何 容， 燕朋朋， 何 偉， 陳 淮

(1.華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院 鄭州，450045) (2.鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院 鄭州，450001)

引 言

吊桿作為中、下承式拱橋關(guān)鍵的受力構(gòu)件，其張力變化與分配情況不僅反映了橋梁整體受力狀態(tài)，而且與橋梁運(yùn)營期安全、健康狀態(tài)密切相關(guān)[1]。因此，精確識別吊桿的張力信息對確定全橋的健康狀況至關(guān)重要[2]。

目前，振動(dòng)頻率法作為吊桿張力測試常用方法，具有簡便、實(shí)用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，適用于各類吊桿，其測試精度與吊桿邊界條件密切相關(guān)。為了提高吊桿張力測試精度，國內(nèi)外學(xué)者多數(shù)針對吊桿張力識別方法以及吊桿邊界條件進(jìn)行了廣泛研究。在識別方法方面，Park等[3]基于有限元模型的反分析和系統(tǒng)辨識方法計(jì)算吊桿張力，以提升基于弦振動(dòng)理論和線性回歸方法的可靠性。Kim等[4]利用數(shù)字圖像處理技術(shù)對吊索的張力進(jìn)行非接觸測量，提高了吊索的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和模態(tài)頻率的分辨率。孫傳智等[5]基于響應(yīng)面法優(yōu)化拱橋吊桿內(nèi)力，為拱橋的設(shè)計(jì)和施工控制提供指導(dǎo)。文獻(xiàn)[6]利用攝動(dòng)技術(shù)考慮了吊索靜態(tài)變形以提高吊索張力計(jì)算精度。在吊桿邊界條件方面，何容等[7]考慮了吊索復(fù)合邊界條件，基于能量法給出了吊索張力計(jì)算公式。張戎令等[8]考慮了吊桿抗彎剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形耦合影響，根據(jù)吊桿振動(dòng)過程中動(dòng)平衡狀態(tài)給出了吊桿振動(dòng)頻率與張力計(jì)算關(guān)系式。唐盛華等[9]通過兩端固結(jié)梁和兩端鉸接梁的頻率特征方程，建立了形式簡單的索力計(jì)算公式。單德山等[10]研究了減震器剛度對吊桿張力的影響，建立了吊桿張力與振動(dòng)頻率復(fù)雜關(guān)系式，利用牛頓插值法識別施工階段吊桿張力。周強(qiáng)等[11]基于部件模態(tài)綜合理論，建立了拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)在考慮拉索抗彎剛度和垂度時(shí)系統(tǒng)非線性振動(dòng)模型，研究了不同邊界條件下拉索抗彎剛度對系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼比的影響。此外，文獻(xiàn)[12-14]研究了溫度變化對吊桿張力測定的影響，結(jié)果顯示溫度變化將導(dǎo)致吊桿結(jié)構(gòu)幾何形態(tài)和內(nèi)力發(fā)生變化?？v觀國內(nèi)外已有成果，大部分研究僅針對吊桿簡單邊界條件(固接或鉸接)開展的，沒有同時(shí)考慮吊桿復(fù)雜邊界條件下彈性支撐、轉(zhuǎn)動(dòng)約束、黏性護(hù)套與附加質(zhì)量等因素的影響，不能完全反映吊桿實(shí)際情況。

為了更精確地測定吊桿張力，綜合考慮了吊桿抗彎剛度、長度、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承、環(huán)境溫度和黏性護(hù)套等多因素的影響，建立了拱橋吊桿張力計(jì)算模型，推導(dǎo)了復(fù)雜邊界條件下吊桿張力與橫向振動(dòng)頻率解析表達(dá)式。為便于工程應(yīng)用，通過邊界影響系數(shù)法給出了吊桿張力實(shí)用表達(dá)式，并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證，分析了各表達(dá)式計(jì)算精度、應(yīng)用特點(diǎn)及差異，為吊桿張力測定提供參考。

