丁枝仁 宋秋前

（1.龍泉市西新教育集團，浙江 麗水 323700；2.浙江海洋大學(xué) 師范學(xué)院，浙江 舟山 316022）

數(shù)學(xué)學(xué)科知識是一個縱橫交錯、相互關(guān)聯(lián)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。要使小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更加有效，教師必須運用整體把握思想，加強教學(xué)的整體性與結(jié)構(gòu)化，從而優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

一、課前準(zhǔn)備時基于學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體把握

課前預(yù)設(shè)關(guān)系到一節(jié)課的成敗。教師在分析和處理教材時，要從該冊教材在學(xué)段中的地位，每個單元的縱橫聯(lián)系，以及重點課時教學(xué)的組織關(guān)聯(lián)，整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而為學(xué)生課堂深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（一）把握教材編排定位

1.整體把握該冊教材在整個學(xué)段的位置

學(xué)期初始，教師不僅要從學(xué)段、年級等大視角對即將教學(xué)的全冊教材內(nèi)容的知識起點、技能基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累程度、數(shù)學(xué)思維和方法水平等進行精準(zhǔn)定位，還要對本冊內(nèi)容將為哪些后繼學(xué)習(xí)做知識和能力的鋪墊進行研究，以找準(zhǔn)本冊教材相關(guān)知識在學(xué)段編排中的位置。只有把每個學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容置于整個學(xué)段教材編排體系的大視角中進行整體把握，才能讓教師在教學(xué)之前建立起一個清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，在精準(zhǔn)備課上游刃有余。這時教師非常有必要閱讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教師教學(xué)用書中的有關(guān)內(nèi)容。

2.整體梳理該冊教材單元內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系

備課時，教師要對全冊教材的教學(xué)內(nèi)容進行一次全面梳理,理清不同單元和知識領(lǐng)域之間的實質(zhì)關(guān)聯(lián)，以及數(shù)學(xué)概念和思想方法螺旋上升的編排邏輯。在教材梳理時，教師可借助教學(xué)用書研究數(shù)學(xué)教材，按“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐”四個領(lǐng)域，以表格形式對教材內(nèi)容的所屬領(lǐng)域、單元名稱、課時內(nèi)容、課時目標(biāo)、課時安排、評價建議等要素進行分類歸納，整體梳理該冊教材單元內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，明確教材每個知識領(lǐng)域的具體教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。需要注意的是，在總課時不變的前提下，教師還要根據(jù)學(xué)生實際情況和教學(xué)需求對單元課時安排進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整或增刪。

（二）注重單元整體備課

要使學(xué)生掌握的知識不是零散雜亂的堆砌，而是一個鏈條和網(wǎng)絡(luò)，并形成良好的認知結(jié)構(gòu)，教師必須注重單元整體備課，加強單元內(nèi)容的系統(tǒng)把握，將零碎的課時知識點整合為單元整體性的知識結(jié)構(gòu)。教師應(yīng)重視通過單元內(nèi)容和學(xué)情分析確定單元整體目標(biāo)，通過調(diào)整順序、整合課時、共性遷移等方式，對教材進行適當(dāng)重組，使之更加符合學(xué)生的認知規(guī)律。

1.調(diào)整順序

課堂教學(xué)內(nèi)容的安排既要遵從學(xué)科的知識邏輯順序，又要遵從學(xué)生的心理邏輯順序，把學(xué)科知識邏輯與學(xué)生心理邏輯結(jié)合起來。[1]因此，單元整體備課時，教師首先要分析單元內(nèi)前后課時知識之間的邏輯關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，要結(jié)合教學(xué)對象的具體學(xué)情，合理組織教學(xué)內(nèi)容，對單元內(nèi)容的教學(xué)順序作出適當(dāng)調(diào)整，設(shè)計更加有利于學(xué)情的知識教學(xué)順序。教學(xué)實踐表明，機械地按照固定的教材順序進行教學(xué)，不利于學(xué)生對知識的理解、掌握和運用。在單元整體備課時，教師如能根據(jù)學(xué)情，尤其是教學(xué)對象的認知結(jié)構(gòu)和思維特點，及時調(diào)整教材的教學(xué)順序，恰當(dāng)制造認知沖突，便有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和好奇心理，促進知識的深度學(xué)習(xí)和認知探究。

2.整合課時

編排到一個單元的知識內(nèi)容一定是聯(lián)系緊密、呈現(xiàn)方式相近、教學(xué)方法類同的內(nèi)容。因此，在單元整體備課時，教師要從學(xué)情出發(fā)，對內(nèi)容相似、容易混淆的內(nèi)容進行適當(dāng)課時整合，提供類似的素材，讓學(xué)生進行對比、辨析，在深度思考和爭辯中實現(xiàn)對知識本質(zhì)的理解，完成知識的自主建構(gòu)。例如，加法的交換律、結(jié)合律與乘法的交換律、結(jié)合律，因為結(jié)構(gòu)類似、方法共性，完全可以進行課時的整合。

