武周虎, 王 瑜, 祝帥舉,2

(1.青島理工大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院，山東 青島 266033；2.河南省城鄉(xiāng)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究總院有限公司，河南 鄭州 450044)

在水利、水電、調(diào)水、灌溉等穿越工程的輸水中，較多采用無壓隧洞形式，其正常水深和臨界水深是無壓隧洞的重要設(shè)計(jì)參數(shù)。對于現(xiàn)行的圓形、馬蹄形、蛋形等無壓隧洞斷面形狀，正常水深和臨界水深的計(jì)算大多涉及超越方程，無法求得解析解。近年來，在圓形[1-2]、馬蹄形[3-4]、蛋形[5-6]等無壓隧洞斷面正常水深和臨界水深的直接求解研究中，較多采用迭代法、函數(shù)替代擬合法等，得到了一系列精度較高的直接計(jì)算公式。

馬蹄形、蛋形等無壓隧洞斷面的內(nèi)輪廓線是由圓心位置、半徑不同的多段圓弧相切或相交組成。以四圓弧馬蹄形斷面為例，就有半徑r1、r2、r3和切點(diǎn)高度h1、h2(或圓心角)共5個(gè)獨(dú)立變量，各變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系復(fù)雜，水力要素計(jì)算公式的分區(qū)表達(dá)不可避免，導(dǎo)致在正常水深和臨界水深的計(jì)算過程中，需先以分界流量或者充滿度的范圍來界定各分區(qū)，通用性不強(qiáng)[3-6]。在實(shí)際工程應(yīng)用中，各水深計(jì)算公式的選擇比較困惑。武周虎等[7-8]推導(dǎo)的寬闊河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下保守物質(zhì)的等濃度線方程，可作為一種新型Wu’s二參數(shù)曲線(以下定義為異形橢圓)水工隧洞斷面內(nèi)輪廓線方程。該斷面形狀只有2個(gè)獨(dú)立變量，曲線完整且連續(xù)光滑，克服了馬蹄形、蛋形等斷面曲線的分段組合及水力要素公式的分區(qū)問題。從結(jié)構(gòu)特征上來講，異形橢圓斷面曲線可以克服馬蹄形、蛋形等斷面曲線在相交或相切點(diǎn)處一階或二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)、曲率突變和應(yīng)力集中現(xiàn)象。因此，異形橢圓在水工隧洞、交通隧道等工程中具有非常廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值[9-11]。

本文基于無壓隧洞最大寬度W與最大高度H相等的標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面形式，在系統(tǒng)歸納標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面水力要素計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)明渠均勻流和臨界流基本方程，引入量綱一參數(shù)和采用曲線優(yōu)化擬合的分析方法，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面正常水深和臨界水深的變化特征，在工程應(yīng)用范圍內(nèi)，提出標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面正常水深和臨界水深的直接計(jì)算公式，并進(jìn)行誤差和算例分析。

1 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的水力要素

1.1 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面曲線方程

異形橢圓斷面曲線是基于寬闊河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下，保守物質(zhì)濃度分布的等濃度線方程推演而來的[7-8]，是由一個(gè)獨(dú)立兩參數(shù)方程表征的完整連續(xù)光滑曲線，其Wu’s曲線方程[9-10]為

(1)

式中：z為自隧洞斷面底部中點(diǎn)向上的垂向坐標(biāo)，即表征斷面的高度坐標(biāo)，取值范圍為0≤z≤H；y為垂直于z軸的橫向坐標(biāo)，即表征斷面的寬度坐標(biāo)，取值范圍為-W/2≤y≤W/2。異形橢圓斷面最大寬度處相應(yīng)的垂向坐標(biāo)為zw=H/e≈0.368H。