1 復(fù)雜邊界條件下吊桿張力解析表達(dá)式

考慮抗彎剛度、長度、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承、黏性護(hù)套、環(huán)境溫度影響時(shí)，吊桿張力計(jì)算模型如圖1所示。圖中：F為吊桿張力；Ma和Mb分別為拱肋與系桿梁的等效質(zhì)量；Ha和Hb分別為拱肋與系桿梁對吊桿橫向等效剛度；H1和H2分別為拱肋與系桿梁對吊桿等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；H3和H4分別為拱肋與系桿梁中減振墊對吊桿橫向等效剛度；L為吊桿長度；EI為吊桿抗彎剛度；m為吊桿單位長度質(zhì)量。

圖1 吊桿張力計(jì)算模型Fig.1 The calculation model of hanger tension

考慮吊桿外部高密度聚乙烯護(hù)套的影響(圖2)，并假定吊桿張力沿桿長方向不變，且護(hù)套與吊桿同步振動(dòng)。在線彈性范圍內(nèi)，吊桿實(shí)際抗彎剛度EI與拉伸(壓縮)剛度EA可分別表示為

(1)

其中：E1I1為鋼絞線抗彎剛度；E2I2為黏性護(hù)套抗彎剛度；E1A1鋼絞線拉伸(壓縮)剛度；E2A2為黏性護(hù)套拉伸(壓縮)剛度。其具體取值可參考國家標(biāo)準(zhǔn)《斜拉橋熱擠聚乙烯高強(qiáng)鋼絲拉索技術(shù)條件》(GB/T 18365-2001)。

圖2 吊桿斷面結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of hanger section structure

忽略溫度場梯度變化，由環(huán)境溫度變化引起的吊桿張力變化FN為

FN=-EAμ(T-T0)

(2)

其中：μ為吊桿材料熱膨脹系數(shù)；T0為吊桿張拉完成時(shí)的環(huán)境溫度；T為當(dāng)前環(huán)境溫度。

為研究方便，可將拱肋或系桿梁對吊桿的軸向等效剛度與減振墊對吊桿的軸向等效剛度進(jìn)行疊加。令Ka和Kb分別為拱肋、系桿梁與減振墊對吊桿橫向等效剛度，則：Ka=Ha+H1，Kb=Hb+H2。由于減振墊與拱肋或系桿梁端部距離較近，可認(rèn)為減振墊位于拱肋或系桿梁的端部，此時(shí)吊桿計(jì)算長度為L。

由Euler-Bernoulli梁理論，吊桿振動(dòng)微分方程為

(3)

V(x,t)為吊桿橫向位移函數(shù), 可表示為

V(x,t)=φ(x)Z(t)

(4)

其中：Z(t)和φ(x)分別為吊桿的廣義振幅坐標(biāo)和振型函數(shù)。

φ(x)=C1cos(αx)+C2sin(αx)+

C3cosh(βx)+C4sinh(βx)

(5)

其中

(6)

(7)

C1,C2,C3,C4為待定系數(shù)，可根據(jù)吊桿邊界條件確定。

根據(jù)吊桿端部作用力和力矩平衡，可得吊桿邊界條件方程組為

EIφ″(0)+H3φ′(0)=0

(8)

EIφ?(0)+Haφ(0)-Maω2φ(0)-Fφ′(0)=0

(9)

EIφ″(L)+H4φ′(L)=0

(10)

EIφ?(L)-Hbφ(L)+Mbω2φ(L)+Fφ′(L)=0

(11)

將吊桿振型函數(shù)式(5)代入上述邊界條件，構(gòu)成以待定系數(shù)C1,C2,C3,C4為基本未知量的方程組，即

(12)

其中

R=

為使式(12)有非零解，則其待定系數(shù)C1,C2,C3,C4所構(gòu)成的矩陣行列式值應(yīng)為0，即

|R|=0

(13)

式(13)即為考慮抗彎剛度、長度、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承、黏性護(hù)套和環(huán)境溫度影響時(shí)，吊桿張力與橫向振動(dòng)頻率解析表達(dá)式。該式為隱式，因?yàn)槭褂貌槐?，但由于較全面地考慮了吊桿實(shí)際構(gòu)造與邊界條件的影響，因而精度較高，且適用于各長度類型吊桿。