3.共性遷移

一般而言，同一單元內(nèi)容具有較強的內(nèi)在邏輯性，知識類同，編排結(jié)構(gòu)相似。鑒于此，教師要善于捕捉不同課時學(xué)習(xí)方法和教學(xué)環(huán)節(jié)的共性，使之遷移到相似的學(xué)習(xí)任務(wù)之中，讓學(xué)生在掌握了學(xué)習(xí)方法后，在新的學(xué)習(xí)中能借助自主探究模式進行主動建構(gòu)。如平面圖形公式的推導(dǎo)，在學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式時，教師通過讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗證—概括—應(yīng)用”這一學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，充分體驗動手操作、合作交流的學(xué)習(xí)方法，然后將這一學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和探究方法遷移到三角形和梯形面積公式推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生根據(jù)積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗自主探索，從而實現(xiàn)單元知識學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)的整體目標(biāo)。

（三）關(guān)注核心課時設(shè)計

在單元中總會有一兩個課時知識特別重要，能起到串聯(lián)整個單元教學(xué)的關(guān)鍵作用，這樣的課時是單元教學(xué)核心課時。核心課時內(nèi)容可能是承上啟下的知識紐帶，也可能是后繼知識學(xué)習(xí)的起點和基礎(chǔ)，還可能是學(xué)生進行此類知識學(xué)習(xí)的方法起始課，是以后進行探究、操作、合作等學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。教師要通過對單元知識本質(zhì)的分析理解，確定核心課時，關(guān)注該課時的教學(xué)設(shè)計，促進學(xué)生知識結(jié)構(gòu)化，提高學(xué)生掌握同一類知識的能力。

例如，教學(xué)“長方體”這個單元時，教師可以重點關(guān)注“長方體的認識”這一核心課時的設(shè)計，通過觀察、分類、操作、討論等探索活動，引導(dǎo)學(xué)生理清長方體頂點、棱、面的特點，認識長方體的結(jié)構(gòu)特征，建構(gòu)長方體立體模型，從而實現(xiàn)從一維到二維再到三維空間觀念的飛躍，為單元后續(xù)學(xué)習(xí)表面積、體積的計算積累豐富的知識技能和探究經(jīng)驗，強化前后知識的聯(lián)系，提升學(xué)習(xí)能力。

二、課堂教學(xué)時基于學(xué)習(xí)目標(biāo)的整體把握

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需達成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，要從把握知識本質(zhì)、促成意義建構(gòu)、體驗思維方法、獲得情感體驗等維度進行整體考量，所以教學(xué)時要關(guān)注目標(biāo)的全面落實，找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，整體把握教學(xué)結(jié)構(gòu)，綜合運用教學(xué)方法，從而實現(xiàn)更有意義的學(xué)習(xí)。

（一）整體關(guān)注教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得知識技能，而且要有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維和問題解決能力與情感態(tài)度等方面的整體協(xié)調(diào)發(fā)展，全面落實教學(xué)目標(biāo)。各維度的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)不是相互割裂的，而是密切聯(lián)系、相互交融的有機整體。數(shù)學(xué)思維、問題解決、情感態(tài)度的發(fā)展既有利于更好地學(xué)習(xí)知識技能，也依附于知識技能的學(xué)習(xí)過程，兩者呈現(xiàn)出相互依存的關(guān)系。所以在教學(xué)活動組織中，教師要同時兼顧實現(xiàn)四個方面的整體目標(biāo)，這也是學(xué)生受到良好數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志。

同時，由于學(xué)生需要經(jīng)歷較長的認識過程才能逐步理解和掌握數(shù)學(xué)中的重要經(jīng)驗、思想、方法，因此，在關(guān)注教材中蘊含的抽象內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法時，還要根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累情況，在不斷綜合強化的同時，采用逐級遞進、螺旋上升的整體教學(xué)原則。

（二）實現(xiàn)知識縱橫關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終是一個新舊知識進行關(guān)聯(lián)并形成新結(jié)構(gòu)的過程。[2]為此，教師在教學(xué)時要加強新舊知識的橫縱聯(lián)系，注重知識的“生長點”與“延伸點”，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，使新的知識歸位于整體結(jié)構(gòu)中。在此過程中，學(xué)習(xí)者絕非從零開始，而是都有自己的學(xué)習(xí)起點。教師要善于把握數(shù)學(xué)知識的整體脈絡(luò)，通過轉(zhuǎn)化、比較、遷移、類比等探究活動，激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，實現(xiàn)學(xué)生舊知基礎(chǔ)上的新知建構(gòu)。