定義異形橢圓的壓縮系數(shù)為非對稱軸y方向的寬度與對稱軸z方向的高度之比，以θ=W/H表示。據(jù)此，將異形橢圓的形狀分類為：當(dāng)壓縮系數(shù)θ=1時(shí)，異形橢圓的寬度等于高度，稱為標(biāo)準(zhǔn)型；當(dāng)0<θ<1時(shí)，異形橢圓的寬度小于高度，稱為H型(高瘦型)；當(dāng)θ>1時(shí)，異形橢圓的寬度大于高度，稱為W型(寬胖型)。對于標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面，為便于分析討論，定義斷面參數(shù)H，則標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面曲線方程為

(2)

由式(2)繪制的標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面及其特征尺度如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面及其特征尺度示意圖

1.2 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的水力要素計(jì)算

在無壓隧洞內(nèi)任一水深h處，其充滿度(即相對水深)α=h/H，結(jié)合壓縮系數(shù)θ=1的標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的參數(shù)H，對文獻(xiàn)[10]中異形橢圓斷面的水力計(jì)算公式進(jìn)行簡化整理，可得到標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的水力要素計(jì)算公式。

a. 水面寬度。在式(2)中，令z=h，則水深h相應(yīng)充滿度α所對應(yīng)的水面寬度B的表達(dá)式為

(3)

b. 過水?dāng)嗝婷娣e。由圖1可知，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的過水?dāng)嗝婷娣e為水面線與其下部斷面曲線所包圍部分的面積。在z∈[0,h]區(qū)間上，對式(2)變形后y=f(z)函數(shù)的2倍求定積分，令z/H=ζ，其積分上限變?yōu)槌錆M度α，則過水?dāng)嗝婷娣eA的表達(dá)式為

(4)

c. 濕周。由圖1可知，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的濕周為水面線下部斷面輪廓曲線的弧長。在z∈[0,h]區(qū)間上，對標(biāo)準(zhǔn)形異形橢圓斷面曲線方程y=f(z)函數(shù)求2倍弧長定積分，則過水?dāng)嗝鏉裰艿谋磉_(dá)式為

T(α)H

(5)

式中：y′為y=f(z)的一階導(dǎo)數(shù)；T為標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓過水?dāng)嗝娴臐裰芟禂?shù)。當(dāng)α=1時(shí)，由MATLAB數(shù)值積分計(jì)算結(jié)果，T(1)=3.191 244為斷面最大濕周系數(shù)，相應(yīng)的濕周為隧洞滿管流斷面的周長L。

d. 水力半徑。水力半徑為過水?dāng)嗝婷娣e與濕周之比，由式(4)與式(5)可得

(6)

式中：R′為標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓過水?dāng)嗝嫠Π霃脚c斷面參數(shù)H的比值，即相對水力半徑。

2 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的正常水深

2.1 明渠均勻流基本方程

明渠均勻流水深稱為正常水深，是明渠水面線分析計(jì)算的基礎(chǔ)參數(shù)，也是無壓隧洞設(shè)計(jì)的重要參數(shù)。明渠均勻流基本方程[12]為

(7)

式中：Q為輸水流量，m3/s；i為底坡；n為糙率。

將式(4)和式(5)代入式(7)，整理可得到關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面正常水深的隱函數(shù)表達(dá)式：

(8)

式中兩個(gè)等號中間的表達(dá)式為充滿度或正常水深的隱含關(guān)系式。將式(8)右邊的表達(dá)式設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的正常水深模數(shù)ηn：

(9)

由式(8)可知，正常水深模數(shù)ηn與充滿度α之間存在隱函數(shù)關(guān)系ηn=f(α)。可根據(jù)已知的隧洞斷面特性參數(shù)及水流條件(糙率n、底坡i、斷面參數(shù)H和流量Q等)由式(9)求得ηn，而式(8)兩個(gè)等號中間關(guān)于α的表達(dá)式包含對數(shù)、積分和指數(shù)運(yùn)算，因此，仍然無法根據(jù)正常水深模數(shù)直接求得與其相應(yīng)的充滿度解析解。

