廣東仲元中學(xué)(511400) 許鮪潮

廣東番禺中學(xué)附屬學(xué)校(511400) 麥桂崧

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),將學(xué)生的核心素養(yǎng)定義為“學(xué)生應(yīng)具備的,能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”[1].數(shù)學(xué)建模是六大核心素養(yǎng)之一,指對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題,即在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實際問題[2].本文以2020年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽一道有爭議的題目為起點,從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)出發(fā),利用數(shù)學(xué)建模的思想和方法解決這道題并提出建議與改編.

一、問題的提出

題目某竹竿長為24 米,一端靠在墻上,另一端靠在地面上.若竹竿上某一節(jié)點到墻的垂直距離和到地面的垂直距離都是7 米,則此時竹竿靠在墻上的端點到地面的垂直距離為____米,或____米.

圖1

本題是2020年6月21日舉辦的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽第3 題,分值8 分是一道中檔題,但根據(jù)某學(xué)校學(xué)生的答題調(diào)查,只有10%左右的學(xué)生寫出參考答案.

二、模型假設(shè)

(一)假定竹竿是正放,即竹竿在地面上的射影與墻面垂直;

(二)墻面及地面摩擦系數(shù)足夠大,并且竹竿不會下滑;

(三)不考慮竹竿大小,重量及彈性形變等物理因素.

三、模型建立與求解

在模型假設(shè)的情況下,本題為平面幾何問題,可建立如圖1 的平面直角三角形模型,將題目抽象為: 己知ΔAOB為直角三角形,P點為斜邊上一點,PM⊥OB于M點,PN⊥OA于N點,且PM=PN=7,AB=24,求OA的長度.不妨設(shè)OA=a,OB=b,依題意可得ΔANP與ΔAOB相似,可得化簡可得

根據(jù)AB=24 可得a2+b2=242,可化為

由①,②可得a+b=25+7=32,ab=7×32,從而a,b為方程λ2?32λ+32×7=0 的兩根,即16±由對稱性可知OA的長度可能為a也可能為b,所以答案就是16+或16?

這個答案引發(fā)了不少質(zhì)疑: 根據(jù)上面的模型假設(shè)竹竿是要正放,但題目中沒有提及,是否還有其它的情況呢? 因為本題有較強的物理背景,我們嘗試用實驗進(jìn)行驗證,通過立體幾何建模的方法對這個模型進(jìn)行優(yōu)化分析.

四、模型的驗證及優(yōu)化

(一)實驗我們通過實物實驗和計算機模擬實驗進(jìn)行驗證.分別以吸管,普通2B 鉛筆,質(zhì)地均勻的木棍,鐵棍以及計算機軟件SolidWords 仿真模擬進(jìn)行實驗.實驗設(shè)定及原理如下:

1.地面材料分別選擇瓷磚(摩擦系數(shù)小),木地板(摩擦系數(shù)中等)和水泥地(摩擦系數(shù)大);

2.SolidWords 仿真模擬為了得到區(qū)分度較大的數(shù)據(jù),我們將材料設(shè)置為超高密度的金屬材料;

圖2

3.利用手機軟件“AR 測量”,通過如圖2 中測量|AD|和|BD|的長度,計算出sin ∠ABD=所以(只取整數(shù)度數(shù)的角度).

在同一面墻壁上,多次重復(fù)實驗得到如下實驗結(jié)果:

_地面材料___吸管___鉛筆___木棍___鐵棍___SolidWords___瓷磚__________17° 22° 23° 13° 7°__木地板________22° 22° 24° 17° 9°__水泥地________35° 27° 27° 27° 14°

實驗的結(jié)果顯示存在穩(wěn)定的傾斜放置.而且最大傾斜角度與物體的質(zhì)量成負(fù)相關(guān),與地面及墻面摩擦系數(shù)成正相關(guān).