教學(xué)時，教師可用“直導(dǎo)法”整體把握數(shù)學(xué)知識的縱橫關(guān)聯(lián)，即新課導(dǎo)入直接呈現(xiàn)主題，進行新舊知識關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生進行思考：這個知識與哪些已學(xué)過的舊知有關(guān)？如何把這些新知識轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的知識？能用學(xué)過的知識和方法理解新的知識、解決新的問題嗎？學(xué)習(xí)了這個知識以后，還想學(xué)習(xí)哪些相關(guān)的知識？實踐表明，這種直導(dǎo)模式簡單而富有成效。

在結(jié)課環(huán)節(jié)，教師還應(yīng)適當(dāng)開展知識的延伸拓展教學(xué)。這樣，通過“舊知—新知—后知”這一完整而開放的課堂教學(xué)，形成一個微型的知識鏈，經(jīng)由一節(jié)又一節(jié)課的串接，創(chuàng)建起一個豐富的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。

實施縱橫關(guān)聯(lián)教學(xué)，還要重視學(xué)生數(shù)學(xué)知識的自我建構(gòu)。可以肯定，即使每節(jié)課把當(dāng)堂的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)完整地呈現(xiàn)出來，也并不意味著學(xué)生會自動地把這一數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化成個體認知結(jié)構(gòu)中的一環(huán)。這就需要通過自主參與知識探究、概念理解、運用延伸等活動，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的自我建構(gòu)過程，形成數(shù)學(xué)知識的整體關(guān)聯(lián)。

（三）綜合運用教學(xué)方法

基于學(xué)習(xí)目標(biāo)的整體把握，教師還要熟練掌握各類教學(xué)方法的特性，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)活動特點、學(xué)生身心特征和教學(xué)條件等情況，合理選擇和綜合運用教學(xué)方法，并注意不同教學(xué)方法的優(yōu)化組合和相互配合。

首先，要注意各類教學(xué)方法的綜合與配合使用。以教學(xué)三角形內(nèi)角和知識為例，教師可以把三個角組合成一個平角；也可以讓學(xué)生畫出三角形，再通過測量、計算得出內(nèi)角和；也可以將長方形沿對角線剪開，由長方形四個角都是90 度推得直角三角形內(nèi)角和為180 度，再引導(dǎo)學(xué)生把銳角、鈍角三角形劃分成兩個直角三角形，由兩個直角三角形的內(nèi)角和為360 度推出一個銳角、鈍角三角形的內(nèi)角和為180 度，從而歸納出一般的結(jié)論。[3]這種不同教學(xué)方法的綜合使用，不但有利于學(xué)生對知識的理解和掌握，也能有效促進學(xué)生思維的提升。

其次，要處理好教師講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系。當(dāng)代教學(xué)生態(tài)理論認為，只有把制度化學(xué)習(xí)與自主性學(xué)習(xí)、顯性學(xué)習(xí)與隱性學(xué)習(xí)、接受學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)等方式有機結(jié)合起來，才能促進學(xué)生的有效學(xué)習(xí)。[4]為此，在教學(xué)中，教師在重視和改進教學(xué)方法的同時，還要注意引導(dǎo)學(xué)生積極開展自主學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)，留有足夠的時間和空間讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理等數(shù)學(xué)活動過程。只有這樣，才能培養(yǎng)學(xué)生要學(xué)、能學(xué)、會學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的全面達成。

三、復(fù)習(xí)梳理時基于知識網(wǎng)絡(luò)的整體把握

復(fù)習(xí)是鞏固知識、防止遺忘和優(yōu)化學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的重要環(huán)節(jié)。教師不僅要在新授課時重視學(xué)生知識體系的建構(gòu)，還要通過對以往知識的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，讓學(xué)生牢固掌握知識間的內(nèi)在聯(lián)系以及蘊含其中的思想方法，形成脈絡(luò)清晰的知識模塊。

（一）抓住知識本質(zhì)進行梳理

如果教師能夠整體把握教學(xué)內(nèi)容，有效抓住知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，串接形成知識系統(tǒng)，那么數(shù)學(xué)課堂將不會出現(xiàn)這么多讓學(xué)生應(yīng)接不暇的碎片化新知識。在復(fù)習(xí)整理中溝通知識本質(zhì)，實現(xiàn)一通而百通，將一個時間段內(nèi)學(xué)習(xí)的知識梳理成系統(tǒng)的知識網(wǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會簡單而有趣。