2.2 正常水深的簡化計(jì)算

為解決充滿度解析解求解問題，獲得標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面正常水深的直接計(jì)算公式，采用函數(shù)替代法，將求解正常水深的問題轉(zhuǎn)化為尋求量綱一參數(shù)之間的近似函數(shù)關(guān)系。首先，通過預(yù)先給定取值范圍內(nèi)的一系列α值，計(jì)算得到對應(yīng)ηn的理論值，點(diǎn)繪α-ηn曲線；其次，擬合該曲線得到α與ηn之間的高精度顯函數(shù)表達(dá)式αn=f(ηn)作為替代函數(shù)。可將隧洞斷面特性參數(shù)及水流條件代入式(9)求得ηn值，再將ηn代入其替代函數(shù)計(jì)算正常水深相應(yīng)的充滿度αn，就可以由hn=αnH計(jì)算正常水深hn。

在0≤α≤1.000范圍內(nèi)，以0.001為步長取1 000個(gè)計(jì)算點(diǎn)，代入式(8)采用MATLAB計(jì)算兩個(gè)等號中間表達(dá)式值，即為與其對應(yīng)正常水深模數(shù)ηn的理論值，并以α為縱坐標(biāo)，ηn為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪其理論值關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面正常水深模數(shù)變化曲線

由圖2和計(jì)算數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0≤α≤0.935時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的正常水深模數(shù)ηn隨充滿度α的增大單調(diào)增大；當(dāng)0≤α<0.368時(shí)，曲線斜率逐漸減小；當(dāng)0.368≤α<0.935時(shí)，曲線斜率逐漸增大；當(dāng)α=0.935時(shí)，正常水深模數(shù)達(dá)到極大值0.531 211。當(dāng)α進(jìn)一步增大，正常水深模數(shù)由極大值逐漸減小到滿管流相應(yīng)的理論值。

根據(jù)SL 279—2016《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》的規(guī)定：在恒定流情況下，當(dāng)通氣條件良好時(shí)，洞內(nèi)水面線以上空間不宜小于隧洞斷面面積的15%。因此，滿足規(guī)范要求的過水?dāng)嗝鎽?yīng)符合以下條件：

A/A1≤0.85

(10)

將式(4)代入式(10)整理得到：

(11)

由于式(11)無法直接求解α值，故采用試算法。當(dāng)A/A1=0.85時(shí)，試算得到α=0.766 711，即該值為符合規(guī)范要求的充滿度上限。

對擬合區(qū)間適當(dāng)外延，取α上限為0.800，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)取α下限為0.030，即充滿度的擬合范圍確定為0.030≤α≤0.800，對應(yīng)的0.014 455≤A/A1≤0.880 370，一般能夠滿足無壓隧洞的應(yīng)用要求。如遇到在給定區(qū)間之外的情況，可根據(jù)式(8)采用MATLAB計(jì)算確定。

對0.030≤α≤0.800范圍內(nèi)的充滿度α與正常水深模數(shù)ηn采用最小二乘法，通過MATLAB編程擬合。如果采用非分段函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)方式，會(huì)導(dǎo)致公式的形式非常復(fù)雜，涉及參數(shù)較多[13-14]。因此，根據(jù)圖2正常水深模數(shù)曲線的變化特征，選擇標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面最大寬度位置高度(zw=H/e)相應(yīng)的充滿度α=0.368作為擬合區(qū)間分段點(diǎn)。通過多次擬合與優(yōu)化分析，提出分兩段擬合的正常水深模數(shù)直接計(jì)算公式為

(12)

式中:條件①為0.030≤α<0.368，0.001 430≤ηn<0.178 512；條件②為0.368≤α≤0.800,0.178 512≤ηn≤0.494 646。

由實(shí)際明渠參數(shù)及水流條件求得正常水深模數(shù)ηn，判斷其所在區(qū)間，選用相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的充滿度αn計(jì)算公式，求得正常水深對應(yīng)的αn，則標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的正常水深hn=αnH。

