化劼

[摘? 要] “A”型模型是三角形重要的相似模型，利用模型的特征性質(zhì)可以快速構(gòu)建解題思路，提高解題效率. 文章解讀“A”型相似模型，結(jié)合實(shí)例開展應(yīng)用強(qiáng)化，并進(jìn)行總結(jié)反思，提升學(xué)生應(yīng)用模型解題的能力，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

[關(guān)鍵詞] 相似三角形;“A”型模型;探究;應(yīng)用;數(shù)學(xué)思維

幾何模型是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，合理利用典型模型的性質(zhì)和構(gòu)建思路可以簡化解題過程. 開展模型探究需要以教材為基礎(chǔ)，逐步深入探究，以形成相應(yīng)的解題策略，因此模型探究建議采用“解讀認(rèn)知→應(yīng)用強(qiáng)化→反思總結(jié)”的架構(gòu). 相似三角形具有較多的模型，其中“A”型模型是常用的一種，下面對(duì)其展開探究.

模型解讀

模型解讀應(yīng)從基本的模型結(jié)構(gòu)入手，總結(jié)常規(guī)類型、變式類型，同時(shí)關(guān)注模型的性質(zhì)，以及相應(yīng)的構(gòu)建思路. 對(duì)于“A”型相似模型，基本類型有兩種，包括正“A”型（圖1）、反“A”型（圖2），另外，以反“A”型為基礎(chǔ)，向下平移C′B′，使點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，則有反“A”變形型（圖3）. 不同的類型具有相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，同時(shí)具有不同的相似關(guān)系，具體如下.

1. 正“A”型

正“A”型相似模型的特點(diǎn)為：共用一個(gè)頂點(diǎn)，底邊相互平行. 以圖1為例，△ABC∽△A′B′C′，兩個(gè)三角形共用頂點(diǎn)A（A′），同時(shí)BC∥B′C′，則對(duì)應(yīng)性質(zhì)為 = = .

平行關(guān)系是模型最具代表性的特征，構(gòu)建時(shí)可借助兩線平行，利用平行性質(zhì)推得兩個(gè)三角形相似，然后利用模型的性質(zhì)來轉(zhuǎn)換線段比值關(guān)系. 基于上述分析，該模型的構(gòu)建有兩種策略：一，由兩線平行直接構(gòu)建;二，借助三角形的中位線性質(zhì)，即，若點(diǎn)B′和C′分別為AB，AC的中點(diǎn)，則由中位線的性質(zhì)也可推知兩線平行.

2. 反“A”型

反“A”型相似模型的特點(diǎn)為：共用一個(gè)頂點(diǎn)，其他兩頂點(diǎn)位置反向?qū)?yīng). 以圖2為例，△ABC∽△A′B′C′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′在點(diǎn)B的對(duì)邊AC上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′在點(diǎn)C的對(duì)邊AB上，對(duì)應(yīng)性質(zhì)為 = = .

反“A”型相似模型的典型特征是頂點(diǎn)位置反向，實(shí)際構(gòu)建時(shí)需要采用等角轉(zhuǎn)化的方式，通過等角代換來提取圖形中的相等角，進(jìn)而證明兩個(gè)三角形相似.

3. 反“A”變形型

反“A”變形型，顯而易見是對(duì)反“A”型的變形，它們總體結(jié)構(gòu)不變，僅僅是點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，從而使模型存在兩對(duì)重合點(diǎn)（僅一對(duì)重合點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)），該類型也稱為共角共邊型. 以圖3為例，△ABC∽△A′B′C′中，兩三角形共頂點(diǎn)A（A′）和C（B′）.

應(yīng)用強(qiáng)化

上述三種是“A”型相似模型的常見類型，模型結(jié)構(gòu)雖較為簡單，但變化靈活，可結(jié)合圖形翻折、動(dòng)點(diǎn)等動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)，同時(shí)可結(jié)合三角函數(shù)、圓、函數(shù)曲線等內(nèi)容來綜合考查. 實(shí)際解題時(shí)，需要準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特點(diǎn)，嚴(yán)格按照相似三角形的判定定理來構(gòu)建，下面結(jié)合考題來強(qiáng)化應(yīng)用.

