徐昌智 王紅專

(金華教育學(xué)院，浙江 金華 321000)

孤立波是英國(guó)科學(xué)家羅素發(fā)現(xiàn)的。1871年，布森內(nèi)斯克(Boussinesq)、1876年瑞利(Lord Rayleihg)分別從理想流體的運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出孤波波形關(guān)系。1895年，德弗里斯(de Vries)和科特韋格(Korteweg)利用淺水中小振幅和長(zhǎng)波運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，建立了非線性淺水波方程，此方程后來(lái)演化為著名的非線性Korteweg-de Vries方程。關(guān)于非線性水波方程有許多類型，如(1+1)維淺水波方程、高階淺水波方程、非線性Green-Naghdi水波方程等[1]。本文研究如下的(1+1)維水波方程[2]：

1 (1+1)維水波方程的試探解

非線性方程的求解方法，比較典型有對(duì)稱約化方法、傅里葉級(jí)數(shù)展開方法、多線性變量分離方法、形變映射方法等[3]，本文采用齊次平衡方法，經(jīng)研究分析可設(shè)方程(1)(2)有如下的解形式：

2 (1+1)維水波方程的孤波結(jié)構(gòu)

則得到(1+1)維水波方程的物理場(chǎng)量 的穩(wěn)定型雙孤波結(jié)構(gòu)，圖1至圖7分別是t=-7，t=-4，t=-1，t=1，t=5，t=7，t=9的波形圖，圖8是隨時(shí)間變化的演化圖形，從中可見2孤子穩(wěn)定傳播，并有一次相互作用，瞬時(shí)合為單孤波結(jié)構(gòu)。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

如果任意函數(shù) 選取：

則得到(1+1)維水波方程的物理場(chǎng)量的非穩(wěn)定型孤波結(jié)構(gòu)，圖9至圖18分別是t=-4.5，t=-4，t=-3，t=-2，t=-1，t=0，t=1，t=2，t=3，t=4.5的波形圖，圖19是隨時(shí)間變化的演化圖形，從中可見該孤波只有在一定時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)，在時(shí)孤波消失。

圖9

圖10

圖11

圖1

圖13

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

圖1

如果任意函數(shù) 選取:

則得到(1+1)維水波方程的物理場(chǎng)量 的周期性孤波結(jié)構(gòu)，圖20至圖26是在一個(gè)周期內(nèi)，時(shí)間分別取t=0.01，t=0.1，t=0.3，t=0.5，t=0.7，t=0.9，t=0.99的波形圖，圖27是隨時(shí)間變化的演化圖形，從中可見該孤波的幅度在隨時(shí)間變化，同時(shí)，發(fā)現(xiàn)有時(shí)出現(xiàn)雙孤波結(jié)構(gòu)，有時(shí)出現(xiàn)單孤波結(jié)構(gòu)，但可以持續(xù)穩(wěn)定波動(dòng)。

圖20

圖21

圖22

圖2

圖24

圖25

圖26

圖27

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)齊次平衡方法研究(1+1)維水波方程(1)(2),獲得了方程(1)(2)的二組新試探解，分析其物理場(chǎng)量 的解結(jié)構(gòu)，找到了三種新類型的孤波結(jié)構(gòu)，分別是穩(wěn)定型雙孤波結(jié)構(gòu)、非穩(wěn)定型孤波結(jié)構(gòu)、周期性孤波結(jié)構(gòu)，這不僅對(duì)(1+1)維非線性方程的孤波研究，特別是非穩(wěn)定型孤波結(jié)構(gòu)，以及(2+1)維非線性方程的孤波研究也有一定啟示。