(西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710089)

現(xiàn)階段，馬寶離與霍偉等人對(duì)雙臂空間機(jī)器人抓無(wú)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其控制進(jìn)行了深入探究；陳安軍等人詳細(xì)分析了平面雙連桿機(jī)構(gòu)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析相關(guān)問(wèn)題；肖濤與黃強(qiáng)等人深層研究了給定手作業(yè)軌跡的仿人機(jī)器人推操作；Mettin U, Hera P L, Freidovich L等人明確指出了基于虛擬約束的控制策略機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，尤其是三連桿機(jī)械臂軌跡跟蹤控制設(shè)計(jì)層面，因?yàn)槟Ｐ蛷?fù)雜性，導(dǎo)致反饋增益求取難度明顯增大。謝俊，匡俐輝等人構(gòu)建了新型串聯(lián)中醫(yī)推拿機(jī)械臂模型，并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)分析，同時(shí)基于Adams做了速度與加速度仿真。盡管當(dāng)前三連桿機(jī)械臂研究在不斷深入，且獲得一定成果，但是針對(duì)控制器的參數(shù)化設(shè)計(jì)方式相對(duì)繁雜，控制器結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜[1]。因此本文面向三連桿機(jī)械臂進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)與直接參數(shù)化算法研究，基于三連桿機(jī)械臂控制器設(shè)計(jì)，明確指出簡(jiǎn)潔的、優(yōu)化的直接參數(shù)化方法，不僅實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂動(dòng)力閉環(huán)系統(tǒng)特征結(jié)構(gòu)優(yōu)化配置，還獲得所需特征結(jié)構(gòu)，在很大程度上改善了系統(tǒng)整體性能。

1 三連桿機(jī)械臂模型分析

就連桿i(1,2,3)而言，mi代表連桿質(zhì)量；Li代表長(zhǎng)度；Lei代表連桿從前關(guān)節(jié)與中心的具體間距；Ji代表慣性力矩，連桿慣性力矩通過(guò)其中心軸與XY相垂直的平面；βi代表連桿與Y軸正半軸向之間的測(cè)量角。三連桿機(jī)械臂模型[2]示意圖具體如圖1所示。

為便于計(jì)算分析，以此進(jìn)行明確標(biāo)記[3]，即

(1)

機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程，如式(2)所示：

W(β)β″+V(β,β′)β′+M(β)=Sτ

(2)

式中：τ為控制力矩向量。

圖1 三連桿機(jī)械臂

基于三連桿機(jī)械臂動(dòng)態(tài)化方程，選擇直接參數(shù)化算法，通過(guò)特征結(jié)構(gòu)進(jìn)行機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)移于直立平衡點(diǎn)的控制規(guī)律進(jìn)行優(yōu)化配置設(shè)計(jì)，從而保障三連桿機(jī)械臂控制的穩(wěn)定性與可靠性[4]。

面向三連桿機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)要求為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定安全，促使機(jī)械臂保持于穩(wěn)定狀態(tài)，順利轉(zhuǎn)移到直立平衡點(diǎn)，即

β=0，β′=0

(3)

就機(jī)械手運(yùn)動(dòng)方程為載體，合理設(shè)計(jì)包含兩個(gè)重要組成部分的機(jī)械臂控制器[5]。即

τ=τe+τf

(4)

τe負(fù)責(zé)補(bǔ)償系統(tǒng)的M(β)，即

τe=S-1M(β)

(5)

τf為狀態(tài)反饋控制規(guī)律，即

(6)

式中：T0(β,β′)與T1(β,β′)為反饋增益；υ為外部輸入信號(hào)，一般情況下，在仿真驗(yàn)證時(shí)會(huì)直接忽視。

將機(jī)械臂控制器帶入機(jī)械手運(yùn)動(dòng)方程，可獲得閉環(huán)系統(tǒng)，即

W(β)β″+[V(β,β′)-ST1(β,β′)]β′-ST0(β,β′)β=Sυ

(7)