2 構(gòu)建拱橋吊桿張力實(shí)用表達(dá)式

當(dāng)?shù)鯒U兩端固接，則Ka,Kb→+∞和H3,H4→+∞，由式(13)可得固接邊界條件下吊桿張力計(jì)算方程，即

(14)

展開可得

(15)

2.1 ξ值較大時(shí)拱橋吊桿邊界影響系數(shù)

將無量綱參數(shù)ξ和ηn代入式(6)、式(7)可得

(16)

把式(16)代入式(15)，可得

(17)

由于方程中同時(shí)含有三角函數(shù)和雙曲線函數(shù)，不能直接得到ηn與ξ的關(guān)系曲線。為了得到ηn與ξ關(guān)系，令

(18)

當(dāng)ξ和n確定時(shí)，y(ηn)的第n零點(diǎn)即為ηn的值。例如，當(dāng)n=2，ξ=20，y(ηn)函數(shù)圖形如圖3所示，從圖可知：y(η2)有多個(gè)交點(diǎn)，取第2個(gè)零點(diǎn)，即η2=1.164 4。在此基礎(chǔ)上，可獲得各階模態(tài)的ηn隨ξ的變化關(guān)系。

圖3 函數(shù)y(ηn)與變量η2的關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curves of function y(ηn) and versus η2

圖4為吊桿前4階模態(tài)ηn隨ξ變化的關(guān)系曲線，由圖可知：ηn隨著ξ的增大呈現(xiàn)先非線性下降后逐漸趨于平緩的變化關(guān)系，最終趨近于1。當(dāng)ξ較小時(shí)，ηn的變化率較高，表明吊桿振動(dòng)頻率對吊桿抗彎剛度較為敏感，吊桿振動(dòng)類似于梁的振動(dòng)。當(dāng)ξ較大時(shí)，ηn的變化率較低，吊桿的振動(dòng)接近于弦的振動(dòng)。此時(shí)，參考簡單邊界條件下，吊桿的張力傳統(tǒng)計(jì)算公式[15]為

圖4 ηn與ξ的關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curves of ηn and versus ξ

可將吊桿張力與橫向振動(dòng)頻率關(guān)系式表示為

(21)

B1,B2為便于工程應(yīng)用，在式(20)基礎(chǔ)上引入拱橋吊桿邊界影響系數(shù)，其大小與振動(dòng)階次n、吊桿兩端邊界條件及吊桿剛度相關(guān)。通過定義B1與B2的值，即可得到吊桿張力實(shí)用表達(dá)式，因此該方法可稱為邊界影響系數(shù)法。根據(jù)圖4對B1,B2分段擬合定義，為了保證精度，忽略ξ較小的部分，結(jié)果如表1所示。

表1 ξ較大時(shí)拱橋吊桿邊界影響系數(shù)表Tab.1 Influence coefficient table of arch bridge hanger boundary when ξ is larger

式(21)的精度與B1，B2密切相關(guān)，式(21)應(yīng)能滿足式(13),(14)。吊桿邊界影響系數(shù)B1,B2與ξ,ηn關(guān)系為

(22)

當(dāng)ξ較小時(shí)，吊桿做類似于梁橫向振動(dòng)，如按弦振動(dòng)理論計(jì)算，產(chǎn)生的誤差較大。

2.2 ξ值較小時(shí)拱橋吊桿邊界影響系數(shù)

將無量綱參數(shù)ξ和ψn代入式(6)、式(7)可得

(23)

將式(23)代入式(15)可得

(24)

確定λn的值后，式(22)的求解方法同式(17)，只要給定ξ的值，即可得到ψn與ξ的關(guān)系表達(dá)式，并得到吊桿張力實(shí)用表達(dá)式。其中前4階模態(tài)ξ與ψn的關(guān)系曲線如圖5所示。

圖5 ψn與ξ的關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curves of ψn and versus ξ