1. 動(dòng)點(diǎn)問題的“A”型相似

例1? 在△ABC中，AB=4 cm，BC=8 cm，現(xiàn)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1 cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以2 cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，試分析是否存在時(shí)間t，使得△PBQ與△ABC相似. 若存在，請(qǐng)求出t的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析? 上述為雙動(dòng)點(diǎn)三角形相似問題，實(shí)則就是分析△PBQ與△ABC相似的情形，其中兩三角形已有一組對(duì)應(yīng)角相等——∠PBQ=∠ABC，只需確保另一組對(duì)應(yīng)角相等即可. 題干沒有設(shè)定相似對(duì)應(yīng)，顯然有兩種情形：△PBQ∽△ABC，△PBQ∽△CBA，后續(xù)只需利用三角形相似性質(zhì)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)建立方程求解即可.

①當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，如圖4，此時(shí)PQ∥AC，為正“A”型三角形相似模型. 由已知條件可得AP=t，BQ=2t，結(jié)合三角形相似性質(zhì)可得 = ，即 = ，解得t=2.

②當(dāng)△PBQ∽△CBA時(shí)，如圖5，此時(shí)PQ與AC不再平行，為反“A”型三角形相似模型. 結(jié)合三角形相似性質(zhì)可得 = ，即 = ，解得t=0.8.

綜上可知，當(dāng)t為0.8或2時(shí)，△PBQ與△ABC相似.

評(píng)析? 上述問題引入動(dòng)點(diǎn)探究三角形相似時(shí)t的值，通過討論三角形對(duì)應(yīng)情形確定了“A”型相似的兩種模型，進(jìn)而利用性質(zhì)完成求解. 動(dòng)點(diǎn)拓寬了模型的構(gòu)建思路，使得模型更具應(yīng)用價(jià)值. 實(shí)際解題時(shí)需關(guān)注三角形相似的對(duì)應(yīng)情形，合理建模.

2. 圓問題中的“A”型相似

例2? 如圖6，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D在弧BC上，點(diǎn)E在弦AB上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），四邊形BDCE為菱形. 求證：

（1）AC=CE;

（2）BC2-AC2=AB·AC.

解析? 本題為涉及圓的幾何問題，需要充分結(jié)合圓的特性來構(gòu)建解題思路.

（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知∠D=∠BEC，又∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°，所以∠A=∠AEC. 所以AC=CE.

（2）要證BC2-AC2=AB·AC，可對(duì)其適當(dāng)變形，即（BC+AC）·（BC-AC）=AB·AC，進(jìn)而可得 = . 該形式可視為相似三角形的性質(zhì)所得，后續(xù)只需進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化，構(gòu)建相似三角形模型即可.

如圖7，以點(diǎn)C為圓心、CE的長為半徑作⊙C，與BC交于點(diǎn)F，與BC的延長線交于點(diǎn)G，則CF=CG=AC=CE. 分析可知BF=BC-CF=BC-AC，BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，推理后可證△BEF∽△BGA，由相似性質(zhì)可得 = ，結(jié)合上述線段關(guān)系可轉(zhuǎn)化為 = ，化簡后得BC2-AC2=AB·AC.

評(píng)析? 上述第（2）問在證明線段之間的代數(shù)關(guān)系時(shí)，采用了等量變形、相似轉(zhuǎn)化的策略，即通過作圖構(gòu)建了相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)證明，解題所用的是反“A”型相似模型. 在實(shí)際解題時(shí)，需關(guān)注與線段長相關(guān)的代數(shù)關(guān)系，合理聯(lián)系三角形的相似性質(zhì)構(gòu)建模型，進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，提升思維的靈活性.

3. 曲線中的“A”型相似

例3? Rt△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖8，反比例函數(shù)y= （k≠0）在第一象限內(nèi)的圖像與BC的交點(diǎn)為D，與AB的交點(diǎn)為E，已知D（4，m），E（2，n），△BDE的面積為2，試回答下列問題：

（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系;

（2）若tan∠BAC= ，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式;

（3）設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為F，點(diǎn)P在射線FD上，在（2）問的條件下，若△AEO與△EFP相似，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析? 本題為反比例函數(shù)背景下的三角形相似探究，題目同樣沒有設(shè)定相似對(duì)應(yīng)，所以需要分類討論. 解題時(shí)需要構(gòu)建相應(yīng)的相似模型，然后利用相似性質(zhì)轉(zhuǎn)化出線段比例關(guān)系，進(jìn)而確定點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）因?yàn)辄c(diǎn)D和點(diǎn)E均在反比例函數(shù)的圖像上，均滿足其函數(shù)解析式，所以4m=2n=k. 所以n=2m.

（2）需要在圖像中構(gòu)建直角模型，結(jié)合三角函數(shù)值來求解點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)和直線AB的解析式. 過程略，反比例函數(shù)的解析式為y= ，直線AB的解析式為y= x+1.

（3）結(jié)合直線AB的解析式可求得F（0，1），D（4，1）. 分析可知直線FD平行于x軸，故△AEO與△EFP相似有兩種情形：△EFP∽△EAO，△EFP∽△OAE.

①當(dāng)△EFP∽△EAO時(shí)，如圖9，由相似性質(zhì)可得 = ，代入線段長可得 = ，解得FP=1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.

②當(dāng)△EFP∽△OAE時(shí)，如圖10，由相似性質(zhì)可得 = ，代入線段長可得 = ，解得FP=5，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）.

綜上可知，若△AEO與△EFP相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（5，1）.

評(píng)析? 上述是反比例函數(shù)背景下的三角形相似，其中相似涉及“A”型相似模型，解析時(shí)可以直接提取模型，構(gòu)建相似關(guān)系. 函數(shù)曲線中的相似問題，最大的特點(diǎn)為聯(lián)系了函數(shù)解析式，模型解析時(shí)需要充分利用點(diǎn)的坐標(biāo)的紐帶作用，由點(diǎn)推線長、位置關(guān)系，構(gòu)建相似模型.

反思總結(jié)

1. 模型教學(xué)立足教材基礎(chǔ)

上述對(duì)三角形“A”型相似模型進(jìn)行了解讀探究，并結(jié)合實(shí)例開展應(yīng)用強(qiáng)化，具有極高的學(xué)習(xí)價(jià)值. 而在實(shí)際教學(xué)中需要立足教材基礎(chǔ)，從模型的定理、性質(zhì)入手，引導(dǎo)學(xué)生掌握模型結(jié)構(gòu)，獲得相應(yīng)的應(yīng)用方法. 教學(xué)中需要關(guān)注以下兩點(diǎn)：一是模型的核心內(nèi)容，如相似模型中所涉及的三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理，使學(xué)生掌握證明方法，及所具有的性質(zhì);二是相似模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角形相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)不同所構(gòu)建的模型也不同.

2. 利用模型教學(xué)發(fā)展學(xué)生思維

開展模型教學(xué)可以強(qiáng)化知識(shí)，使學(xué)生掌握解題策略，同時(shí)，模型教學(xué)也是數(shù)學(xué)思維的過程，能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)模型、總結(jié)歸納、知識(shí)應(yīng)用、強(qiáng)化拓展等思維活動(dòng)，對(duì)提升學(xué)生的探究能力極為有利. 教學(xué)中，應(yīng)注重模型教學(xué)的探究環(huán)節(jié)，合理滲透數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、模型構(gòu)建思想等，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，為學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展打基礎(chǔ).