2 反饋控制律問(wèn)題求解

針對(duì)反饋控制律問(wèn)題設(shè)計(jì)求解，以促使閉環(huán)系統(tǒng)成為具備所期望線性系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)。在具體問(wèn)題中，W(β)行列式值并非為0。設(shè)定：

(8)

那么閉環(huán)系統(tǒng)公式可以轉(zhuǎn)變?yōu)橐浑A模式，即

γ′=Ue(β,β′)γ+Se(β,β′)υ

(9)

式中:

(10)

(11)

所以，促使Ue(β,β′)與任何給定相同維度常數(shù)矩陣相類似。

具體求解問(wèn)題可明確描述為此形式，即：?jiǎn)栴}TLR，給定機(jī)械手運(yùn)動(dòng)方程，任何選擇矩陣集F∈R2n×2n，發(fā)現(xiàn)常數(shù)非奇異矩陣集N∈R2n×2n與反饋增益矩陣T0(β,β′)、T1(β,β′)，n代表矩陣維數(shù)，以滿足相關(guān)條件，即

N-1Ue(β,β′)N=F

(12)

所以，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣，即

Ue(β,β′)=NFN-1

(13)

而常數(shù)矩陣明確定義為

(14)

后續(xù)問(wèn)題即如何求取相關(guān)參數(shù)，以促使問(wèn)題得以圓滿解決[6]。

3 直接參數(shù)化算法設(shè)計(jì)

就參數(shù)矩陣集選取約束條件與方式方法，其中包含Zariski開(kāi)集定義，基于相關(guān)定理，可給定三連桿機(jī)械臂機(jī)械手運(yùn)動(dòng)方程直接參數(shù)化算法具體流程[7]。

首先，矩陣集F結(jié)構(gòu)。所謂矩陣集F一般代表Jordan形或?qū)切?。為保障其為Hurwitz矩陣，要求特征值都保持在復(fù)平面左半部分，則

λi(F)∈C-，i=1,2,3…,6

(15)

在遇到特殊情況時(shí)，矩陣集F可根據(jù)具體情況具體明確，在控制器仿真驗(yàn)證時(shí)，選擇相對(duì)簡(jiǎn)單的Hurwitz矩陣。

其次，最優(yōu)化問(wèn)題。就系統(tǒng)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求，構(gòu)建性能指標(biāo)，即

J=J(F,Z)

(16)

其中，主要關(guān)于F與Z標(biāo)量函數(shù)，以此構(gòu)成以下最優(yōu)化問(wèn)題，即

(17)

但是在大多數(shù)具體問(wèn)題中，因?yàn)閹缀跞我饩仃嘮都能夠滿足相關(guān)要求，因此約束條件一般都會(huì)被忽視。

再次，選取所需參數(shù)。通過(guò)性能最優(yōu)化算法，計(jì)算選擇最優(yōu)或者次級(jí)優(yōu)化參數(shù)矩陣集。在仿真驗(yàn)證過(guò)程中，通過(guò)前兩個(gè)步驟引理可知，最優(yōu)化問(wèn)題可直接忽略。

然后，控制器反饋增益計(jì)算分析。對(duì)反饋增益參數(shù)化表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算分析，特殊狀況下，通過(guò)獲得閉環(huán)特征向量矩陣N，那么閉環(huán)系統(tǒng)矩陣可通過(guò)Ue=NFN-1計(jì)算獲取。

最后，仿真驗(yàn)證?；跀?shù)值仿真進(jìn)行直接參數(shù)化算法有效性驗(yàn)證，以證明其在實(shí)際應(yīng)用模型中的實(shí)效性。

4 仿真驗(yàn)證分析

構(gòu)建三連桿機(jī)械臂模型，包含三個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，即主軀干臂與水平面運(yùn)動(dòng)、主軀干臂與次軀干臂運(yùn)動(dòng)、次軀干臂與吊臂運(yùn)動(dòng)。通過(guò)對(duì)機(jī)械臂單次拉伸動(dòng)作控制仿真研究，證明直接參數(shù)化算法應(yīng)用于機(jī)械臂控制器的最終實(shí)際效果。