由圖5可知，隨著ξ增大，ψn呈非線性增加，據(jù)此可定義吊桿邊界影響系數(shù)B1,B2。當(dāng)ξ較小時(shí)，將無量綱參數(shù)ξ和ψn代入式(21)可得

(25)

根據(jù)式(25)計(jì)算前4階ξ不同范圍時(shí)，吊桿邊界影響系數(shù)B1,B2如表2所示。

表2 ξ較小時(shí)拱橋吊桿邊界影響系數(shù)表Tab.2 Influence coefficient table of arch bridge hanger boundary when ξ is smaller

2.3 拱橋吊桿張力實(shí)用表達(dá)式

考慮溫度影響與吊桿黏性護(hù)套及復(fù)雜邊界條件影響時(shí)，根據(jù)表1和表2拱橋吊桿邊界影響系數(shù)結(jié)合式(2)與式(21)，可得前4階模態(tài)吊桿張力與橫向振動(dòng)頻率之間的實(shí)用表達(dá)式。

當(dāng)n=1時(shí)，吊桿張力與橫向振動(dòng)頻率之間的實(shí)用表達(dá)式為

(26)

吊桿張力與橫向振動(dòng)頻率之間的實(shí)用表達(dá)式是分段給出的，由于各式考慮了環(huán)境溫度與吊桿黏性護(hù)套及吊桿復(fù)雜邊界條件的影響，因而精度較高。且公式通過吊桿邊界影響系數(shù)給出，綜合考慮了吊桿邊界條件，從而使張力表達(dá)式更加簡單，便于工程應(yīng)用。

3 實(shí)例驗(yàn)證

以鄭州劉江黃河大橋?yàn)楸尘?，?yàn)證各式計(jì)算。由文獻(xiàn)[15]可知，該橋采用了6種長度吊桿，該橋吊桿型號為PESC7-091，根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)《斜拉橋熱擠聚乙烯高強(qiáng)鋼絲拉索技術(shù)條件》(GB/T 18365-2001)可知：鋼絲束單位長度質(zhì)量為27.5 kg/m；鋼絲束密度為7 850 kg/m3；粘性護(hù)套采用黑色內(nèi)層彩色外層雙層高密度聚乙烯護(hù)套，內(nèi)層護(hù)套厚為5mm，外層護(hù)套厚為3 mm，護(hù)套總厚為8 mm；吊桿外徑為93 mm；吊桿單位長度質(zhì)量為30.4 kg/m；抗彎剛度EI=217 120 N·m2；鋼絲束公稱面積為35.02 cm2；吊桿熱膨脹系數(shù)為1.2×10-5/℃。

3.1 施工期吊桿張力測定計(jì)算分析

吊桿邊界條件及其相關(guān)參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[15]確定。吊桿施工現(xiàn)場第1次張拉時(shí)橫向振動(dòng)頻率與張力實(shí)測值如表3所示。根據(jù)表3吊桿第1次張拉實(shí)測頻率值，分別采用式(19)，(20)，式(13)以及式(26)計(jì)算吊桿張力，并給出各式計(jì)算結(jié)果精度。計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表3 劉江黃河大橋吊桿第1次張拉張力與頻率Tab.3 The suspender tension and vibration frequency in the first-time tension of the Liu Jiang Yellow River Bridge

由表4可以看出，不考慮吊桿抗彎剛度時(shí)，由傳統(tǒng)計(jì)算公式(19)計(jì)算吊桿張力，短吊桿最大誤差為37.18%，長吊桿最大誤差為13.56%；考慮抗彎剛度且吊桿兩端鉸接時(shí)，由式(20)計(jì)算吊桿張力，短吊桿最大誤差為33.39%，長吊桿最大誤差為12.72%；表明式(19)和式(20)相對來說更適用于長吊桿張力計(jì)算，但計(jì)算誤差較大?？梢钥闯?，傳統(tǒng)計(jì)算公式不適用吊桿張力計(jì)算。

表4 劉江黃河大橋主橋施工期吊桿張力計(jì)算值相對誤差Tab.4 The calculation value and relative error of suspender tension of the Liujiang Yellow River Bridge in construction period

