◇ 李文東

數(shù)列的奇偶項是指數(shù)列中的奇數(shù)項與偶數(shù)項，高考和模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)按奇偶項分類求和的數(shù)列問題，這類題目對大部分學生來說難度較大，究其原因，主要是學生解題時缺乏思路.本文針對這一問題進行歸納總結(jié)，希望幫助同學們找到解題思路，以快速解決此類問題.

1 奇偶項數(shù)列的等差等比數(shù)列的證明

本題是按等比數(shù)列的定義來證明，證明過程中要注意下標的變化和適用范圍.

例2(2014年全國卷Ⅰ理17)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù).

(1)證明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，并說明理由.

(1)由題設anan＋1＝λSn－1，得an＋1an＋2＝λSn＋1－1，兩式相減，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由題設a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知a3＝λ＋1.

假設{an}為等差數(shù)列，則a1，a2，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2a2，解得λ＝4.

下面證明λ＝4時，{an}為等差數(shù)列.由an＋2－an＝4知，數(shù)列奇數(shù)項構成的數(shù)列{a2m－1}是首項為1、公差為4的等差數(shù)列，即a2m－1＝4m－3，令n＝2m－1，則m＝，所以an＝2n－1(n為奇數(shù)).

數(shù)列偶數(shù)項構成的數(shù)列{a2m}是首項為3、公差為4的等差數(shù)列，即a2m＝4m－1，令n＝2m，則所以an＝2n－1(n為偶數(shù))，所以an＝2n－1(n∈N?)，an＋1－an＝2.

因此，存在λ＝4，使得{an}為等差數(shù)列.

由an＋2－an＝λ，知數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成一個公差為λ的等差數(shù)列，從而可以分別求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，然后再證明{an}為等差數(shù)列.

2 奇偶項數(shù)列的前n項和

類型1an＋1＋an＝f(n)，于是an＋1＋an＋2＝f(n＋1)，從而an＋2－an＝f(n＋1)－f(n).特別地，若f(n)＝an＋b(a，b為常數(shù))，則an＋2－an＝a，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成一個公差為a的等差數(shù)列.

例3已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝4n－3(n∈N?).

(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；

(2)當a1＝2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則

由an＋1＋an＝4n－3，得

兩式相減，得an＋2－an＝4，由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，所以數(shù)列{a2n－1}是首項為a1＝2、公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列{a2n}是首項為a2＝－1、公差為4的等差數(shù)列，所以

當n為奇數(shù)時，an＝2n，an－1＝2n－7.

本例中由于數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成等差數(shù)列，其通項公式可分別求出，因此方法1對n分奇偶項討論并且每一種情況按奇數(shù)項和偶數(shù)項組合進行求和；方法2基于an＋1＋an＝4n－3的一個整體運用，將相鄰兩項組合后首先求得數(shù)列{an}的前2n項的和，進而得到n為偶數(shù)時的Sn，而當n為奇數(shù)時，利用Sn＝Sn＋1－an＋1來求.當然這里還是需要知道an＋1，這兩種方法是求解奇偶項數(shù)列前n項和的兩個基本策略.數(shù)列中的奇數(shù)項、偶數(shù)項的問題實質(zhì)上是將一個數(shù)列分成兩個新的數(shù)列進行考查，易搞錯的是新數(shù)列與原數(shù)列的項數(shù)、公差、公比的判定.

例4已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求S100.

由題意a2n＋a2n＋1＝n＋1，于是

我們只需要求出a100即可，由于a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1，故a100＝50－a50，a50＝25－a25，a25＝a12＋1，a12＝6－a6，a6＝3－a3，a3＝a1＋1＝2，得a100＝31，從而

本題采用鄰項結(jié)合、整體求解，關鍵是求出a100，這根據(jù)條件一步步倒推容易得出.

①中小型第三方物流企業(yè)，根據(jù)中國物流與采購聯(lián)合會和全國物流標準化技術委員會協(xié)助制定的《物流企業(yè)分類與評估指標》，認為中小物流企業(yè)的內(nèi)涵所謂中小型物流企業(yè)，是根據(jù)企業(yè)固定資產(chǎn)年營業(yè)額、年上繳利稅和企業(yè)員工規(guī)模劃分的一類企業(yè)形態(tài)[5]。當前一般指那些固定資產(chǎn)1000萬元以下、年營業(yè)額數(shù)百萬至數(shù)千萬、企業(yè)員工500人以下的為中小型物流企業(yè)。多數(shù)為單向型物流企業(yè)，它僅僅承擔和完成某一項或少數(shù)幾項物流功能[6]。

類型2an＋1·an＝f(n)，于是an＋1·an＋2＝f(n＋1)，從而.特別地，若f(n)＝a·qn(a，q為非零常數(shù))，則＝q，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成一個公比為q的等比數(shù)列.

例5已知數(shù)列{an}中

(1)求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}都是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

類型3an＋1＋(－1)nan＝f(n)，于是當n為奇數(shù)時，an＋1－an＝f(n)，n為偶數(shù)時，an＋1＋an＝f(n)；從而當n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)，故

于是

當n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，故

于是

特別地，若f(n)＝an＋b(a，b為常數(shù))，則

bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝f(4n－2)－f(4n－3)＋f(4n－1)＋f(4n－2)＝8an＋2b－2a，可見數(shù)列{bn}是一個首項為6a＋2b、公差為8a的等差數(shù)列.

例6(2012年全國卷Ⅰ理16)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為______.

方法1由題意得f(n)＝2n－1，于是當n為奇數(shù)時an＋2＋an＝f(n＋1)－f(n)＝2，當n為偶數(shù)時an＋2＋an＝f(n＋1)＋f(n)＝4n.故

方法2bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n是一個首項為10，公差為16的等差數(shù)列，于是

由題目分析知當n為奇數(shù)時，an＋2＋an＝an＋2＋an＋4＝2，從而an＋4＝an，若a1＝1，則a4n－3＝1，又a4n－3＋a4n－1＝2，故a4n－1＝1，于是當n為奇數(shù)時an＝1，an＋1－an＝2n－1，于是當n為偶數(shù)時an＝2n－2，即本題是一道填空題，故假設a1＝1也不失為一種有效的辦法.

3 通項含有(－1)n的數(shù)列的單調(diào)性問題

例7已知數(shù)列{an}(n∈N?)滿足a1＝1－3k，an＝4n－1－3an－1(n≥2，k∈R).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍.

數(shù)列的單調(diào)性問題，本質(zhì)上是an＋1－an＞0(或an＋1－an＜0)的不等式恒成立問題，數(shù)列{an}的通項公式中含(－1)n，就需對n進行奇偶性討論，確定(－1)n的值再分離變量轉(zhuǎn)化為數(shù)列最值問題.