4.1 機(jī)械臂模型構(gòu)建

三連桿機(jī)械臂模型構(gòu)建主要?jiǎng)澐譃閮纱蟛糠?，即機(jī)械臂剛體部分，各個(gè)連桿臂與關(guān)節(jié)之間對(duì)接，物理參數(shù)設(shè)置具體如表1所示；關(guān)節(jié)控制部分，各關(guān)節(jié)基于控制信號(hào)通過(guò)控制器的控制回路對(duì)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行有效控制[8]。

表1 三連桿機(jī)械臂模型參數(shù)

其中，重力加速度g為-9.8m/s2。

4.2 控制器參數(shù)優(yōu)化

通過(guò)直接參數(shù)化算法優(yōu)化控制器參數(shù)的方法面向各個(gè)參數(shù)尋優(yōu)，對(duì)三連桿機(jī)械臂關(guān)節(jié)響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行綜合考察，同時(shí)與基于z-n臨界比例度法整定的響應(yīng)結(jié)果比較分析。直接參數(shù)化算法參數(shù)具體即：最大迭代數(shù)為104；加速度常數(shù)為1.21；慣性權(quán)重為0.92；適應(yīng)度函數(shù)指標(biāo)權(quán)重為0.53。三連桿機(jī)械臂關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度以激勵(lì)信號(hào)為依據(jù)采取階躍信號(hào)，信號(hào)參數(shù)具體如表2所示。

表2 控制信號(hào)參數(shù)

通過(guò)z-n臨界比例度法與直接參數(shù)化算法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行整定分析。兩種不同算法整定之后，機(jī)械臂關(guān)節(jié)在既定時(shí)間內(nèi)響應(yīng)曲線[9]具體如圖2～圖4所示。

圖2 關(guān)節(jié)一4s以內(nèi)響應(yīng)曲線

圖3 關(guān)節(jié)二2s以內(nèi)響應(yīng)曲線

圖4 關(guān)節(jié)三2s以內(nèi)響應(yīng)曲線

由圖2～圖4可知，直接參數(shù)化算法在進(jìn)行機(jī)械臂關(guān)節(jié)響應(yīng)優(yōu)化之后，并沒(méi)有出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象，在0.2 s周圍到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，超調(diào)量適宜。由于調(diào)節(jié)時(shí)間較短，可明確機(jī)械臂拉伸動(dòng)作為一步到位，從而直接獲得了機(jī)械臂的良好控制效果，這就直接證明了直接參數(shù)化算法在三連桿機(jī)械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中的有效性。

此外，基于響應(yīng)曲線測(cè)試的系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量與調(diào)節(jié)時(shí)間，面向直接參數(shù)化算法與z-n臨界比例度法在三連桿機(jī)械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中的實(shí)際效果進(jìn)行對(duì)比分析，具體指標(biāo)[10]如表3所示。

表3 關(guān)節(jié)響應(yīng)性能指標(biāo)

由表3可知，在工業(yè)層面應(yīng)用較為廣泛的z-n臨界比例度法在三連桿機(jī)械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中的效果并不顯著，但是直接參數(shù)化算法在超調(diào)量指標(biāo)層面可獲得顯著優(yōu)勢(shì)，且調(diào)節(jié)時(shí)間較短，這就表明直接參數(shù)化算法在三連桿機(jī)械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中更具優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

總之，通過(guò)三連桿機(jī)械臂動(dòng)力模型，明確直接參數(shù)化算法，有效解決系統(tǒng)特征結(jié)構(gòu)配置問(wèn)題，促使閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性系統(tǒng)，并且具備所需特性結(jié)構(gòu)?；赟imulink仿真驗(yàn)證直接參數(shù)化算法，結(jié)果表明，直接參數(shù)化算法不僅簡(jiǎn)潔可靠，還能獲取所期系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征；控制器可實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)于直立平衡點(diǎn)位置；直接參數(shù)化算法可顯著優(yōu)化機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間與超調(diào)量，在參數(shù)優(yōu)化后，機(jī)械臂拉伸動(dòng)作關(guān)節(jié)響應(yīng)既消除了振動(dòng)，又減小了超調(diào)量，且調(diào)節(jié)耗費(fèi)時(shí)間非常短。