當(dāng)考慮抗彎剛度、長度、黏性護(hù)套、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承和環(huán)境溫度等因素的影響時(shí)，由式(13)計(jì)算吊桿張力，長吊桿最大誤差為1.10%，短吊桿最大誤差為1.12%。結(jié)果表明，由于式(13)考慮了環(huán)境溫度、黏性護(hù)套及吊桿復(fù)雜邊界條件的影響，計(jì)算精度高，不僅適用于長吊桿，而且同樣適用于短吊桿張力振動(dòng)測試。

當(dāng)根據(jù)吊桿實(shí)際情況，考慮邊界影響系數(shù)，采用式(26)計(jì)算吊桿張力，各長度吊桿張力計(jì)算最大誤差不超過2.38%，可以看出邊界影響系數(shù)法計(jì)算精度較高，且公式形式簡單、統(tǒng)一，實(shí)用性強(qiáng)。

3.2 運(yùn)營期吊桿張力測定計(jì)算分析

由于表3數(shù)據(jù)為橋梁施工現(xiàn)場吊桿第1次張拉時(shí)實(shí)測數(shù)據(jù)，在運(yùn)用式(13)與式(26)時(shí)環(huán)境溫度變化為0，不能體現(xiàn)環(huán)境溫度變化對吊桿張力的影響。為驗(yàn)證環(huán)境溫度對吊桿張力的影響，在拱橋竣工后橋梁運(yùn)營階段實(shí)測吊桿張力如表5所示。運(yùn)營測試時(shí)的環(huán)境溫度為29.3 ℃；拱橋竣工完成吊桿調(diào)平張拉時(shí)環(huán)境溫度為14.7 ℃。根據(jù)表5運(yùn)營期吊桿振動(dòng)實(shí)測頻率，忽略或考慮環(huán)境溫度變化時(shí)分別采用(19)、式(20)、式(13)以及式(26)計(jì)算吊桿張力，并與設(shè)計(jì)值比較計(jì)算相對誤差，計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表5 劉江黃河大橋吊桿運(yùn)營期實(shí)測頻率Tab.5 The suspender vibration frequency of the Liujiang Yellow River Bridge in operation period

表6 劉江黃河大橋主橋運(yùn)營期吊桿張力計(jì)算值相對誤差Tab.6 The calculation value and relative error of suspender tension of the main bridge in operation period

由表6可以看出，對于劉江黃河大橋而言，在不考慮環(huán)境溫度和復(fù)雜邊界條件時(shí)，采用傳統(tǒng)表達(dá)式計(jì)算吊桿張力時(shí)，計(jì)算值與設(shè)計(jì)值相對誤差最大為46.69%，最小為14.68%。相對誤差較大，主要是由于傳統(tǒng)公式未能考慮吊桿實(shí)際邊界條件與環(huán)境溫度變化對吊桿張力的影響。因而不宜采用傳統(tǒng)式(19)與式(20)計(jì)算吊桿張力，尤其是短吊桿張力計(jì)算時(shí)更需考慮吊桿實(shí)際邊界條件。

采用文中提出的考慮環(huán)境溫度、黏性護(hù)套與復(fù)雜邊界條件影響的式(13)計(jì)算吊桿張力，不考慮環(huán)境溫度變化時(shí)，計(jì)算值與吊桿張力設(shè)計(jì)值相比最大相對誤差為13.46%，最小相對誤差為8.29%；當(dāng)考慮環(huán)境溫度變化時(shí)，最大相對誤差為3.04%，最小相對誤差為0.04%?？梢钥闯觯瑑汕闆r下式(13)計(jì)算精度均較高，考慮環(huán)境溫度變化時(shí)與不考慮環(huán)境溫度變化相比，精度最大提高了11.39%。