如學(xué)了圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容后，每一種平面圖形的面積都有不同的計算公式。怎樣對這些面積公式進行溝通整理，溫故而知新？可以嘗試這樣復(fù)習(xí)梳理：畫一組平行線，各在一條平行線上截取一段，連接成一個梯形，這個梯形的面積計算公式是怎樣的？如果把一個點沿著直線向另一個點移動，會形成什么圖形？還是梯形。如果繼續(xù)移動無限接近，最后兩個點重合了，會變成什么圖形？這個三角形可以看作上底是0的梯形嗎？那么三角形能不能也運用“（上底＋下底）×高÷2”的方法來計算？如果把這個移動的點向反方向移動，又會變成什么圖形？當(dāng)上面的線段和下面的線段一樣長的時候，變成什么圖形？那么這個平行四邊形能不能看成一個特殊的梯形？平行四邊形的面積計算能不能使用梯形的面積計算公式？按這種方式移動，還可能變成什么圖形？長方形和正方形也能這樣計算嗎？那么形狀特別的圓形，你能不能也找到這樣的聯(lián)系呢？通過梳理梯形與其他圖形的異同，溝通不同圖形面積計算的聯(lián)系點，在復(fù)習(xí)中再次提升學(xué)生的認知水平。

（二）按照分類標(biāo)準(zhǔn)進行梳理

在復(fù)習(xí)梳理時，教師不僅要關(guān)注知識之間的聯(lián)系，還要根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)進行分類梳理和辨析。分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，分類的過程其實是對事物共性的概括過程。小學(xué)階段從一年級開始就經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類、圖形的分類、概念的分類等。在教學(xué)活動中要讓學(xué)生不斷經(jīng)歷分類過程，逐步體會為什么要分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過程中如何辨析對象的本質(zhì)。通過多次反復(fù)思考和長時間經(jīng)驗積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的整體把握知識的手段。

例如，長度、面積、體積、度量單位的分類梳理，可以通過聯(lián)系與對比的方法進行，以培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)掌握知識的能力：一個點沿著一條直線運動，這個軌跡會形成什么？線段用哪些度量單位？相鄰單位之間的進率是多少？如果用這樣的線段圍成一個面，又是用哪些度量單位？相鄰單位之間的進率又是多少？為什么和長度單位的進率不一樣？這個相鄰面積單位之間的進率“100”和長度相鄰單位之間的“10”有相關(guān)聯(lián)的地方嗎？想一想，如果用這些面圍成一個立體圖形，又會遇到什么知識？和長度、面積單位又有什么相同或不同的地方？

在分類整理中進行對比分析，在不同中找到相同點，在溝通中辨析其中差異，真正達到理解知識本質(zhì)的目標(biāo)。

（三）根據(jù)思想方法進行梳理

溝通數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，不能局限于知識的概念、本質(zhì)、類型等的異同，還可以根據(jù)學(xué)習(xí)過程中的思想方法異同去整體把握。數(shù)學(xué)思想方法貫穿于知識體系中，不同的知識側(cè)重不同的思想方法的滲透。通過同一思想方法在不同知識學(xué)習(xí)中起到的作用，使學(xué)生在歸納、概括中獲得條理化、系統(tǒng)化、整體化的知識。

例如，轉(zhuǎn)化思想在學(xué)習(xí)新知識中起到了非常重要的作用。圖形面積公式的推導(dǎo)，都建立在轉(zhuǎn)化的思想上，通過學(xué)生親自動手剪、拼、擺，在新舊知識的連接點上展開思維，把平行四邊形、三角形、梯形、圓等圖形轉(zhuǎn)化成長方形，找到這些圖形與長方形面積計算公式的密切聯(lián)系，從而推導(dǎo)出各種圖形的面積計算公式，溝通了各種圖形之間內(nèi)在的聯(lián)系。還是轉(zhuǎn)化思想，在小數(shù)的加減法與乘除法計算法則學(xué)習(xí)中，把它轉(zhuǎn)化成整數(shù)的加減法和乘除法來計算，找到知識之間的相同點，從而形成了一個具有相同思想方法內(nèi)涵的知識系統(tǒng)。

要善于運用圖表進行知識和思想方法的梳理。復(fù)習(xí)時，為突出知識的關(guān)聯(lián)性和結(jié)構(gòu)化，對知識內(nèi)容進行歸納整理，幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰、快速地整理或理解有關(guān)內(nèi)容，教師可以借助樹狀圖、思維導(dǎo)圖等直觀形式把知識和思想方法生動地呈現(xiàn)出來。也可以在單元整理中將零散的知識根據(jù)邏輯關(guān)系、內(nèi)容性質(zhì)、思想方法等用表格形式進行呈現(xiàn)，形成一個完整的知識體系。