(二)模型拓展分析對竹竿進(jìn)行受力分析如圖2,竹竿B點處受到地面垂直向上的支持力及摩擦力其中可以分解為兩個互相垂直的力同理,竹竿D′點處受到墻面垂直向外的支持力及摩擦力其中可以分解為兩個互相垂直的力

(三)模型優(yōu)化通過實驗和竹竿受力分析,我們將模型優(yōu)化為立體幾何長方體模型,將竹竿理想化為長方體ABCD ?A′B′C′D′的對角線BD′,竹竿上的點P到底面ABCD的距離為PM=7,點P到墻面ADD′A′的距離為PN′=7,竹竿的長度為BD′=24.以點B為坐標(biāo)原點,以BC為x軸,BA為y軸,BB′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=a,BA=b,BB′=c,BS=t則各點的坐標(biāo)為B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,b,0),B′(0,0,c),D′(a,b,c),P(t,b ?7,7),則有由向量可得

由③式的第二個等號可得bc=7(b+c),聯(lián)立a2+b2+c2=242可得a2+(b+c)2=242+14(b+c)化簡可得a2+(b+c ?7)2=252.

令a=25 cosθ≥0,而b ＞7,c ＞7 則b+c ?7=25 sinθ ＞0,即b+c=7+25 sinθ,bc=7(7+25 sinθ)所以b,c為一元二次方程λ2?(7+25 sinθ)λ+7(7+25 sinθ)=0 的兩個實數(shù)根.

結(jié)合判別式(7+25 sinθ)2?4×7(7+25 sinθ)≥0,解得sinθ∈,此時b,c有解.不妨設(shè)b ＜c則有

根據(jù)對稱性,竹竿到地面的距離可以為c也可以為b,所以b,c兩值就是題目的兩解.所以符合題目的解有無數(shù)個,其中當(dāng)a=25 cosθ=0 時,sinθ=1 則有b=16?c=16+這就是原模型的解答.

圖3

圖4

五、題目的優(yōu)化與改編

(一)直接說明“正放”.例如: 某竹竿長為24 米,一端靠在墻上,另一端靠在地面上.使得竹竿在地面上的投影垂直于墻面.這樣的說明可以讓學(xué)生直接進(jìn)入題目情景.

(二)與物理知識的結(jié)合.例如: 某竹竿長為24 米,一端靠在光滑的墻上,另一端靠在粗糙的地面上.這樣的題設(shè)有一定的物理背景,由圖2 受力分析可以知道,如果墻壁光滑沒有摩擦力,則只有正放才能保持平衡.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì),是描述一個人經(jīng)過數(shù)學(xué)教育后應(yīng)當(dāng)具有數(shù)學(xué)特質(zhì),大體可以歸納為: 會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界,簡稱“三會”[3].所以跨知識體系甚至跨學(xué)科的知識結(jié)合,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).

(三)構(gòu)思新試題.原創(chuàng)題: 有一個長方體模型己知各邊都為整數(shù),對角線長度為39,且對角線上存在一點P到交于同一個頂點的三個側(cè)面的距離分別為3,8,12,求這個長方體的體積.

分析本題入手簡單,但錯誤率很高,主要原因是沒有進(jìn)行準(zhǔn)確的分類討論,對空間想象力和抽象邏輯要求較高.

解因為長方體的體對角線恒定,如圖4,不妨設(shè)點P在對角線BD′上,設(shè)P到面ABB′A′的距離為3,P到面ABCD的距離為12,這時有兩種情況:

(1)P到面BCC′B′的距離為8.

以點B為坐標(biāo)原點,分別以BC,BA,BB′為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=a,BA=b,BB′=c,則點P的坐標(biāo)為P(3,8,12),根據(jù)共線,所以D′(a,b,c)的坐標(biāo)可設(shè)為D′(3θ,8θ,12θ),故|BD′|2=a2+b2+c2=217θ2,即θ2=不符合邊長為整數(shù)的條件.

(2)P到面ADD′A′的距離為8.

點P的坐標(biāo)為P(3,b ?8,12),由向量可得可得c=4a,b=所以有

解得唯一整數(shù)解為a=9,故D′(a,b,c)=D′(9,12,36),VBD′=abc=3888.

同理,確定b,c討論a,以及確定a,b討論c,均無整數(shù)解.

故這個長方體的體積為3888.