3 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的臨界水深

3.1 明渠臨界流基本方程

在明渠流量、斷面形狀和尺寸一定的情況下，急流與緩流這兩種流態(tài)分界狀態(tài)的斷面單位能量最小，稱為臨界流，與此相應(yīng)的臨界水深是判別明渠流態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)之一。因此，臨界水深的計(jì)算是無壓隧洞設(shè)計(jì)的又一重要參數(shù)。明渠臨界流基本方程[12]為

(13)

式中：a為動(dòng)能修正系數(shù)，一般取1.0；g為重力加速度，取9.81 m/s2；Acr為臨界水深對應(yīng)的過水?dāng)嗝婷娣e，m2；Bcr為臨界水深對應(yīng)的水面寬度，m。

由式(13)可知，臨界水深僅與明渠流量、斷面形狀和尺寸有關(guān)，而與底坡i及糙率n無關(guān)。將式(3)和式(4)代入式(13)中，整理可得到關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面臨界水深的隱函數(shù)表達(dá)式為

(14)

式中兩個(gè)等號中間表達(dá)式為充滿度或臨界水深的隱含關(guān)系式。將式(14)右邊的表達(dá)式設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的臨界水深模數(shù)ηcr：

(15)

由式(14)可知，臨界水深模數(shù)ηcr與充滿度α之間也存在隱函數(shù)關(guān)系ηcr=f(α)。可根據(jù)已知的隧洞斷面特性參數(shù)及水流條件(斷面參數(shù)H和流量Q等)由式(15)求得ηcr，而式(14)兩個(gè)等號中間關(guān)于α的表達(dá)式包含對數(shù)、積分和指數(shù)運(yùn)算，因此，仍然無法根據(jù)臨界水深模數(shù)直接求得與其相應(yīng)的充滿度解析解。

3.2 臨界水深的簡化計(jì)算

臨界水深的簡化計(jì)算采用與正常水深相同的方法。在0≤α≤1.000范圍內(nèi)，以0.001為步長取1 000個(gè)計(jì)算點(diǎn)，代入式(14)采用MATLAB計(jì)算兩個(gè)等號中間表達(dá)式值，即為與其對應(yīng)臨界水深模數(shù)ηcr的理論值，并以α為縱坐標(biāo)，ηcr為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪其理論值關(guān)系曲線，見圖3。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面臨界水深模數(shù)變化曲線

由圖3和計(jì)算數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0≤α≤1.000時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的臨界水深模數(shù)ηcr隨充滿度α的增大單調(diào)增大；當(dāng)0≤α<0.368時(shí)，曲線斜率較大，ηcr增長緩慢；當(dāng)0.368≤α<0.980時(shí)，曲線斜率逐漸減小，ηcr的增長隨之加快；當(dāng)0.980≤α<1.000時(shí)，ηcr曲線以水平線為漸近線，ηcr迅速增長，當(dāng)α=1.000滿管流時(shí)ηcr的理論值趨向于無窮大。

標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面臨界水深直接計(jì)算公式采用與正常水深直接計(jì)算公式相同的充滿度分段擬合區(qū)間。通過MATLAB采用最小二乘法編程多次擬合與優(yōu)化分析，提出分兩段擬合的臨界水深模數(shù)直接計(jì)算公式為

(16)

式中:條件①為0.030≤α<0.368， 0.000 003≤ηcr<0.030 254;條件②為0.368≤α≤0.800, 0.030 254≤ηcr≤0.492 807。

由實(shí)際明渠參數(shù)及水流條件求得臨界水深模數(shù)ηcr，判斷其所在區(qū)間，選用相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的充滿度αcr計(jì)算公式，求得臨界水深對應(yīng)的充滿度αcr，則標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的臨界水深hcr=αcrH。

4 直接計(jì)算公式評價(jià)

正常水深和臨界水深直接計(jì)算公式的精度評價(jià)采用相對誤差分析法，相對誤差δi計(jì)算公式為

(17)

