趙建聰

（河北省唐縣第一中學，河北 唐縣 072350）

數(shù)學建模是高中數(shù)學教學的核心要素之一，關于這一點，基本上沒有什么不同的觀點。然而這并不等于高中數(shù)學教學的實際中數(shù)學建模就進行得很好，課程改革十多年來形成的一個重要認識就是，當一個重要的數(shù)學概念被人們不斷地重復的時候，可能這個概念的本質含義已經被人們忽視了。

一、從數(shù)學模型到數(shù)學建模

有人說，有數(shù)學應用的地方就有數(shù)學建模！這一論斷可以給高中數(shù)學教學尤其是數(shù)學建模能力的培養(yǎng)有著很大的啟發(fā)。說實話，筆者理解數(shù)學建模時常常想到的就是這樣的一句話。由這一論斷可知，數(shù)學建模主要是指向數(shù)學應用的，也就是說在數(shù)學應用的過程中數(shù)學建模才體現(xiàn)出了它強大的作用。這里有兩個核心概念需要界定：一是數(shù)學模型；二是數(shù)學建模。顯然，建模是一個動態(tài)的過程，而模型是一個相對靜態(tài)的概念。

先來看數(shù)學模型。什么是數(shù)學模型呢？一般認為，當人們需要從數(shù)、量的角度解決某個實際問題時，往往需要通過調查、分析的手段了解研究對象的數(shù)學信息，然后進行數(shù)學抽象與簡化，并尋找其中內在的數(shù)學規(guī)律，然后用數(shù)學語言來描述這個規(guī)律，以形成一個數(shù)學模型。其實，對于教師來說，這一描述更多的是一種概念性敘述，而數(shù)學教師對于數(shù)學模型的默會知識一般是比較豐富的，只是需要強調的是，數(shù)學模型是有著嚴格的定義的，其必須面向數(shù)學應用，其必須經過數(shù)學抽象的過程，其最終體現(xiàn)為用數(shù)學信息去描述實際問題。數(shù)學模型還有一種更為簡潔的描述：用數(shù)學語言（包括數(shù)學公式）描述或模仿實際問題中的數(shù)量關系、空間形式的數(shù)學架構。

那什么是數(shù)學建模呢？顯而易見，建立數(shù)學模型的過程，就稱之為數(shù)學建模。數(shù)學建模是一個充滿著數(shù)學智慧的過程，從建模的順序角度來看，其過程一般是這樣的：實際情境——提出問題——數(shù)學模型——數(shù)學結果——結果檢驗——結果運用。其中在結果檢驗之后如果發(fā)現(xiàn)存在問題，這個時候就不能走向結果運用，而應當回到實際情境，重新去提出問題并重新建立數(shù)學模型（這相當于一個循環(huán)語句）。從這一流程來看，數(shù)學建?？梢院喪鰹椤坝脭?shù)學知識模擬現(xiàn)實的過程”。

總結以上闡述可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學建模是數(shù)學應用領域的。這意味著數(shù)學新知建立過程中是需要慎談數(shù)學建模的（當然也可能存在數(shù)學建模的過程，即在新知識建立過程中借助于已有的知識來為新知提供基礎的過程）；也意味著數(shù)學建模的核心是將實際問題數(shù)學化，涉及數(shù)學抽象以輔助模型建立等。下面將詳細論述。

二、數(shù)學建模的過程與例析

嚴格來說，數(shù)學建模需要經歷一個嚴密的過程。這個過程往往分為多個步驟，下面來說明。

第一步：模型準備。這一步的關鍵在于了解數(shù)學問題（應用）的背景，尋找其實際意義及其中的有用信息。

第二步：模型假設與建立。根據(jù)模型準備經過假設的過程并建立模型，這一步需要用到一些重要的數(shù)學工具（公式定理等），最終目標是建立一個合理的數(shù)學結構，即數(shù)學模型。這一步是數(shù)學建模的核心步驟，在本實例中應當說模型的建立一般不會出現(xiàn)太大的問題，因此在后面的模型檢驗中就不需要花費太多的精力，如果遇到更為復雜的應用問題，不像本實例這樣一目了然，比如說本實例中可以將一些具體的數(shù)據(jù)省略，或者讓簡諧振動變得更隱蔽一些，那在模型假設與建立時就需要更多的精力與智慧。

第三步：模型求解與分析。這一步的關鍵是將實例中的信息（參數(shù)）代入模型當中去。關于這一點，上述步驟中已經有所描述，此處不再贅述。

第四步：模型檢驗。即將模型的分析結果與實際情形進行比較，以此判斷模型建立的合理性。檢驗的重要途徑是看根據(jù)目前建立的模型所得到的結果是否具有實例角度的實際意義，如果吻合度好，則說明模型建立成功，否則失敗，一旦模型建立失敗，就進入循環(huán)的階段。

第五步：模型應用。這是一個與具體實例相關的步驟，一般沒有固定的描述。在本實例中，模型應用主要體現(xiàn)在對第二問的回答上，事實上第二問可以無限延伸，任何一個時刻時物體的位置都可以由建立的數(shù)學模型計算出來。

三、數(shù)學建模的教學與反思

在多年的高中數(shù)學教學中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學建模的教學有著重要的作用。如上所說，數(shù)學建模具有綜合性，因此其能夠促進學生對數(shù)學知識的綜合運用能力。但實際教學中的挑戰(zhàn)也是非常明顯的，當下學生的數(shù)學學習有一個明顯的不足，那就是學生對知識之間的聯(lián)系認識不足，往往滿足于利用剛剛所學的知識解決眼前的問題，這對于數(shù)學建模來說提出了很大的挑戰(zhàn)。如何從學生的記憶系統(tǒng)中提取出有效的信息以完成數(shù)學模型的建立，是一個很大的問題；此外，強大的應試壓力讓學生更多地滿足于一般的數(shù)學習題的解答，對數(shù)學建模的積極性有時不太高（當然，其中數(shù)學建模的復雜性也影響了學生的興趣）。

反思這些現(xiàn)象，筆者以為高中數(shù)學教學中的建模工作更加具有重要性與必要性。無論是從應試的角度來看，還是從學生的數(shù)學素養(yǎng)提高的角度來看，數(shù)學建模本身就是數(shù)學綜合能力的體現(xiàn)，也是衡量數(shù)學教師教學水平的重要指標。我們認為，只有當自己所教的學生能夠用所學的數(shù)學知識有效地解決實際問題時，數(shù)學教學才是成功的。因此，無論是數(shù)學新知建立的過程，還是數(shù)學應用的過程，都需要在原有知識基礎上讓學生生成建模的意識，并在數(shù)學知識應用的過程中生成能力。

值得一提的是，在數(shù)學應用問題的解決過程中，通過一些專題訓練來提高學生的建模能力是值得嘗試的策略。筆者的教學經驗表明，學生在專題訓練的過程中，建模的意識會比較強，建模的目標也比較明確，在緊張的復習時間中抽出時間進行專題訓練，可能是一件事半功倍的事情。