◇ 廖永福
基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn).在應(yīng)用基本不等式時(shí),因其特征較多、題型多變、解法靈活,同學(xué)們難以掌握.本文試圖從基本不等式的特征入手,幫助大家厘清解題思路,促進(jìn)思維發(fā)展.
對(duì)于符合基本不等式特征的式子,可以嘗試直接應(yīng)用基本不等式解題.
例1(2019年上海卷)若的最大值為_(kāi)________.
分析條件等式左邊符合基本不等式的特征,可以嘗試直接應(yīng)用基本不等式求解.
解因?yàn)閤,y∈R+,所以
本題著重考查了基本不等式及其應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
變式1(2013年福建卷)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是( ).
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
變式2(2010年山東卷)已知x,y∈R+,且滿足,則xy的最大值為_(kāi)_______.
變式3(2014年上海卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為_(kāi)________.
答案1.D. 2.3. 3
對(duì)于不符合基本不等式特征的式子,可先設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為符合基本不等式特征的式子,再應(yīng)用基本不等式,常用的變形技巧有配湊、拆分等.
例2(2011年重慶卷)若函數(shù)(x>2),在x=a處取最小值,則a=( ).
分析把函數(shù)解析式整理成符合基本不等式特征的形式,再求解.
解因?yàn)閤>2,所以x-2>0.所以f(x)=x+
本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.解題關(guān)鍵是通過(guò)配湊使f(x)符合基本不等式的特征,屬于基礎(chǔ)題.
變式1(2010年重慶卷)已知t>0,則函數(shù)y=的最小值為_(kāi)________.
變式2(2011年湖南卷)設(shè)x,y∈R,且xy≠0,則的最小值為_(kāi)_______.
答案1.-2. 2.9.
對(duì)于一些比較復(fù)雜的式子,有時(shí)需要反復(fù)應(yīng)用基本不等式,這時(shí)要注意每次不等式取等條件是否一致,以確定能否取到最大值或最小值.
例3(2017年天津卷)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為_(kāi)_______.
分析應(yīng)用兩次基本不等式,即可求出最小值.
解因?yàn)閍,b∈R,ab>0,所以
本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,在反復(fù)應(yīng)用基本不等式時(shí),各個(gè)取等條件必須同時(shí)成立,否則取不到最值,屬于中檔題.
變式1(2009年重慶卷)已知a>0,b>0,則的最小值是( ).
變式2(2010年四川卷)設(shè)a>b>0,則a2+的最小值是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
變式3(2010年四川卷)設(shè)a>b>c>0,則的最小值是( ).
答案1.C. 2.D. 3.B.
對(duì)于條件最值問(wèn)題,可嘗試用局部代入法或整體代入法求解,前者是指先將條件等式變形,其中一個(gè)變量用其他變量表示,再代入所求式子中;后者是指將條件等式適當(dāng)變形后整體代入,也稱1的代換法或常數(shù)代換法.
例4(2020年江蘇卷)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是_________.
分析由條件等式求得x2,代入所求式子并整理后,可用基本不等式求出最小值.
本題主要考查基本不等式在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是把條件等式變形后整體代入,屬于中檔題.
變式1(2017年山東卷)若直線0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為_(kāi)_______.
變式2(2008年湖南卷)設(shè)0<x<1,則y=的最小值為( ).
A.24 B.25 C.26 D.1
變式3(2014年重慶卷)若log4(3a+4b)=,則a+b的最小值是( ).
變式4(2013年天津卷)設(shè)a+b=2,b>0,則當(dāng)a=________時(shí)取得最小值.
變式5(2019年天津卷)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則的最小值為_(kāi)_______.
答案1.8. 2.B. 3.D. 4.-2.5.
在條件最值問(wèn)題中,若條件等式和所求式子有一個(gè)符合基本不等式的特征,則可嘗試應(yīng)用基本不等式,把條件等式或其變形后的式子代入所求式子或其變形后的式子中求解.
例7(2018年天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則的最小值為_(kāi)_______.
分析先對(duì)所求表達(dá)式直接應(yīng)用基本不等式,再把已知條件代入求解即可.
本題考查應(yīng)用基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.解題的關(guān)鍵是對(duì)所求表達(dá)式應(yīng)用基本不等式后,再把已知條件代入,屬于中檔題.
變式(2011年天津卷)已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為_(kāi)________.
答案18.
在條件最值問(wèn)題中,若條件等式(或變形后)只含有兩數(shù)的和與積,則求兩數(shù)和(或積)的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題.先建立兩數(shù)和與積之間的不等關(guān)系,再把條件等式變成用和(或積)表示積(或和)的形式后代入.
例8(2010年浙江卷)若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是_________.
分析應(yīng)用基本不等式可得,把2x+y=xy-6代入后得到一個(gè)關(guān)于xy的不等式,解這個(gè)不等式即得.
解因?yàn)閤,y都是正數(shù).把2x+y=xy-6代入上式,得,即
本題主要考查基本不等式的應(yīng)用、換元思想和一元二次不等式的解法,解題關(guān)鍵是應(yīng)用基本不等式列出不等式,進(jìn)而得到一個(gè)關(guān)于的一元二次不等式,屬于中檔題.
變式1(2015年湖南卷)若實(shí)數(shù)a,b滿足,則ab的最小值為( ).
變式2(2010年重慶卷)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是( ).
變式3(2011年浙江卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是_________.
答案1.C. 2.B. 3.
例9(2020年海南卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,則( ).
分析選用基本不等式的變式和不等式的性質(zhì)不難得出結(jié)果.
解因?yàn)?=(a+b)2≤2(a2+b2),所以a2+故A正確.
因?yàn)閍>0,b>0且a+b=1,所以2(a+b)=2,所以,故D正確.
綜上,選ABD.
本題考查不等式的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,靈活運(yùn)用基本不等式的變式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
變式1(2015年上海卷)已知a>0,b>0,若a+b=4,則( ).
變式2(2010年安徽卷)若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是_________(寫出所有正確命題的編號(hào)).