戴 怡，劉 琴

(1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222)

0 引言

國家“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備”科技重大專項(xiàng)2016年提出，我國數(shù)控機(jī)床平均無故障工作時間(Mean Time Between Failures，MTBF)要達(dá)到2 000 h[1]，然而如何評估MTBF值是一個難題，另外可靠性評估還是撬動市場機(jī)制的重要手段。由于評估時間和評估成本的限制，可靠性評估試驗(yàn)一般都是截尾的，即數(shù)學(xué)家們定義的“刪失數(shù)據(jù)”。 嚴(yán)格來說，MTBF是數(shù)控機(jī)床無故障工作時間的數(shù)學(xué)期望，其與數(shù)控機(jī)床失效概率密度密切相關(guān)，文獻(xiàn)[2-6]指出數(shù)控機(jī)床的失效概率密度多為Weibull分布；文獻(xiàn)[7-8]對失效概率密度為指數(shù)分布的截尾情況進(jìn)行了系統(tǒng)地理論闡述；文獻(xiàn)[9]為基于指數(shù)分布且為定時截尾情況下的國家標(biāo)準(zhǔn)。然而，以上文獻(xiàn)對于復(fù)雜分布的截尾情況(一般是非指數(shù)分布)缺少相應(yīng)的理論闡述，直到出現(xiàn)生存分析理論。生存分析是近三、四十年發(fā)展非常迅速的數(shù)學(xué)學(xué)科，1986年美國國家科學(xué)委員會提出的數(shù)學(xué)發(fā)展概況中將生存分析列為六大發(fā)展方向之一。在生存分析方面，乘積限估計(1958年)[10]、弱收斂理論(1974年)[11]、大樣本理論(1980年)[12]、漸進(jìn)正態(tài)收斂理論(1983年)[13]和均值型泛函估計理論(2002年)[14]等，使生存分析理論體系更加堅實(shí)和完善，并顯示出強(qiáng)大的生命力。因此，對于復(fù)雜分布下截尾情況的數(shù)控機(jī)床可靠性，研究其基于生存分析的可靠性評估方法非常有意義。

極大似然法是一個對統(tǒng)計模型普遍適用的估計方法，似然估計的思想雖然簡單，但是十分深刻。文獻(xiàn)[15]給出了截尾情況下的似然函數(shù)；文獻(xiàn)[16]指出，隨機(jī)截尾情形下的Weibull分布參數(shù)在非常大的樣本下具有相合性。由于生存分析方法與極大似然法是目前處理截尾數(shù)據(jù)屈指可數(shù)的幾種有效方法中的兩種，為了對比兩種方法的優(yōu)劣，并選擇適合有替換定時截尾試驗(yàn)的評估方法，本文將分別進(jìn)行基于生存分析與極大似然法的可靠性評估，并進(jìn)行對比研究。

1 截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

截尾壽命試驗(yàn)有隨機(jī)截尾、有替換定時截尾、無替換定時截尾、有替換定數(shù)截尾和無替換定數(shù)截尾5種典型形式，圖1和圖2所示分別為隨機(jī)截尾模型和有替換定時截尾模型，圖中：t0為定時截尾時間；字母A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示樣本(如數(shù)控機(jī)床)；符號“×”表示失效。圖1中樣本進(jìn)入試驗(yàn)的時間是隨機(jī)的(一般不同)，樣本發(fā)生失效的時間也是隨機(jī)的；圖2試驗(yàn)過程中，樣本失效后馬上替換新樣本進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)開始時間與結(jié)束時間為已知和共同的。

在5種可靠性截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，有替換定時截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ妥钸m合描述現(xiàn)場跟蹤試驗(yàn)。因?yàn)楝F(xiàn)場可靠性試驗(yàn)范圍廣、時間長，基層工作人員對完全把握故障(或失效)的判斷情況存在難度，因此定數(shù)截尾試驗(yàn)風(fēng)險相對較大，而且考慮到可靠性試驗(yàn)應(yīng)盡量與企業(yè)生產(chǎn)合拍，以降低試驗(yàn)成本，有替換試驗(yàn)?zāi)Ｐ透线m，所以有替換定時截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪潜疚难芯康闹攸c(diǎn)。本文研究的數(shù)控機(jī)床有替換定時截尾壽命試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D3所示。圖中假設(shè)有n臺機(jī)床進(jìn)行可靠性試驗(yàn)，當(dāng)某臺機(jī)床發(fā)生故障時立刻進(jìn)行維修，且修舊如新；每臺機(jī)床的工作時間(如x1,1，x1,2)和維修時間(如d1,1，d1,2)依次發(fā)生；n臺機(jī)床中某一臺機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)是隨機(jī)的，一般情況下不同；第1臺至第n臺機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)分別為J1,J2,…,Jn。根據(jù)文獻(xiàn)[17-18]的研究，平均維修時間是一個較小的數(shù)值，簡便起見，本文在有替換定時截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭泻雎跃S修時間d1,1，d1,2，…。