式中：α為充滿度給定值；αi為正常水深或臨界水深對應(yīng)的充滿度簡化計(jì)算值，在正常水深計(jì)算時(shí)，下標(biāo)i=n，在臨界水深計(jì)算時(shí)，下標(biāo)i=cr。

由式(12)(16)計(jì)算的量綱一正常水深與臨界水深的相對誤差分布如圖4所示。

圖4 正常水深和臨界水深計(jì)算公式相對誤差分布

由圖4和計(jì)算數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0.030≤α<0.368時(shí)，正常水深直接計(jì)算公式的相對誤差絕對值平均為0.034%，最大為0.329%；當(dāng)0.368≤α≤0.800時(shí)，相對誤差絕對值平均為0.103%，最大為0.362%，表明正常水深直接計(jì)算公式具有較高的精度。

由圖4和計(jì)算數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0.030≤α<0.368時(shí)，臨界水深直接計(jì)算公式的相對誤差絕對值平均為0.045%，最大為0.288%；當(dāng)0.368≤α≤0.800時(shí)，相對誤差絕對值平均為0.030%，最大為0.139%，表明臨界水深直接計(jì)算公式具有較高的精度。

5 算 例

某無壓隧洞擬采用標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面，已知隧洞斷面最大高度H=4.5 m，底坡i=0.004，糙率n=0.014，分別計(jì)算流量Q=15 m3/s和Q=48 m3/s時(shí)的正常水深hn和臨界水深hcr。

5.1 正常水深計(jì)算

a. 當(dāng)Q=15 m3/s時(shí)，由式(9)可得ηn=0.095 494<0.178 512，采用式(12)計(jì)算得αn=0.254 523，進(jìn)而求得hn=1.145 354 m。經(jīng)試算相應(yīng)的正常水深理論值為1.145 234 m，相對誤差為0.010%。

b. 當(dāng)Q=48 m3/s時(shí)，由式(9)可得ηn=0.305 581>0.178 512，采用式(12)計(jì)算得αn=0.522 893，進(jìn)而求得hn=2.353 019 m。經(jīng)試算相應(yīng)的正常水深理論值為2.353 613 m，相對誤差為-0.025%。

5.2 臨界水深計(jì)算

a. 當(dāng)Q=15 m3/s時(shí)，由式(15)可得ηcr=0.012 429<0.030 254，采用式(16)計(jì)算得αcr=0.286 599，進(jìn)而求得hcr=1.289 696 m。經(jīng)試算相應(yīng)的臨界水深理論值為1.289 982 m，相對誤差為-0.022%。

b. 當(dāng)Q=48 m3/s時(shí)，由式(15)可得ηcr=0.127 277>0.030 254，采用式(16)計(jì)算得αcr=0.553 566，進(jìn)而求得hcr=2.491 047 m。經(jīng)試算相應(yīng)的臨界水深理論值為2.489 988 m，相對誤差為0.043%。

在已知條件下，由臨界水深均大于正常水深判斷，該標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面無壓隧洞在通過流量15 m3/s和48 m3/s時(shí)均發(fā)生急流狀態(tài)的均勻流動(dòng)。

6 結(jié) 論

a. 歸納了標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面的水力要素計(jì)算公式，推導(dǎo)了正常水深和臨界水深方程，引入正常水深模數(shù)ηn和臨界水深模數(shù)ηcr，給出了相應(yīng)的隱函數(shù)方程。

b. 采用函數(shù)替代法，在充滿度0.030≤α≤0.800范圍內(nèi)，以α=0.368為分界點(diǎn)，對α與ηn、α與ηcr分別進(jìn)行擬合和優(yōu)化分析，獲得了分段直接計(jì)算公式。

c. 分析表明，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面正常水深和臨界水深直接計(jì)算公式相對誤差的絕對值最大分別為0.362%和0.288%，均能達(dá)到較高的精度。