當(dāng)根據(jù)邊界影響系數(shù)法，采用式(26)時(shí)，不考慮溫度變化影響時(shí)，吊桿張力計(jì)算值最大相對誤差為13.98%，最小為8.42%；考慮溫度變化影響時(shí)，吊桿張力計(jì)算值最大相對誤差為4.02%，最小為0.40%?？紤]溫度影響時(shí)計(jì)算精度相對于不考慮溫度影響時(shí)的計(jì)算精度最大提高了11.38%，可以看出在測定吊桿張力時(shí)，對于季節(jié)性溫差較大的地區(qū)環(huán)境溫度的影響不可忽略。

可以看出，式(13)與式(26)均體現(xiàn)了吊桿抗彎剛度、長度、黏性護(hù)套、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承、環(huán)境溫度等因素的影響，因而計(jì)算精度較高，均滿足工程精度要求。式(26)精度略低于式(13)，主要是式(13)為綜合考慮吊桿抗彎剛度、長度、黏性護(hù)套、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承和環(huán)境溫度等因素的影響時(shí)吊桿張力與橫向振動(dòng)頻率的解析表達(dá)式，而式(26)為該式的擬合式，存在截?cái)嗾`差，因而計(jì)算精度略低。

此外，根據(jù)式(13)和式(26)計(jì)算運(yùn)營期吊桿張力與設(shè)計(jì)值相對誤差，4號吊桿誤差在-1.5%左右，而相鄰的3號和5號吊桿相對誤差分別為2.5%和4%左右。從而可知，對于部分吊桿運(yùn)營階段張力與吊桿張力設(shè)計(jì)值比較計(jì)算誤差增大，主要是由于測試時(shí)橋梁已運(yùn)營多年，結(jié)構(gòu)內(nèi)力重分布，且部分吊桿存在局部損傷或松脫，導(dǎo)致該吊桿張力減小而相鄰吊桿張力增大，從而導(dǎo)致誤差增加；運(yùn)營階段由于環(huán)境溫度的變化，吊桿實(shí)際張力已發(fā)生了變化，當(dāng)忽略溫度影響時(shí)，通過振動(dòng)頻率法計(jì)算得到的吊桿張力與拱橋施工竣工時(shí)吊桿張力設(shè)計(jì)值相比，必然存在一定的誤差。

4 結(jié) 論

1) 建立了考慮吊桿抗彎剛度、長度、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承、黏性護(hù)套與環(huán)境溫度等條件的吊桿張力與振動(dòng)頻率解析表達(dá)式，該式適用于各長度吊桿張力振動(dòng)測試，施工期實(shí)測數(shù)據(jù)顯示各長度吊桿張力計(jì)算值最大誤差不超過1.12%。公式精度高,體現(xiàn)了解析表達(dá)式客觀體現(xiàn)了吊桿實(shí)際邊界條件對吊桿張力的影響。

2) 為便于工程應(yīng)用，提出了邊界影響系數(shù)法，通過定義拱橋吊桿邊界影響系數(shù)，給出吊桿張力實(shí)用表達(dá)式。采用基于邊界影響系數(shù)法的吊桿張力實(shí)用表達(dá)式計(jì)算吊桿張力，施工期各長度吊桿張力計(jì)算值最大誤差不超過2.38%。

3) 在運(yùn)營期考慮環(huán)境溫度影響時(shí)，與不考慮溫度影響相比，采用復(fù)雜邊界條件下吊桿張力與振動(dòng)頻率解析表達(dá)式可提高精度11.39%，采用基于邊界影響系數(shù)法的實(shí)用表達(dá)式計(jì)算可提高精度11.38%。在環(huán)境溫度變化較大地區(qū)測試吊桿張力時(shí)，環(huán)境溫度變化影響不可忽略。

4) 考慮了吊桿抗彎剛度、長度、減振墊、附加質(zhì)量、彈性支承、黏性護(hù)套與環(huán)境溫度等條件的吊桿張力與振動(dòng)頻率解析表達(dá)式計(jì)算精度高，適用于施工期及運(yùn)營期各類長度吊桿張力振動(dòng)測試計(jì)算?；谶吔缬绊懴禂?shù)法吊桿張力實(shí)用表達(dá)式，計(jì)算精度較高，滿足工程精度要求，且為顯式形式，實(shí)用性強(qiáng)。