2 隨機(jī)截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c有替換定時截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g的關(guān)系

生存分析與極大似然法主要研究隨機(jī)刪失模型。如上所述，本文認(rèn)為有替換定時截尾模型適合現(xiàn)場跟蹤可靠性試驗(yàn)。為了應(yīng)用生存分析與極大似然法，需要找出兩個模型之間的關(guān)系，即有替換定時截尾模型是否屬于隨機(jī)截尾這一大類模型。

圖4所示為n臺機(jī)床的有替換定時截尾試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，圖中為了簡化問題忽略了維修時間。因?yàn)榭偨匚矔r間t0在試驗(yàn)前設(shè)定，所以截尾變量Ci,1=Ci,2=…=Ci,j=Cn,1=t0；第i臺機(jī)床的工作時間為Ti,1,…,Ti,j,…,Ti,Ji，其相應(yīng)的截尾變量為Ci,1，…，Ci,j，…，Ci,Ji；用T1，J1，…，Ti,Ji，…，Tn,Jn分別表示第1，…，i，…，n臺機(jī)床最后一個工作時間(壽命)的數(shù)據(jù)，且為截尾數(shù)據(jù)；前面的數(shù)據(jù)，如T1,J1-1,…,Ti,Ji-1,…,Tn,Ji-1等為完全失效數(shù)據(jù)。

第i臺機(jī)床壽命變量與截尾變量之間的關(guān)系為：

(1)

經(jīng)變換得到：

(2)

當(dāng)這些數(shù)控機(jī)床壽命數(shù)據(jù)T1,T2，…,Tn相互獨(dú)立且服從某分布時，其截尾變量C1，C2，…，Cn也相互獨(dú)立并服從與Ti分布有關(guān)的某分布，Ti與Ci的關(guān)系類同于生存分析中定義的Ti與Ci之間的關(guān)系(詳見3.1節(jié)和式(3))。因此，有替換定時截尾模型可以認(rèn)為隸屬于隨機(jī)截尾模型之大類，有替換定時截尾數(shù)據(jù)可以應(yīng)用生存分析或極大似然法計算其平均壽命。

3 生存分析模型及其平均壽命積分

3.1 乘積限估計

設(shè)T1,T2,…,Tn是非負(fù)獨(dú)立同分布且表示壽命的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)記為F；C1,C2…,Cn為非負(fù)獨(dú)立同分布且表示刪失的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)記為G；在隨機(jī)刪失模型中，不能完全觀察Ti，僅觀察到

Xi=min(Ti,Ci),δ=I[Ti≤Ci];

i=1,2,…,n。

(3)

式中：I[·]表示示性函數(shù)，δ包含了刪失信息。觀察到的數(shù)據(jù)對為(Xi,δi),i=1,2,…,n，設(shè)X(1)

(4)

3.2 平均壽命積分

若數(shù)控機(jī)床失效分布服從分布函數(shù)F, 則其生存函數(shù)S(x)=1-F，數(shù)控機(jī)床平均壽命

(5)

(6)

(7)

式中Mn小于但趨于。Susarla等[12]證明，在一定條件下，正態(tài)漸進(jìn)收斂于

由于“小散弱”的行業(yè)基本狀況沒有根本改變，這也衍生了很多問題。李殿平表示，這主要集中在三個方面，即信息化發(fā)展水平相對較低、綜合服務(wù)能力較弱、假冒偽劣農(nóng)資依然泛濫。

在乘積限定義中，X(1)

4 基于生存分析與極大似然法的可靠性評估

4.1 數(shù)控機(jī)床可靠性模擬實(shí)驗(yàn)及截尾數(shù)據(jù)

因?yàn)閿?shù)控機(jī)床可靠性試驗(yàn)成本高、耗時長，可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)全部來自現(xiàn)場試驗(yàn)不現(xiàn)實(shí)，而文獻(xiàn)[2-6]已給出數(shù)控機(jī)床大致的失效分布規(guī)律，所以可以進(jìn)行數(shù)控機(jī)床模擬試驗(yàn)。另外，模擬試驗(yàn)還可以得到MTBF真值，有助于分析評估方法的優(yōu)劣。試驗(yàn)樣本無限增多可以反映評估方法最本質(zhì)的特性，而這正是以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類分析方法——蒙特卡洛方法的優(yōu)點(diǎn)。

本文模擬試驗(yàn)假設(shè)數(shù)控機(jī)床失效服從Weibull分布，用MATLAB軟件產(chǎn)生服從Weibull分布的n行m列隨機(jī)數(shù)(Xi,j)n×m，其中每一個數(shù)表示數(shù)控機(jī)床一個完整的無故障工作時間，即一個完全失效數(shù)據(jù)。然后根據(jù)有替換定時截尾運(yùn)行機(jī)制，按流程圖(如圖5)產(chǎn)生有替換定時截尾模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)[19]。需要說明的是，該流程圖產(chǎn)生的n行失效數(shù)據(jù)，每行最后一個為截尾數(shù)據(jù)。

4.2 基于生存分析與極大似然法的數(shù)控機(jī)床MTBF值的區(qū)間估計

假設(shè)數(shù)控機(jī)床失效的故障數(shù)據(jù)服從尺度參數(shù)α=1 500 h、形狀參數(shù)β=1.2的Weibull分布，即MTBF的真值為1 411 h，參加試驗(yàn)的機(jī)床數(shù)為50臺，進(jìn)行如下模擬仿真試驗(yàn)和計算，結(jié)果如表1所示：

(1)確定試驗(yàn)總截止時間t0=1 000，1 500，2 000，2 500，3 000，3 500，4 000，4 500，共計8種截尾方案，其中單位為h。

(2)對每一種截尾方案產(chǎn)生200組服從Weibull(1.2，1 500)的完全失效數(shù)據(jù)，然后按照圖5流程進(jìn)行相應(yīng)地截尾，產(chǎn)生有替換定時截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)，每組含50個截尾數(shù)據(jù)和數(shù)量不等的完全失效數(shù)據(jù)。

(3)應(yīng)用生存分析平均壽命積分公式，計算每一組數(shù)據(jù)的MTBF值，并得到其點(diǎn)估計。對計算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計出點(diǎn)估計值在區(qū)間(1 211，1 611)上覆蓋MTBF真值的概率p，列于表1第2行，p即為一般可靠性評估含義的置信概率。

(4)應(yīng)用極大似然法計算每一組數(shù)據(jù)的MTBF值，并得到其點(diǎn)估計。對計算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計出點(diǎn)估計值在區(qū)間(1 211，1 611)上覆蓋MTBF真值的概率p，列于表1第3行，p即為一般可靠性評估含義的置信概率。

(5)將每種截尾方案截尾數(shù)據(jù)所占的比例列于表1的第4行。

由表1可見，隨著總截尾時間t0從1 000 h遞增到4 500 h，基于生存分析評估方法，其置信概率從0%提高到97.5%，截尾比例從50%～75%降低到22%～29%，但在截尾時間為1 000 h～3 000 h時，置信概率比較低，不超過68.5%。

表1 截尾時間為1 500 h～4 500 h下兩種方法覆蓋真值的概率

另外，隨著截尾時間t0從1 000 h遞增到4 500 h，應(yīng)用極大似然評估方法，其置信概率從43.5%提高到94%，在截尾時間為1 000 h～30 00 h，置信概率從43.5%增加到88%，但在3 000 h后，置信概率增加得不明顯。

5 結(jié)束語

有替換定時截尾試驗(yàn)是產(chǎn)生刪失數(shù)據(jù)(或稱截尾數(shù)據(jù))的重要方式之一。生存分析是近幾十年專門研究刪失數(shù)據(jù)的理論，然而本文的仿真結(jié)果卻顯示，在通常的試驗(yàn)時間區(qū)間，極大似然法的評估結(jié)果優(yōu)于生存分析，這樣意外的結(jié)果提示需審慎對待生存分析的適用場合。

本文得出如下結(jié)論：

(1)當(dāng)MTBF真值為1 411 h，有替換定時截尾試驗(yàn)的試驗(yàn)時間為MTBF真值的1.4～2.5倍時，基于極大似然法的可靠性評估置信概率為82.5%～91.5%，明顯高于生存分析方法的0.5%～79.5%。提示在可靠性評估的工程實(shí)踐中，當(dāng)試驗(yàn)時間是平均壽命的1.5～2.5倍的情況下，極大似然評估結(jié)果優(yōu)于生存分析方法。

(2)當(dāng)試驗(yàn)時間為MTBF值1.5～2.5倍時極大似然法優(yōu)于生存分析的結(jié)論，是通過仿真方法得到的，尚缺乏系統(tǒng)的理論分析。但由于傳統(tǒng)的統(tǒng)計理論基本上是基于大樣本理論的，新的隸屬于智能方法面向有限樣本的統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論，或可以有所作為。

(3)有替換定時截尾壽命試驗(yàn)適宜這樣一些可靠性評估：①教科書式試驗(yàn)難以組織，需要結(jié)合工程實(shí)際抽象模型;②故障判斷有一定難度，且對評估結(jié)果關(guān)系重大;③試驗(yàn)對象的壽命不是特別大，以至于難以評估，尤其是試驗(yàn)時間為平均壽命1.5～2.5倍的情況。