王忠慧

（吉林省敦化市第三小學(xué)校，吉林 敦化 133700）

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物地特征，數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義講，數(shù)學(xué)的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系式，圖表，程序等都是數(shù)學(xué)模型。從狹義上理解，數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，是相應(yīng)系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。它具有一般化、典型化、和精確化的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模就是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，建立模型，求解模型，解釋驗(yàn)證的過程，是一種數(shù)學(xué)思考方法。

一、數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用雖簡(jiǎn)單但無處不在。例如：數(shù)的表示（自然數(shù)列：0，1，2，….）；數(shù)的運(yùn)算（a+b=c，c-a=b，c-b=a，c÷a=b，c÷b=a 等）；方程（a+b=c 等）；數(shù)量關(guān)系（時(shí)間、速度和路程：s=vt；數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)：a=pn；正比例關(guān)系：y/x=k 等）；用字母表示公式（三角形面積；S=1/2ah；平行四邊形面積：S=ah；圓面積：S=πr2；長(zhǎng)方體面積：V=abh 等）。

二、模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

（一）數(shù)概念模型

每一個(gè)數(shù)概念就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是現(xiàn)實(shí)模型的抽象。

1.整數(shù)的直觀模型：教材中提供多種模型幫助學(xué)生經(jīng)歷、感受建模過程，體會(huì)模型思想。（1）有結(jié)構(gòu)的實(shí)物（十個(gè)是一捆，十個(gè)一捆是一大捆，如此等等；（2）數(shù)位筒；（3）計(jì)數(shù)器（算盤），在這一階段孩子對(duì)于數(shù)位的理解已經(jīng)有抽象的成分在里面，并含有一定的位值思想；（4）數(shù)位表：在數(shù)位表上擺珠子，孩子理解數(shù)位表上的珠子的意義比上一個(gè)層次更加抽象；（5）半形象、半抽象的“數(shù)尺”、數(shù)軸、百數(shù)表。

2.分?jǐn)?shù)的直觀模型。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分?jǐn)?shù)有多種直觀模型：（1）實(shí)物模型：例如半杯牛奶、半個(gè)蘋果……分?jǐn)?shù)概念的引入是通過“平均分”某個(gè)實(shí)物取其中的一份或幾份認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“實(shí)物模型；（2）面積模型：用面積的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)。通過“平均分”某個(gè)“正方形”或者“圓”，取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。學(xué)生在三年級(jí)主要是借助面積模型初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；（3）集合模型：分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個(gè)”看作“整體1”，所以是五年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義的重點(diǎn)，也是與三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)最大的不同。

（二）幾何圖形是模型

每一種圖形本身就是一種數(shù)學(xué)模型。點(diǎn)、線、面、基本的平面圖形、立體圖形的定義就是生活中幾何模型向抽象的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程。平面圖形、立體圖形的周長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算公式就是模型化思想滲透的重要途徑。例如：把立體圖形的面畫在紙上，這就是把生活中的現(xiàn)實(shí)模型抽象成數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)模型的過程。對(duì)這些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類，找出他們之間的聯(lián)系和區(qū)別。從而抽象出三邊形、四邊形、五邊形等圖形的定義。在分類中進(jìn)一步建立數(shù)學(xué)模型。再針對(duì)四邊形進(jìn)行二次分類，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)特殊的四邊形（平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形）和一般的四邊形。計(jì)算公式是模型、模式與函數(shù)是模型、搭配、運(yùn)算律、數(shù)學(xué)公式、“份總”關(guān)系、統(tǒng)籌問題、雞兔同籠問題、植樹問題、商不變的性質(zhì)、工程問題、行程問題（行走中的數(shù)學(xué)、相遇問題）、烙餅問題、田忌賽馬等等都是模型。

三、新教材內(nèi)容滲透與蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

從一年級(jí)開始，各冊(cè)都有一單元進(jìn)行滲透。例如：第二冊(cè)中《找規(guī)律：探索圖案和數(shù)字簡(jiǎn)單的排列規(guī)律》蘊(yùn)含著有序思維方式；第三冊(cè)中《簡(jiǎn)單的排列：1、2能組成幾個(gè)兩位數(shù)？》蘊(yùn)含著排列組合的數(shù)學(xué)思想；《猜一猜他們拿的是什么書？》蘊(yùn)含著簡(jiǎn)單推理的數(shù)學(xué)思維方法；第四冊(cè)《找規(guī)律：鋪地磚花紋的規(guī)律、等差數(shù)列的探究規(guī)律》蘊(yùn)含著有序思維的數(shù)學(xué)方法；第五冊(cè)《3 個(gè)數(shù)字能擺成幾個(gè)三位數(shù)？》蘊(yùn)含著排列組合的數(shù)學(xué)思想；第六冊(cè)《重疊問題：參加語文、數(shù)學(xué)小組的共幾人？》蘊(yùn)含著集合思想；《等量代換：幾個(gè)蘋果與1 個(gè)西瓜一樣重？》蘊(yùn)含著等量代換思想；第七冊(cè)《運(yùn)籌問題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題》蘊(yùn)含著運(yùn)籌對(duì)策論；《對(duì)策問題：田忌賽馬》蘊(yùn)含著優(yōu)化思想；第八冊(cè)《植樹問題：兩端都種、兩端都不種、封閉方陣中種樹》等蘊(yùn)含著化歸、數(shù)學(xué)建模思想；第九冊(cè)《數(shù)字編碼：郵政編碼、身份證編碼、編學(xué)號(hào)》等蘊(yùn)含著數(shù)字編碼思想；第十冊(cè)《找次品：5 件、9 件物品中找次品》蘊(yùn)含著優(yōu)化思想、歸納推理；第十一冊(cè)《雞兔同籠問題、龜鶴同籠問題》等體現(xiàn)著化歸、數(shù)學(xué)建模思想；第十二冊(cè)《抽屜原理：4 支鉛筆放入3 個(gè)文具盒、5 本書放入2 個(gè)抽屜，怎么放？》蘊(yùn)含著抽屜原理、數(shù)學(xué)建模思想。

從以上不難看出，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，實(shí)際上是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過程。為了學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)的需要，真正發(fā)揮教材作用，需要我們小學(xué)一線教師進(jìn)一步更新觀念，加強(qiáng)學(xué)習(xí)，在教學(xué)中重視滲透模型化思想，幫助小學(xué)生建立并把握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實(shí)、有效的發(fā)展，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，煥發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)的生機(jī)，鑄造數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂。