)方差矩陣；K*為學(xué)習(xí)輸入樣本與預(yù)測樣本間的協(xié)方差矩陣；K**為預(yù)測樣本自身的方差。

影響刀具磨損的主要工藝參數(shù)為主軸轉(zhuǎn)速n、進給速度vf、切削深度ap、切削寬度ae。將已知的各時刻工藝參數(shù)及其對應(yīng)的刀具磨損量作為學(xué)習(xí)樣本[xg,yg]，則刀具磨損預(yù)測模型為

ΔL=Y(d,t)|(d,t),xg,yg～N(K*(K+σ2E)-1yg，

(3)

式中：ΔL為刀具磨損預(yù)測模型；d=[n,vf,ap,ae]為工藝參數(shù)變量矩陣；t為刀具磨損時間。

1.2 五軸銑削加工精度可靠性模型

以多體系統(tǒng)理論結(jié)合齊次坐標(biāo)變換原理建立某BC軸數(shù)控機床加工誤差模型[14-15]。圖1所示為該機床的結(jié)構(gòu)簡圖，根據(jù)低序體陣列方法獲得如圖2所示的機床拓撲結(jié)構(gòu)。

為構(gòu)建數(shù)控機床低序體間的運動誤差特征矩陣，將機床床身坐標(biāo)系設(shè)為參考坐標(biāo)系，則主軸坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系的矢量表示為P1=[x1,y1,z1,1]T，刀具坐標(biāo)系相對于主軸坐標(biāo)系的矢量表示為P2=[0,0,z2,1]T，工件坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系的矢量表示為P3=[x3,y3,z3,1]T；數(shù)控機床沿X，Y，Z軸平動的運動誤差分別表示為ΔxX，ΔyY，ΔzZ，沿Y，Z軸轉(zhuǎn)動的運動誤差分別表示為ΔβB，ΔγC，則各相鄰體間的運動誤差特征矩陣如表1所示，其中平動軸和轉(zhuǎn)動軸相對初始位置的運動距離和角度分別為x，y，z和b，c。

表1 相鄰低序體間運動誤差特征矩陣

(4)

=[ΔEx,ΔEy,ΔEz,0]T。

(5)

式中ΔEx，ΔEy，ΔEz分別為X，Y，Z軸3個方向的加工誤差。

根據(jù)上述分析并結(jié)合工件加工精度要求，推導(dǎo)獲得五軸銑削加工精度可靠性模型：

G(X,Y(d,t),t)=|ΔE|-I

(6)

式中：X=(ΔxX,ΔyY,ΔzZ,ΔβB,ΔγC,Δr)；Y(d,t)為t時刻的刀具磨損分布；I為銑削加工的最大誤差。

2 刀具磨損試驗與磨損模型驗證

為確定刀具磨損預(yù)測模型，在某BC軸數(shù)控機床上以不同工藝參數(shù)進行干切削條件下的銑削試驗。利用超景深顯微鏡測量獲得刀具在不同時刻下的刀具磨損數(shù)據(jù)。試驗中采用刀具為R4的硬質(zhì)合金球頭銑刀，銑削工件為HRC56的45號高硬度淬火鋼。

圖4所示為刀具磨損試驗示意圖，為避免刀具中心參與銑削并保證工件表面質(zhì)量，選擇15°加工傾角進行刀具磨損試驗[17-18]。如圖5所示，為獲得刀具磨損量，利用球頭銑刀在切削性能較好的鋁合金復(fù)映板上加工深度為ht的孔，ht為刀觸點到刀尖的距離。通過超景深顯微鏡測得刀觸點截面刀具徑向半徑值rt′[19]，則刀具磨損量ΔL可由刀具徑向半徑磨損經(jīng)三角函數(shù)變換獲得。不同工藝參數(shù)下的正交試驗方案如表2所示，為確保工件表面質(zhì)量，取切削寬度ae=0.4 mm。根據(jù)實際試驗情況，將20 μm作為刀具磨鈍標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)測得的刀具磨損量大于磨鈍標(biāo)準(zhǔn)時，表明該方案測試已完成。對每組銑削方案進行3次重復(fù)試驗，獲得圖6所示的27組刀具磨損試驗數(shù)據(jù)。

表2 銑削試驗方案

將圖6的試驗數(shù)據(jù)作為高斯過程學(xué)習(xí)樣本，根據(jù)式(3)建立刀具磨損預(yù)測模型Y(d,t)，即可預(yù)測不同工藝參數(shù)下的刀具磨損變化。為驗證采用高斯過程建立的刀具磨損預(yù)測模型的精度，將主軸轉(zhuǎn)速n=1 800 rpm、進給速度vf=240 mm/min、切削深度ap=0.14 mm、切削寬度ae=0.4 mm作為驗證參數(shù)，對比該參數(shù)下刀具磨損量的實測值與預(yù)測值。

為保證置信區(qū)間的精度和可信度，本文設(shè)定95%的置信區(qū)間，該值表明在所獲得的區(qū)間內(nèi)有95%的概率包含刀具磨損真實值[13]。由圖7可知，各實測值均落在置信區(qū)間內(nèi)，該模型適用于刀具磨損預(yù)測。

3 基于代理模型的五軸銑削加工精度可靠性分析

在時間區(qū)間[tm,tn]內(nèi)，銑削加工精度可靠性模型G的累計失效概率

pf=Pr{G(X,Y(d,t),t)-I≥0,?t∈[tm,tn]}。

(7)

式中Pr{·}表示概率。

本文采用基于單循環(huán)Kriging代理模型的時變可靠性分析方法計算加工精度可靠度[20]。該方法在少樣本的情況下，通過自適應(yīng)選擇并優(yōu)化樣本點建立精確的Kriging代理模型來求解高效高精度的可靠度。

建立Kriging代理模型G′前，需通過卡亨南—洛維(Karthunen-Loeve，KL)展開將刀具磨損動態(tài)誤差Y(d,t)等效轉(zhuǎn)化為獨立隨機變量Q，其展開式為

(8)

式中：μY(d,t)和σY(d,t)分別為刀具磨損動態(tài)誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；λj和Φj(d,t)分別為刀具磨損協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量；Qj為獨立的正態(tài)隨機變量；nj為隨機變量Qj的離散個數(shù)。

從樣本空間[X,Q]中生成初始訓(xùn)練樣本XS，利用自適應(yīng)學(xué)習(xí)函數(shù)U建立Kriging代理模型G′，則時間區(qū)間[tm,tn]內(nèi)的加工精度失效概率

(9)

If(Xi,Qi,t)=

(10)

式中NMC為蒙特卡洛采樣次數(shù)。

為獲得精度較高的加工精度可靠性代理模型，通過式(11)判斷代理模型精度，當(dāng)失效概率pf不滿足收斂準(zhǔn)則時，增加候選樣本數(shù)量自適應(yīng)選取訓(xùn)練樣本點重新構(gòu)建代理模型，直到滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)，此時pf即為最終的加工精度失效概率，則加工精度可靠度F(tm,tn)=1-pf。

(11)

本文以五軸銑削加工某45號淬火鋼工件為例，具體加工條件如下：工件外形尺寸為40 mm×80 mm×60 mm，加工面積為3 200 mm2；選用R4球頭銑刀，工藝參數(shù)d=[1 800,240,0.14,0.4]，獲得該工藝參數(shù)下的刀具磨損動態(tài)誤差ΔL；五軸銑削加工過程中機床各運動軸、坐標(biāo)系和刀具的位置參數(shù)如表3所示。由工件加工工藝推導(dǎo)獲得刀具在工件坐標(biāo)系下的刀觸點Pw的成形軌跡：

表3 五軸銑削加工位置參數(shù)

xw=vf[tmod(80/vf)]-41.049

=x/0.966-41.049；

yw=ae[t(80/vf)]-20=y-20；

zw=-ap。

(12)

式中mod表示取余運算。

續(xù)表3

根據(jù)式(12)和表3的加工位置參數(shù)數(shù)據(jù)確定五軸銑削加工在X，Y，Z方向的誤差表達函數(shù)：

ΔEx=176.586ΔβB-ΔxX+34.057ΔγC-

0.259(Δr+ΔL)+9.125ΔβBΔγC+0.268xΔβB-

0.966yΔγC-0.259yΔβBΔγC；

ΔEy=1.035xΔγC-63.61ΔγC-ΔyY；

ΔEz=(1.035x+35.258ΔγC-yΔγC-

41.049)(0.259-0.966ΔβB)-ΔzZ+

0.966(Δr+ΔL)-z+73.52ΔβB+10.624。

(13)

式中各項誤差分布如表4所示，設(shè)定工件最大加工誤差I(lǐng)=30 μm，結(jié)合上述加工條件與式(6)即可確定五軸銑削加工精度的可靠性模型。

表4 隨機變量X的各參數(shù)誤差分布

通過基于單循環(huán)Kriging時變可靠性方法分析五軸銑削加工精度可靠性模型，計算獲得圖8所示的加工精度可靠度變化曲線，當(dāng)加工時間到達33.33 min時，完成工件加工。從圖8可以看出，加工精度可靠度隨加工時間的累積逐漸降低，而且前期可靠度曲線下降得比較平緩；當(dāng)?shù)毒吣p量達到一定值時，加工精度可靠度急劇下降；當(dāng)完成加工時，最終的加工精度可靠度僅為90.61%，易造成工件報廢。由此可見，刀具磨損是影響加工精度可靠度的重要因素之一，加工精度可靠度隨刀具磨損不斷降低，因此在銑削加工過程中應(yīng)該選擇合理的工藝參數(shù)控制刀具磨損量，以保證加工質(zhì)量。

4 考慮刀具磨損的五軸銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計

為了滿足高效率、高精度的加工需求，建立并分析以加工效率最高為目標(biāo)、期望加工精度可靠度和刀具壽命為約束條件的銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計模型，獲得最佳工藝參數(shù)。

4.1 銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

(1)確定設(shè)計變量

將影響加工效率、加工質(zhì)量和刀具壽命的工藝參數(shù)主軸轉(zhuǎn)速n、進給速度vf、切削深度ap和切削寬度ae作為銑削加工工藝優(yōu)化的設(shè)計變量。

(2)建立目標(biāo)函數(shù)

以加工效率作為優(yōu)化目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)Tt可通過材料去除體積V和材料去除率MV的比值表征為

(14)

材料去除率MV與進給速度vf、切削深度ap、切削寬度ae有關(guān)，

MV=vfapae。

(15)

對于一道既定的工序，材料去除的表面積S為確定值。因此，優(yōu)化設(shè)計模型的目標(biāo)函數(shù)為

(16)

(3)建立約束函數(shù)

約束條件包括加工精度可靠度約束與刀具壽命約束。加工精度可靠度約束函數(shù)可根據(jù)考慮刀具磨損的銑削加工精度可靠性模型G(X,Y(d,t),t)建立，要求加工結(jié)束時，加工精度可靠度不低于期望可靠度Fo，則加工精度可靠度約束為

G(Tt)=F(0,Tt)-Fo≥0。

(17)

因為無法直接獲取刀具壽命函數(shù)，所以利用刀具磨損預(yù)測模型Y(d,t)獲得刀具磨損均值μY(d,t)達到刀具磨鈍標(biāo)準(zhǔn)值go的時間to，將to作為刀具失效時間，建立刀具壽命約束

g(d,to)=μY(d,to)-go≤0。

(18)

根據(jù)上述分析，銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型描述如下：

minTt。

s.t.

G(Tt)=F(0,Tt)-Fo≥0；

g(d,to)=μY(d,to)-go≤0；

dl≤d≤du。

(19)

式中dl和du為設(shè)計變量d的上下限。

4.2 銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計求解

以可靠度為約束的優(yōu)化設(shè)計是一個雙循環(huán)優(yōu)化過程，包括外循環(huán)的優(yōu)化尋優(yōu)過程和內(nèi)循環(huán)的可靠性分析過程。為提高優(yōu)化效率、保證計算精度，本文采用基于單循環(huán)Kriging代理模型的時變可靠性分析方法對銑削加工精度可靠度進行評估，并以分析非線性優(yōu)化問題精度高、收斂快的序列二次規(guī)劃法[21]求解優(yōu)化過程。

根據(jù)序列二次優(yōu)化法，給定設(shè)計變量dk，將約束函數(shù)線性化后得到下列二次規(guī)劃子問題：

s.t.

dkG(Tt)Tα+G(Tt)≥0；

dkg(d,to)Tα+g(dk,to)≤0。

(20)

式中：α為工藝參數(shù)優(yōu)化方向；Bk為正定Hessen矩陣；dkG(Tt)和dkg(d,to)為約束函數(shù)在dk處的梯度值；k為迭代次數(shù)。

根據(jù)式(9)并結(jié)合文獻[22]的可靠度偏導(dǎo)求解方法，獲得精度可靠度梯度函數(shù)

(21)

式中fx(X)為隨機變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

通過求解二次規(guī)劃子問題即可求得當(dāng)前工藝參數(shù)優(yōu)化方向αk。沿αk方向以精確罰函數(shù)控制優(yōu)化步長βk，則下一迭代變量dk+1=dk+αkβk。圖9所示為銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計的求解流程，主要步驟如下：

步驟1選取初始設(shè)計變量dk與收斂參數(shù)ξ，初始化k=0。

步驟2求解目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)。計算初始工藝參數(shù)為dk的加工效率Tt和to時刻的刀具磨損預(yù)測均值μY(dk,to)；對刀具磨損高斯過程Y(d,t)進行KL展開，并生成初始樣本XS構(gòu)建Kriging代理模型G′。若代理模型失效概率pf不滿足COVpf≤0.02，則通過樣本點更新重新構(gòu)建代理模型G′，直至滿足要求。最后利用式(9)計算該模型獲得G(Tt)。

步驟3求解二次規(guī)劃子問題。獲得優(yōu)化設(shè)計模型中各函數(shù)的梯度表達，并更新正定Hessen矩陣Bk，構(gòu)建并分析式(20)的二次規(guī)劃子問題，獲得優(yōu)化方向αk。

步驟4獲取最佳工藝參數(shù)值。通過優(yōu)化方向αk的大小判斷收斂性，若αk的范數(shù)‖αk‖≤ξ，則停止運算，得到最優(yōu)解；否則，通過精確罰函數(shù)確定優(yōu)化步長βk，獲得新設(shè)計變量dk，重新返回步驟2迭代計算，直至滿足收斂條件。當(dāng)優(yōu)化設(shè)計結(jié)束時，獲得最佳工藝參數(shù)dk。

4.3 五軸銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計算例

本文以第3章中的加工案例為對象，給出五軸銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計算例。球頭銑刀銑削殘余高度是影響加工表面粗糙度的主要因素，其高度值與切削寬度和切削高度的選取有關(guān)，是加工過程中選擇刀具和工藝參數(shù)的重要依據(jù)。為獲得較好的工件表面質(zhì)量，根據(jù)銑削殘余高度要求和切削深度取值變化情況確定合理的切削寬度，工藝參數(shù)選擇范圍如表5所示。

表5 工藝參數(shù)取值范圍

根據(jù)式(13)建立五軸銑削加工精度可靠性模型，模型中的未知參數(shù)由表3和表4確定，要求加工精度期望可靠度Fo=99%；一般情況下，難加工材料刀具耐用度為30 min[23]，結(jié)合試驗結(jié)果設(shè)定刀具失效時間to=40 min，刀具磨鈍標(biāo)準(zhǔn)選擇20 μm。由上述條件確定如下五軸銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型：

minTt。

s.t.

F(0,Tt)-99%≥0；

μY(d,40)-0.02≤0；

dl≤d≤du。

(22)

根據(jù)圖9所示的銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計流程求解優(yōu)化設(shè)計模型，獲得如表6所示的最佳工藝參數(shù)值。由表6可見，主軸轉(zhuǎn)速n較優(yōu)化前降低了186 rpm，切削深度ap較優(yōu)化前減少了0.02 mm，而進給速度vf較優(yōu)化前提高了31 mm/min；優(yōu)化后的加工時間為29.63 min，較優(yōu)化前加工效率提高了11.10%。圖10所示為優(yōu)化迭代過程中目標(biāo)函數(shù)的變化曲線，可見優(yōu)化設(shè)計模型的目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的增加不斷降低，最終收斂獲得最佳的工藝參數(shù)值。

表6 銑削加工工藝優(yōu)化前后對比

通過表6中優(yōu)化前后的工藝參數(shù)分析各時刻加工精度的可靠度與預(yù)測刀具磨損量均值，獲得如圖11和圖12所示的變化曲線。圖11為優(yōu)化前后各時刻加工精度的可靠度變化曲線，可知：優(yōu)化后加工精度可靠度的下降趨勢小于優(yōu)化前；以優(yōu)化后的工藝參數(shù)進行加工時，當(dāng)加工時間到達29.63 min時完成加工，加工精度可靠度為99.29%，加工精度較優(yōu)化前提高了9.58%。圖12為優(yōu)化設(shè)計前后的刀具磨損量均值變化曲線，以優(yōu)化前的工藝參數(shù)進行加工時，刀具壽命為38.25 min，而優(yōu)化后的刀具壽命為42.37 min，刀具壽命提高了10.77%。經(jīng)銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計獲得的工藝參數(shù)值有效地提高了加工效率，滿足期望加工精度可靠度和刀具壽命的要求，達到了優(yōu)化設(shè)計的目的。

5 結(jié)束語

本文針對難加工材料銑削過程存在的加工精度低、刀具壽命短等問題，圍繞刀具磨損預(yù)測、加工精度可靠性分析和工藝優(yōu)化設(shè)計展開研究，貢獻如下：

(1)根據(jù)硬質(zhì)合金球頭銑刀磨損試驗結(jié)果，采用高斯過程建立了刀具磨損預(yù)測模型。該模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測不同工藝參數(shù)下的刀具磨損變化曲線，為銑削加工精度可靠性分析和銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。

(2)建立了考慮刀具磨損的五軸銑削加工精度可靠性模型，采用基于單循環(huán)Kriging代理模型的可靠性分析方法獲得了不同加工時刻的精度可靠度。銑削加工前期的可靠度降低速度比較平緩，當(dāng)加工到一定時間時，加工精度可靠度急劇下降，直至不能滿足期望加工精度可靠度的要求。

(3)建立了以加工效率最高為目標(biāo)、期望加工精度可靠度和刀具壽命為約束條件的銑削加工工藝優(yōu)化設(shè)計模型，并應(yīng)用序列二次規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計過程。算例表明，優(yōu)化后的銑削加工精度可靠度達到99.29%，刀具壽命由38.25 min提高至42.37 min，且加工效率提高了11.10%，為難加工材料銑削加工的工藝參數(shù)選擇提供了一種有效的方法。